# Fonksiyon Sorusu | 1775475312044

**URL:** <https://sorumatik.co/t/fonksiyon-sorusu-1775475312044/646949>\
**Category:** Maths Question\
**Created:** [Nisan 6, 2026, 11:35öö UTC](https://sorumatik.co/t/fonksiyon-sorusu-1775475312044/646949 "2026-04-06T11:35:12Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ruya\_Erbil](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ruya_erbil/32/59619_2.png) [@Ruya\_Erbil](https://sorumatik.co/u/Ruya_Erbil)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 11:35öö UTC](https://sorumatik.co/t/fonksiyon-sorusu-1775475312044/646949/1 "2026-04-06T11:35:12Z")

</div>

**Soru:**

1. Verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdaki soruları cevaplayınız.  
-1+1  
#-1  
f(a) =  
a) f(x) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. y=f(x) grafiğinin  
eksenleri kestiği bütün noktaları bulunuz.  
b) y=f(x) grafiğinin bütün asimptotlarını bulunuz.  
c) y=f(x) fonksiyonunun artan/azalan, yukarıya/aşağıya içbükey olduğu  
aralıkları gösteren bir tablo yapınız. Varsa uç noktalarını ve bükülme  
noktalarını gösteriniz.  
d)  
y = f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

**Soru Fotoğrafı:**  
!Soru Görseli [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 11:35öö UTC](https://sorumatik.co/t/fonksiyon-sorusu-1775475312044/646949/2 "2026-04-06T11:35:43Z")

</div>

## Verilen f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} fonksiyonu için sorular

* * *

💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**

- Tanım kümesi: Fonksiyonun paydasının sıfır olmadığı x değerleri.
- Kesim noktaları: x ve y eksenini kesme noktaları için f(x)=0 ve x=0 durumları.
- Asimptotlar: Dikey asimptot için paydanın sıfır olduğu noktalar, yatay veya eğik asimptot için limitler.
- Artan/azalan aralıklar: f'(x) türevine bakılır.
- İçyapı (konveks/konkav): f''(x) türevine bakılır.

* * *

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Tanım Kümesi**  
Fonksiyonun paydayı x - 1 \neq 0 yapmalı:

x \neq 1

Bu yüzden tanım kümesi:

D = \mathbb{R} \setminus \{1\}

**Adım 2 — Eksenleri Kestiği Noktalar**

- x eksenini kestiği yer: f(x) = 0 

\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = 0 \implies x^2 - x + 1 = 0

Bu denklemin diskriminantı:

\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \< 0

Gerçek kök yok, yani fonksiyon x eksenini kesmez.

- y eksenini kestiği yer: x=0 için f(0) 

f(0) = \frac{0^2 - 0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1

Buradan kesim noktası:

(0, -1)

**Adım 3 — Asimptotların Bulunması**

- Dikey asimptotlar: Payda sıfır noktası

x = 1

- Eğik ya da yatay asimptot bulmak için x \to \infty limiti:  
Fonksiyonu bölerek yazalım:

\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \text{bölme işlemi yapalım}

Bölme işlemi:

x^2 - x + 1 ÷ x - 1:

- x^2 ÷ x = x , x \times (x-1) = x^2 - x 
- Çıkarma: (x^2 - x +1) - (x^2 - x) = 1 

Kalan: 1

Şöyle:

\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1}

Buradan:

\lim\_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim\_{x \to \pm \infty} \left(x + \frac{1}{x - 1}\right) = \pm \infty

Yani yatay asimptot yok ama eğik asimptot var:

y = x

**Adım 4 — Artan / Azalan Aralıklar ve İçyapı**

Öncelikle türev alalım:

f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}

Türevi:

f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x +1) \cdot 1}{(x - 1)^2}

Bunun açılımı:

= \frac{(2x -1)(x -1) - (x^2 - x + 1)}{(x -1)^2}

İşlem yapalım:

(2x -1)(x -1) = 2x^2 - 2x - x +1 = 2x^2 -3x +1

Pay kısmı:

2x^2 - 3x +1 - (x^2 - x +1) = 2x^2 -3x +1 - x^2 + x -1 = x^2 - 2x

Yani:

f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}

f'(x) = 0 olan noktalar:

x = 0, \quad x = 2

Payda karesi olduğundan her zaman pozitiftir.

- Aralıklar:
  - (-\infty, 0) : x(x-2) → x \< 0 , x -2 \< 0 \implies pozitif \times negatif = negatif . Türev negatif, azalan.
  - (0,1) : x \>0 , x-2 \< 0 \implies pozitif \times negatif = negatif . Azalan.
  - (1,2) : x \>1 , x -2 \< 0 \implies pozitif \times negatif = negatif . Azalan.
  - (2, \infty) : x \>2 , x - 2 \>0 \implies pozitif \times pozitif = pozitif . Artan.

Ancak dikkat: x=1 tanımsız, o nokta dışlanmalı.

Sonuç:

- Fonksiyon, (-\infty, 1) içinde [-\infty, 0) ve (0,1) da f'(x) \< 0 , azalan.
- Fonksiyon, (1, 2) aralığında da azalan (ama x=1 yok).
- Fonksiyon, (2, \infty) aralığında artan.

**Adım 5 — İkinci Türev ve İçyapı**

f'(x) = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}

f''(x) için türev alalım:

f'(x) = \frac{u}{v}, \quad u = x(x-2) = x^2 - 2x, \quad v = (x-1)^2

Türevi:

f''(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Burada:

u' = 2x - 2, \quad v' = 2(x-1)

Yerine koy:

f''(x) = \frac{(2x - 2)(x -1)^2 - (x^2 - 2x) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4}

Üst kısmı açalım:

(2x - 2)(x - 1)^2 = 2(x - 1)(x - 1)^2 = 2(x - 1)^3

Burada 2x - 2 = 2(x -1) olarak yazdık.

