# Gerçel katsayılı ve dördüncü dereceden P(x) polinomu için P(4) kaçtır?

**URL:** <https://sorumatik.co/t/gercel-katsayili-ve-dorduncu-dereceden-p-x-polinomu-icin-p-4-kactir/613691>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Ocak 23, 2026, 12:53ös UTC](https://sorumatik.co/t/gercel-katsayili-ve-dorduncu-dereceden-p-x-polinomu-icin-p-4-kactir/613691 "2026-01-23T12:53:56Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Rfa](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rfa/32/145485_2.png) [@Rfa](https://sorumatik.co/u/Rfa)\
**Post date:** [Ocak 23, 2026, 12:53ös UTC](https://sorumatik.co/t/gercel-katsayili-ve-dorduncu-dereceden-p-x-polinomu-icin-p-4-kactir/613691/1 "2026-01-23T12:53:56Z")

</div>

![1000047486](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/1/6/16c3eeff5e49de471a8c5b50a31012c253a42885.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 23, 2026, 12:54ös UTC](https://sorumatik.co/t/gercel-katsayili-ve-dorduncu-dereceden-p-x-polinomu-icin-p-4-kactir/613691/2 "2026-01-23T12:54:19Z")

</div>

## Real Coefficients Fourth Degree Polynomial Inequality Problem

### Önemli Noktalar

- **P(x)**, gerçek katsayılı ve 4. dereceden bir polinomdur.
- **P(x) ≥ x** eşitsizliğini her gerçek sayı için sağlamalıdır.
- Verilenler: **P(1) = 1**, **P(2) = 4**, **P(3) = 3**.
- Sorulan: **P(4)** kaçtır?

**P(x) ≥ x** eşitsizliği, tüm gerçek x için sağlandığından, fonksiyon farkı olan Q(x) = P(x) - x ≥ 0 olmalıdır. Q(x) gerçek katsayılı 4. dereceden bir polinom olur ve tüm reel sayılar için negatif olamaz.

### İçindekiler

1. [Problemin Analizi](#polynomial-inequality-analysis)
2. [Q(x) ve Kökler Üzerinden Çözüm](#polynomial-roots-approach)
3. [P(4) Değerinin Hesaplanması](#calculate-p4)
4. [Özet Tablo](#summary-table)
5. [Sık Sorulan Sorular](#faq-polynomial)

* * *

## Problemin Analizi

P(x) polinomunun 4. dereceden ve gerçek katsayılı olduğu verilmiş.  
Eşitsizlik: P(x) ≥ x her x ∈ ℝ için geçerli.  
Bu, Q(x) = P(x) - x için Q(x) \ge 0 demektir.

- Q(x), 4. dereceden ve gerçek katsayılıdır.
- Fonksiyon tüm reel sayılar için negatif olamaz.
- Q(1) = P(1) - 1 = 0
- Q(2) = P(2) - 2 = 4 - 2 = 2 ≥ 0
- Q(3) = P(3) - 3 = 3 - 3 = 0

Görüldüğü üzere Q(x) kökleri 1 ve 3’tür (çünkü Q(1)=0 ve Q(3)=0).

### Önemli Nokta

Q(x) ≥ 0, yani Q(x) negatif olamaz. Bir 4. dereceden polinomda negatif olmamak için, köklerdelerden _en az_ çift çarpan olmalı (çift katmanlı kök), böylece işaret değişimi olmaz.

* * *

## Q(x) ve Kökler Üzerinden Çözüm

Kökler: x = 1 ve x = 3, bunlar çift katmanlı kökler olabilir (en az ikinci dereceden çarpan).

Önerilen form:

Q(x) = (x-1)^2 (x-3)^2 \cdot a

Burada a gerçek katsayı.

Çünkü 4. derece ve bu iki kökün her biri çifttir → toplam 4 çarpan.

### Katsayı a’yı bulma:

Q(x) = P(x) - x  
4. dereceden polinom ve biçim uygun (tercihen baş katsayı pozitif, çünkü P(x) 4. dereceden ve eşitsizlik böyle sağlanıyor).

Şimdi, Q(2) değeri kullanılabilir:

Q(2) = P(2) - 2 = 4 - 2 = 2

Öte yandan:

Q(2) = a (2 - 1)^2 (2 - 3)^2 = a \cdot 1^2 \cdot (-1)^2 = a \cdot 1 \cdot 1 = a

Yani:

a = 2

* * *

## P(4) Değerinin Hesaplanması

Q(x) = P(x) - x = 2 (x-1)^2 (x-3)^2

Dolayısıyla:

P(x) = x + 2 (x-1)^2 (x-3)^2

Şimdi x = 4 için:

P(4) = 4 + 2 (4 -1)^2 (4 - 3)^2 = 4 + 2 \times 3^2 \times 1^2 = 4 + 2 \times 9 \times 1 = 4 + 18 = 22

**Cevap: B) 22**

* * *

## Özet Tablo

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Q(x) tanımı | Q(x) = P(x) - x | 4. dereceden polinom, Q(x)≥0 |
| Kökler ve katmanlar | x=1 ve x=3, çiftkökler | Q(x) = a(x-1)^2(x-3)^2 |
| Katsayı bulma | Q(2) = 2 ⇒ a=2 | a = 2 |
| P(4) hesabı | P(4) = 4 + 2 × 3^2 × 1^2 | 22 |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden Q(x) polinomunun kökleri çift katmanlı olmalı?**  
Çünkü Q(x) \geq 0 tüm reel sayılar için sağlanıyor. Tek katmanlı köklerde işaret değişir ve Q(x) negatif olur. Çift katmanlı kök işaret değişimi yapmaz, polinom negatif olmaz.

