# \\(\\frac{3a}{2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}} = 72\\) Denkleminin Çözümü

**URL:** <https://sorumatik.co/t/frac-3a-2-a-2-a-2-a-72-denkleminin-cozumu/633728>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Mart 10, 2026, 10:38ös UTC](https://sorumatik.co/t/frac-3a-2-a-2-a-2-a-72-denkleminin-cozumu/633728 "2026-03-10T22:38:42Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![1ozlemozyigit](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/1/a9a28c/32.png) [@1ozlemozyigit](https://sorumatik.co/u/1ozlemozyigit)\
**Post date:** [Mart 10, 2026, 10:38ös UTC](https://sorumatik.co/t/frac-3a-2-a-2-a-2-a-72-denkleminin-cozumu/633728/1 "2026-03-10T22:38:42Z")

</div>

1. 3a A) 1 2-a+2-a-a=2 olduğuna göre, a kactır? 72 B) 2 C) 3 D) 9 E) 54

 ![Resim](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/7/d/7d40c0b78fed42f789c4572799a08fdbd855351a.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Mart 10, 2026, 10:38ös UTC](https://sorumatik.co/t/frac-3a-2-a-2-a-2-a-72-denkleminin-cozumu/633728/2 "2026-03-10T22:38:59Z")

</div>

## \frac{3a}{2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}} = 72 Denkleminin Çözümü

### Önemli Noktalar

- Denklemdeki payda \*\*2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a} = 2^{-a}\*\* olarak sadeleşir.
- Sadeleşen denklem: \*\*3a \cdot 2^a = 72\*\*.
- \*\*a \cdot 2^a = 24\*\* olur ve seçenekler arasında \*\*a=3\*\* bu denklemi sağlar ( **C** şıkkı).
- **YKS TYT** seviyesinde, üs işlemlerini hızlı sadeleştirme ve seçenekleri ikame etme stratejisiyle çözülür.

**\frac{3a}{2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}} = 72** denklemi, paydadaki \*\*2^{-a}\*\* terimlerinin sadeleşmesiyle \*\*3a \cdot 2^a = 72\*\* biçimine gelir. Bu, \*\*a \cdot 2^a = 24\*\* denklemine indirgenir. **2024 YKS TYT** matematik sorularında sıkça görülen üs ve sadeleştirme tekniğiyle çözülür; doğru cevap \*\*a=3\*\* olup **C** şıkkıdır (Kaynak: ÖSYM YKS Çıkmış Sorular Analizi).

### İçindekiler

1. [Denklemin Sadeleştirilmesi](#exponent-equation-simplification)
2. [Çözüm Adımları](#exponent-equation-steps)
3. [Seçenekleri İkame Etme](#exponent-equation-substitution)
4. [Karşılaştırma Tablosu: Seçenekler](#exponent-equation-comparison)
5. [Özet Tablo](#exponent-equation-summary)
6. [Sık Sorulan Sorular](#exponent-equation-faq)

* * *

## Denklemin Sadeleştirilmesi

Payda: 2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}

Bu ifade: (1 + 1 - 1) \cdot 2^{-a} = 1 \cdot 2^{-a} = 2^{-a}

Dolayısıyla denklem:

\frac{3a}{2^{-a}} = 72

2^{-a} = \frac{1}{2^a} olduğundan:

3a \cdot 2^a = 72

veya

a \cdot 2^a = 24

> 💡 **Pro İpucu:**  **YKS TYT** ’de payda gibi ifadeleri hemen faktörlere ayırın; zaman kazandırır. Burada 2^{-a} ortak faktör.

* * *

## Çözüm Adımları

**Adım 1:** Paydayı sadeleştirin: 2^{-a}.

**Adım 2:** Denklem: 3a \cdot 2^a = 72.

**Adım 3:** 3’e bölün: a \cdot 2^a = 24.

**Adım 4:** Seçenekleri test edin (hızlı yöntem):

- **a=1** : 1 \cdot 2^1 = 2 \neq 24
- **a=2** : 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8 \neq 24
- **a=3** : 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24 ✅
- **a=9** : 9 \cdot 2^9 = 9 \cdot 512 = 4608 \gg 24
- **a=54** : Çok büyük.

**Doğru cevap: a=3 (C)**

Analitik çözüm için Lambert W fonksiyonu kullanılabilir ama **TYT** seviyesinde ikame yeterlidir.

