# Gerçek sayılardan gerçek sayılar kümesine tanımlı fonksiyonu

**URL:** <https://sorumatik.co/t/gercek-sayilardan-gercek-sayilar-kumesine-tanimli-fonksiyonu/661727>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Mayıs 12, 2026, 10:46öö UTC](https://sorumatik.co/t/gercek-sayilardan-gercek-sayilar-kumesine-tanimli-fonksiyonu/661727 "2026-05-12T10:46:00Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Rfa](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rfa/32/145485_2.png) [@Rfa](https://sorumatik.co/u/Rfa)\
**Post date:** [Mayıs 12, 2026, 10:46öö UTC](https://sorumatik.co/t/gercek-sayilardan-gercek-sayilar-kumesine-tanimli-fonksiyonu/661727/1 "2026-05-12T10:46:00Z")

</div>

Gerçek sayılardan gerçek sayılar kümesine tanımlı fonksiyonu  
f(x) =  
egin{cases}

- (x^2 - 4x + 2 & eğer x \< 1 ise \)  
x - 4 & 1 \< x \< 4 ise \
- x^3 + 3x + 54 & x \> 4 ise  
olarak veriliyor.  
Buna göre, f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamını kaçtır?  
A) 3  
B) 4  
C) 5  
D) 6  
E) 7

**Soru Fotoğrafı:**

 ![Soru Görseli](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/c/3/c3cbf0f7905c203724c2b365e8c14e3527e47def.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Mayıs 12, 2026, 10:46öö UTC](https://sorumatik.co/t/gercek-sayilardan-gercek-sayilar-kumesine-tanimli-fonksiyonu/661727/2 "2026-05-12T10:46:14Z")

</div>

## Parçalı Tanımlı Fonksiyonun Yerel Ekstremum Noktalarının Apsisleri Toplamı

💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**  
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin sıfır olduğu veya türevinin tanımlı olmadığı noktalarda meydana gelebilir. Parçalı fonksiyonlarda kritik noktalar (türevini sıfır yapan noktalar) ve birleşim noktaları (fonksiyonun parçalarının değiştiği noktalar) incelenmelidir.

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Her Parçanın Türevini Alıp Kritik Noktaları Bulma**

Verilen fonksiyon f(x) şu şekildedir:

f(x) = \begin{cases} -x^2 - 4x + 2 & \text{eğer } x \< 1 \text{ ise} \\ x - 4 & \text{eğer } 1 \le x \< 4 \text{ ise} \\ -x^3 + 3x + 54 & \text{eğer } x \ge 4 \text{ ise} \end{cases}

İlk parçanın türevi (x \< 1 için):

f\_1(x) = -x^2 - 4x + 2 \Rightarrow f\_1'(x) = -2x - 4

f\_1'(x) = 0 \Rightarrow -2x - 4 = 0 \Rightarrow -2x = 4 \Rightarrow x = -2.  
Bu nokta (x = -2), x \< 1 aralığında olduğu için bir kritik noktadır.

İkinci parçanın türevi (1 \< x \< 4 için):

f\_2(x) = x - 4 \Rightarrow f\_2'(x) = 1

f\_2'(x) = 1 olduğu için bu aralıkta türevi sıfır yapan bir nokta yoktur. Fonksiyon bu aralıkta sürekli artandır.

Üçüncü parçanın türevi (x \> 4 için):

f\_3(x) = -x^3 + 3x + 54 \Rightarrow f\_3'(x) = -3x^2 + 3

f\_3'(x) = 0 \Rightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow -3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ veya } x = -1.  
Ancak, bu noktaların x \> 4 aralığında olması gerekir. x=1 ve x=-1 bu aralıkta olmadığı için üçüncü parçadan gelen bir kritik nokta yoktur.

Dolayısıyla, türevin sıfır olduğu tek kritik nokta x = -2’dir.

**Adım 2 — Birleşim Noktalarında (Süreklilik ve Türevlenebilirlik) İnceleme**

Parçalı fonksiyonun birleşim noktaları x=1 ve x=4’tür.

**a) x=1 noktasında süreklilik:**  
Sol limit: \lim\_{x \to 1^-} f(x) = \lim\_{x \to 1^-} (-x^2 - 4x + 2) = -(1)^2 - 4(1) + 2 = -1 - 4 + 2 = -3  
Sağ limit: \lim\_{x \to 1^+} f(x) = \lim\_{x \to 1^+} (x - 4) = 1 - 4 = -3  
Fonksiyon değeri: f(1) = 1 - 4 = -3  
Sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri eşit olduğu için fonksiyon x=1 noktasında süreklidir.

**b) x=1 noktasında türevlenebilirlik:**  
Sol türev: f\_1'(x) = -2x - 4 \Rightarrow f\_1'(1) = -2(1) - 4 = -6  
Sağ türev: f\_2'(x) = 1 \Rightarrow f\_2'(1) = 1  
Sol türev ( -6) ile sağ türev (1) eşit olmadığı için fonksiyon x=1 noktasında türevlenemez. Türevlenemeyen noktalarda yerel ekstremum olabilir. Bu nedenle x=1 bir yerel ekstremum adayıdır.

**c) x=4 noktasında süreklilik:**  
Sol limit: \lim\_{x \to 4^-} f(x) = \lim\_{x \to 4^-} (x - 4) = 4 - 4 = 0  
Sağ limit: \lim\_{x \to 4^+} f(x) = \lim\_{x \to 4^+} (-x^3 + 3x + 54) = -(4)^3 + 3(4) + 54 = -64 + 12 + 54 = 2  
Sol limit (0) ile sağ limit (2) eşit olmadığı için fonksiyon x=4 noktasında sürekli değildir. Süreksiz olduğu için bu noktada türevlenebilir de değildir ve süreksizlik noktaları genellikle yerel ekstremum olmaz (tanımsızlık oluşur). Ancak, parçalı fonksiyonlarda birleşim noktalarının kendisi yerel ekstremum olabilir, bu yüzden bu noktayı incelemeliyiz.