**2. Başka hangi formda ifade edilebilirdi?**  
Q(x), başka başka kök kombinasyonlarıyla yazılabilir ama verilen değerler ve dereceden ötürü en uygun yaklaşım çift katmanlı iki kök şeklindedir.

**3. P(x) polinomunun derecesi neden 4?**  
Verilen problemde belirtilmiştir. Polinomun en yüksek kuvveti x⁴’tür.

* * *

## Sonraki Adımlar

Çok değişkenli polinom eşitsizlikleri üzerine örnekler ister misiniz?  
Ya da polinomların işaret tablolarıyla daha karmaşık eşitsizlik çözüm tekniklerine giriş yapalım mı?

@Rfa

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 23, 2026, 12:54ös UTC](https://sorumatik.co/t/gercel-katsayili-ve-dorduncu-dereceden-p-x-polinomu-icin-p-4-kactir/613691/3 "2026-01-23T12:54:27Z")

</div>

## **Gerçel katsayılı ve dördüncü dereceden P(x) polinomu için P(4) kaçtır?**

**Önemli Noktalar**

- Q(x)=P(x)−x polinomu tüm gerçek x için Q(x)≥0 sağlar.
- Gerçek köklerin çift katlı olması gerekir.
- Q(x)’in reel kökleri x=1 ve x=3 olduğundan Q(x)=a·(x−1)²·(x−3)² formundadır.

**P(4)=22**

## İçindekiler

1. [Çözüm Özeti](#polynomial-solution)
2. [Adım Adım Çözüm](#polynomial-step-by-step)
3. [Çift Katlı ve Tek Katlı Kök Karşılaştırması](#even-multiplicity-comparison)
4. [Özet Tablosu](#polynomial-summary)
5. [SSS](#polynomial-faq)

## 1. Çözüm Özeti

P(x)−x polinomunu Q(x) olarak tanımlayalım. Q(x)≥0 olduğundan gerçek kökler çift katlıdır. P(1)=1 ve P(3)=3 sonuç olarak Q(1)=0 ve Q(3)=0. Buna göre

Q(x)=P(x)-x=a\,(x-1)^2\,(x-3)^2.

P(2)=4 → Q(2)=4−2=2 ⇒

2 = a\,(2-1)^2\,(2-3)^2 = a\cdot1\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad a=2.

Dolayısıyla

P(x)=x+2\,(x-1)^2\,(x-3)^2

elde edilir ve

P(4)=4+2\,(4-1)^2\,(4-3)^2 = 4+2\cdot9\cdot1 = 22.

## 2. Adım Adım Çözüm

1. Q(x)=P(x)−x polinomunu tanımla; Q(x)≥0.
2. Q(x)’in reel kökleri çift katlıdır. Q(1)=0 ve Q(3)=0 olduğu için bu noktalar çift köktür.
3. Derece(Q)=4 olduğundan form Q(x)=a·(x−1)²·(x−3)² olur.
4. x=2 için Q(2)=P(2)−2=4−2=2, ayrıca Q(2)=a·1·1 ⇒ a=2 bulunur.
5. Son adımda x=4 yazılarak P(4)=22 sonucu elde edilir.

## 3. Çift Katlı ve Tek Katlı Kök Karşılaştırması

| Özellik | Çift Katlı Kök | Tek Katlı Kök |
| --- | --- | --- |
| Q(x) işaret değiştirir mi? | Hayır (≥0 polinomunda kalır) | Evet (işaret değişir) |
| Polinom ≥0 şartıyla uyum | Uygun | Uygun değil |
| Multiplicity (çoğ.) | 2, 4, … | 1, 3, … |
| Grafikte temas noktası | Teğet geçer | Keserek geçer |

## 4. Özet Tablosu

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Q(x) tanımı | Q(x)=P(x)−x | – |
| Reel kökler | Q(1)=0, Q(3)=0 | Kök: 1, 3 |
| Form | Q(x)=a(x−1)²(x−3)² | – |
| a katsayısı | Q(2)=2 ⇒ a·1·1=2 | a=2 |
| Sonuç | P(4)=4+2·3²·1² | 22 |

## 5. SSS

1. Q: Neden Q(x)=P(x)−x polinomunda reel kökler çift katlı olmalı?  
C: Q(x)≥0 şartı, grafiğin x-eksenini teğet geçmesini gerektirir; bu da çift katlı kök demektir.
2. Q: Derecesi 4 olan bir polinomun tam olarak kaç reel kökü olabilir?  
C: En fazla 4, gerçek katsayılı polinomlarda çift katlı veya karmaşık kök kombinasyonları olabilir.
3. Q: Q(x) formunun dışında başka bir çözüm modeli var mı?  
C: Hayır; çift katlı kök şartı ve verilen değerler formu zorunlu kılar.
4. Q: a katsayısını bulmak için başka hangi x değeri kullanılabilir?  
C: P(x)−x= verilen P(x) değerine eşit olan herhangi bir x kullanılır (örneğin x=1 veya x=3 sıfır yaptığı için buradan bilgi gelmez).

Sonraki adım olarak benzer bir problem üzerinde adım adım çözüm ister misiniz?  
@Rfa