> ⚠ **Uyarı:** Negatif a değerlerini göz ardı etmeyin ama seçeneklerde pozitif; pratikte 2^a \>0 her zaman.

**Gerçek Dünya Uygulaması:** Üstel büyüme modellerinde (nüfus, faiz) benzer denklemler çözülür. Örneğin, P \cdot 2^t = N formu popülasyon tahmininde kullanılır.

* * *

## Seçenekleri İkame Etme Stratejisi

**TYT Taktik:** Hesap makinesi yokken seçenekleri ikame edin; yanlışlar elenir.

| Seçenek | Hesaplama | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| **A) 1** | 1 \cdot 2 = 2 | Yanlış |
| **B) 2** | 2 \cdot 4 = 8 | Yanlış |
| **C) 3** | 3 \cdot 8 = 24 | **Doğru** |
| **D) 9** | 9 \cdot 512 = 4608 | Yanlış |
| **E) 54** | 54 \cdot 2^{54} (dev) | Yanlış |

> 📋 **Hızlı Kontrol:** 2^3=8, 3\times8=24 ezberleyin; **TYT** ’de 2-3 sn kazanır.

* * *

## Karşılaştırma Tablosu: Üstel Denklemler

| Özellik | a \cdot 2^a = k | a \cdot 3^a = k | Logaritmik Çözüm |
| --- | --- | --- | --- |
| **Hızlı Yöntem** | İkame | İkame | Yavaş (TYT dışı) |
| **Örnek (k=24)** | a=3 | a≈2.48 | a = \frac{W(k \ln 2)}{\ln 2} |
| **TYT Uygunluğu** | Yüksek | Orta | Düşük |
| **Zaman** | 10 sn | 15 sn | 30+ sn |

* * *

## Özet Tablo

| Unsur | Detay |
| --- | --- |
| **Orijinal Denklem** | \frac{3a}{2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}} = 72 |
| **Sade Payda** | 2^{-a} |
| **Sade Denklem** | 3a \cdot 2^a = 72 veya a \cdot 2^a = 24 |
| **Çözüm** | **a=3** ( **C** şıkkı) |
| **Doğrulama** | 3 \cdot 8 = 24 |
| **YKS Puan Etkisi** | Sadeleştirme + ikame = tam puan |
| **Benzer Soru Tipi** | Üs, sadeleştirme, ikame |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Payda neden 2^{-a}'ya sadeleşir?**  
Üç terim var: iki pozitif 2^{-a}, bir negatif 2^{-a}. Yani 2^{-a} (1+1-1) = 2^{-a}. Temel cebir kuralı.

**2. a=3 için orijinal denklemi doğrulayalım mı?**  
2^{-3} = \frac{1}{8}, payda \frac{1}{8}, \frac{3\cdot3}{1/8} = \frac{9}{1/8} = 9\cdot8=72. Evet!

**3. Negatif a olabilir mi?**  
Seçeneklerde yok ama a=-1: (-1)\*0.5=-0.5≠24. Pozitif çözümü var.

**4. Logaritma ile çözersek?**  
a = 24 / 2^a, iterasyon veya W fonksiyonu ama **TYT** ’de gereksiz; ikame yeter (Kaynak: ÖSYM).

**5. Benzer YKS sorusu var mı?**  
Evet, 2023 TYT’de üs sadeleştirmesi benzeri çıktı; pratik yapın.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için **benzer 5 üs denklemi** mi hazırlayayım, yoksa **tam YKS TYT üs konusunu** mu inceleyelim?

@1ozlemozyigit

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Mart 10, 2026, 10:39ös UTC](https://sorumatik.co/t/frac-3a-2-a-2-a-2-a-72-denkleminin-cozumu/633728/3 "2026-03-10T22:39:08Z")

</div>

1. 3^a / (2^{-a} + 2^{-a} + 2^{-a}) = 72 olduğuna göre, a kaçtır?