**Adım 3 — İşaret Değişimi Analizi (Yerel Ekstremum Tespiti)**

Bulduğumuz kritik ve birleşim noktaları: x=-2, x=1, x=4.

**a) x=-2 için:**  
f\_1'(x) = -2x - 4  
x \< -2 için (örneğin x=-3): f\_1'(-3) = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2 \> 0 (artan)  
x \> -2 için (örneğin x=0, ama x\<1 aralığında kalmalı): f\_1'(0) = -2(0) - 4 = -4 \< 0 (azalan)  
-2 noktasında fonksiyon artanlıktan azalanlığa geçtiği için x=-2 bir yerel maksimum noktasıdır.

**b) x=1 için:**  
x \< 1 için f'(x) işaret tablosu: f\_1'(x) = -2x - 4  
… x=-3: f\_1'(-3) = 2 (+)  
… x=0: f\_1'(0) = -4 (-)  
x \< 1 aralığında fonksiyon artıp azalırken, x=1 noktasında fonksiyon tanımı değişiyor.  
f\_1(1) = -1^2 - 4(1) + 2 = -3  
f\_2(1) = 1 - 4 = -3  
x \< 1 için f(x) azalıyor. f\_1'(0) = -4.  
1 \< x \< 4 için f\_2'(x) = 1 \> 0, yani fonksiyon artıyor.  
x=1 noktasında fonksiyonun gidişatı: Azalan \to Duran (türev yok) \to Artan.  
Bu durum, x=1 noktasının bir yerel minimum noktası olduğunu gösterir.

**c) x=4 için:**  
x \< 4 için f\_2'(x) = 1 \> 0 (artan)  
x \> 4 için f\_3'(x) = -3x^2 + 3. x \> 4 için, örneğin x=5: f\_3'(5) = -3(5^2) + 3 = -75 + 3 = -72 \< 0 (azalan)  
x=4 noktasında fonksiyonun gidişatı: Artan \to Süreksiz \to Azalan.  
Ayrıca f(4) = 4-4 = 0 iken \lim\_{x \to 4^+} f(x) = 2.  
Fonksiyon x=4 noktasında soldan artarak 0’a gelirken, sağdan 2’den azalarak devam ediyor. Bu süreksiz atlama nedeniyle x=4 bir yerel ekstremum noktasıdır. f(4)=0 değeri, sağdaki değerlerden daha küçüktür (yerel minimum).

**Adım 4 — Yerel Ekstremum Apsislerini Toplama**

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri: x = -2, x = 1, x = 4.

Apsisleri toplamı: -2 + 1 + 4 = 3.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:** A) 3  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

🎯 **TEMEL KAVRAMLAR:**

**1. Yerel Ekstremum Noktaları**

- **Tanım:** Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki en büyük (yerel maksimum) veya en küçük (yerel minimum) değerini aldığı noktalardır. Türevin sıfır olduğu noktalar (kritik noktalar) veya fonksiyonun türevlenemediği noktalarda (süreksizlik noktaları, sivri uçlar vb.) aranır.
- **Bu problemde:** Türevleri sıfır yapan noktaları ve fonksiyonun parçalarının birleştiği noktaları inceledik.

**2. Parçalı Fonksiyonlarda Türev ve Ekstremum**

- **Tanım:** Parçalı fonksiyonlarda her bir parçanın ayrı ayrı türevi alınır ve kritik noktalar bulunur. Ayrıca, fonksiyonun tanımının değiştiği birleşim noktalarında (sınır noktalarında) süreklilik ve türevlenebilirlik incelenmelidir. Eğer fonksiyon birleşim noktasında sürekli ancak türevlenemezse veya süreksizse, bu nokta bir yerel ekstremum adayı olabilir.
- **Bu problemde:** x=1 ve x=4 noktalarında süreklilik ve türevlenebilirlik incelemesi yaparak bu noktaların da ekstremum adayı olup olmadığını belirledik.

⚠ **SIK YAPILAN HATALAR:**

**❌ Birleşim Noktalarını İhmal Etme**

- **Yanlış:** Sadece türevin sıfır olduğu noktalara bakmak.
- **Doğru:** Parçalı fonksiyonlarda, parçaların birleştiği noktalarda (örneğin x=1 ve x=4 gibi) fonksiyonun sürekli ve türevlenebilir olup olmadığını kontrol etmek, çünkü bu noktalarda da yerel ekstremumlar oluşabilir.
- **Neden yanlış:** Bu noktalar, türev sıfır olmasa bile fonksiyonun davranışında ani bir değişiklik (eğim değişimi veya süreksizlik) göstererek yerel ekstremum oluşturabilir.

**❌ Aday Noktaların Tanım Aralığını Kontrol Etmeme**

- **Yanlış:** Bulunan kritik noktaların, türevinin alındığı fonksiyon parçasının tanım aralığında olup olmadığını kontrol etmemek. Örneğin, f\_3'(x)=0 için x=1, x=-1 bulundu, ama f\_3(x) yalnızca x \ge 4 için geçerlidir.
- **Doğru:** Her kritik noktanın, ilgili fonksiyon parçasının geçerli olduğu aralıkta kalıp kalmadığını doğrulamak.
- **Neden yanlış:** Geçerli olmayan bir aralıktaki nokta, o fonksiyon parçasının ekstremumu değildir.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir parçalı fonksiyon sorusu çözmemi ister misin?