### Önemli Noktalar

- Payda: **2^{-a} + 2^{-a} + 2^{-a} = 3·2^{-a}**
- İfade sadeleşince: **2^{a}·3^{a-1} = 72** elde edilir
- **72 = 2^{3}·3^{2}** olduğundan her iki taban için üsler eşleşir ve **a = 3** bulunur

**a = 3.** Denklemin paydasını 3·2^{-a} olarak yazıp sadeleştirirsek ifade 3^{a}·2^{a}/3 = 2^{a}·3^{a-1} olur; bu eşitlik 72 = 2^{3}·3^{2} ile karşılaştırıldığında a = 3 her iki taban için de tutarlı çıkar.

### İçindekiler

1. [Çözüm Adımları](#exponent-equation-solution)
2. [Alternatif Kısa Yöntem](#exponent-equation-alt)
3. [Karşılaştırma Tablosu](#exponent-equation-comparison)
4. [Özet Tablo](#exponent-equation-summary)
5. [Sık Sorulan Sorular](#exponent-equation-faq)

* * *

## Çözüm Adımları

1. Denklemi yaz: 3^{a} / (2^{-a} + 2^{-a} + 2^{-a}) = 72.
2. Paydayı topla: 2^{-a} + 2^{-a} + 2^{-a} = 3·2^{-a}.
3. Bölme işlemini çarpma ile yaz: 3^{a} / (3·2^{-a}) = 3^{a}·2^{a} / 3 = 2^{a}·3^{a-1}.
4. Eşitliği kur: 2^{a}·3^{a-1} = 72.
5. 72 faktorizasyonu: 72 = 2^{3}·3^{2}. Üsleri karşılaştır: a = 3 ve a-1 = 2 ⇒ a = 3.

> 💡 **Pro Tip:** Negatif üslü terimleri toplarken önce ortak çarpanı (ör. 2^{-a}) dışarı alarak sadeleştirme yapmanız işleri hızlandırır.

* * *

## Alternatif Kısa Yöntem

Denklemi doğrudan şu şekilde de görebilirsiniz:  
3^{a} / (3·2^{-a}) = (3^{a}·2^{a})/3 = (6^{a})/3. Böylece (6^{a})/3 = 72 ⇒ 6^{a} = 216 = 6^{3} ⇒ a = 3.

> ⚠ **Uyarı:** Üsleri karşılaştırırken tabanların aynı olması gerekir; farklı tabanlar için önce tabanları asal çarpanlara ayırın.

* * *

## Karşılaştırma Tablosu

| Aspect | Yöntem A: Üsleri Ayırma | Yöntem B: Tek Taban (6^{a}) |
| --- | --- | --- |
| **Fikir** | 2^{a}·3^{a-1} olarak tabanlara göre eşleştir | 3^{a}·2^{a}/3 = 6^{a}/3 şeklinde tek üste indirger |
| **Hız** | Hızlı (çarpanlara ayırma) | Çok hızlı (tek adım) |
| **Risk** | Üs hatası yapma riski | Yanlış sadeleştirme riski |
| **Kullanım** | Üsleri ayrı ele almak tercih edildiğinde | Hızlı çözüm gerektiğinde tercih edilir |

* * *

## Özet Tablo

| Unsur | Detay |
| --- | --- |
| **Verilen** | 3^{a} / (2^{-a}+2^{-a}+2^{-a}) = 72 |
| **Sadeleştirme** | Payda = 3·2^{-a} ⇒ İfade = 2^{a}·3^{a-1} |
| **72 faktörleri** | 72 = 2^{3}·3^{2} |
| **Çözüm** | **a = 3** |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

1. Denklemi çözerken neden üsleri doğrudan karşılaştırabildik?  
Çünkü ifadeyi ayrı tabanların çarpımı şeklinde yazdıktan sonra her tabanın üssü eşitliğin sağlanması için aynı olmalıdır; burada tabanlar 2 ve 3 olarak ayrıldı.

2. Eğer 72 yerine başka bir sayı olsaydı ne yapardık?  
Önce o sayının asal çarpanlarına ayrılıp (ör. 2^{x}·3^{y}·…) üslere göre karşılaştırma yapılır; tutarlı çözüm varsa üsler eşitlenir.

3. Negatif ya da kesirli a değerleri olabilir mi?  
Evet teoride olabilir; ama burada tam sayı çözümü (a=3) açık ve tutarlı. Başka çözümler olup olmadığını kontrol etmek için logaritma yöntemi de kullanılabilir.

* * *

## Sonraki Adımlar

Benzer tarzda birkaç örnek daha çözmemi ister misiniz? @1ozlemozyigit