Diğer ifade:

2(x^2 - 2x)(x - 1) = 2x(x - 2)(x - 1)

Üst kısmı eşitlersek:

2(x - 1)^3 - 2x(x - 2)(x - 1) = 2(x - 1)[(x - 1)^2 - x(x - 2)]

Parantez içini açalım:

(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1

x(x - 2) = x^2 - 2x

Bundan dolayı,

(x - 1)^2 - x(x - 2) = (x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 2x) = 1

Sonuç olarak üst kısım:

2(x - 1) \cdot 1 = 2(x - 1)

Böylece,

f''(x) = \frac{2(x -1)}{(x - 1)^4} = \frac{2}{(x-1)^3}

İçbükeylik için f''(x) \> 0 :

\frac{2}{(x-1)^3} \> 0

Pay pozitif olduğu için işaret paydanın işaretine bağlı:

- (x - 1)^3 \> 0 ise x \> 1 , fonksiyon içbükey.
- (x - 1)^3 \< 0 ise x \< 1 , fonksiyon dışbükey (yuvarlak yukarı).

**Uç noktası/bükülme noktası:**

Fonksiyonun ikinci türevi değişim yeri x=1 ama bu noktada fonksiyon tanımsız, dolayısıyla bükülme noktası yok.

* * *

**Adım 6 — Grafik Çizimi İçin Önemli Noktalar**

- Dikey asimptot: x=1 
- Eğik asimptot: y = x 
- Eksen kesim noktası: (0, -1) 
- Artış azalış yönleri:
  - Azalan: (-\infty,1) ve (1,2) 
  - Artan: (2, \infty) 

- İçyapı:
  - Dışbükey: (-\infty,1) 
  - İçbükey: (1, \infty) 

* * *

✅ **CEVAP:**

**a)**

- Tanım kümesi:

D = \mathbb{R} \setminus \{1\}

- Eksenleri kesme noktaları:

y\text{ eksenini kestiği nokta } (0,-1), \quad x \text{ eksenini kesmez.}

**b)**

- Dikey asimptot:

x=1

- Eğik asimptot:

y = x

**c)**

| Aralık | Türev İşareti | Artan/Azalan | İkinci Türev İşareti | İçbükey / Dışbükey |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| (-\infty, 1) | Negatif | Azalan | Negatif | Dışbükey |
| (1, 2) | Negatif | Azalan | Pozitif | İçbükey |
| (2, \infty) | Pozitif | Artan | Pozitif | İçbükey |

- x=1 noktasında tanımsızlık var, uç veya bükülme noktası yok.

**d)**  
Grafiğin çizimi için:

- Dikey asimptot x=1 çizilir,
- Eğik asimptot y=x çizilir,
- Fonksiyon x\<1 için dışbükey, x\>1 için içbükey,
- Artan/azalan bölgeler yukarıdaki tablodan takip edilir.

* * *

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀  
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Nisan 6, 2026, 11:36öö UTC](https://sorumatik.co/t/fonksiyon-sorusu-1775475312044/646949/3 "2026-04-06T11:36:38Z")

</div>

## Verilen f(x)=\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1} fonksiyonu için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

💡 **KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**

- Polinom bölmesi ile eğik asimptot bulma.
- Türev: \dfrac{d}{dx}\bigl( x\bigr)=1, \dfrac{d}{dx}\bigl((x-1)^{-1}\bigr)=- (x-1)^{-2}.
- İkinci türev ile konkavite: f''(x)\>0\Rightarrow yukarıya içbükey, f''(x)\<0\Rightarrow aşağıya içbükey.

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Fonksiyonun sadeleştirilmesi ve tanım kümesi**

Sadeleştirme kurulumu:

f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x-1}

Polinom bölmesi:

\text{Bölme: } \frac{x^{2}-x+1}{x-1}

\text{Bölümün ilk terimi: } \frac{x^{2}}{x}=x

\text{Çarpma: } x\cdot (x-1)=x^{2}-x

\text{Çıkarma (kalan): } (x^{2}-x+1)-(x^{2}-x)=1

\text{Böylece } f(x)=x+\frac{1}{x-1}

Tanım kümesi:

\text{Payda } x-1=0 \Rightarrow x\neq 1

\text{Tanım kümesi: } \mathbb{R}\setminus\{1\}

**Adım 2 — Eksenleri kesme noktaları (kesişimler)**

x-ekseniyle kesişim (x kökleri) için payın sıfırı aranır:

\text{Kurulum: } x^{2}-x+1=0

\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4

\Delta = -3 \<0

\text{Gerçek kök yoktur. (x-ekseniyle kesişim yok)}

y-ekseni için x=0:

\text{Kurulum: } f(0)=\frac{0^{2}-0+1}{0-1}

f(0)=\frac{1}{-1}

f(0)=-1

\text{Y-ekseni kesişimi: } (0,-1)

**Adım 3 — Asimptotların bulunması**

Dikey asimptot için payda sıfırları:

x-1=0

\text{Dikey asimptot: } x=1

Eğik (slant) asimptot için bölüm terimi:

f(x)=x+\frac{1}{x-1}

\text{Eğik asimptot: } y=x

**Adım 4 — Türev ve monotonluk (artan/azalan) analizi**

Türev kurulumu:

f(x)=x+(x-1)^{-1}

Türev hesaplama:

f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl((x-1)^{-1}\bigr)

f'(x)=1 - (x-1)^{-2}

Kritik noktalar için f'(x)=0:

1-(x-1)^{-2}=0

(x-1)^{-2}=1

(x-1)^{2}=1

x-1=\pm 1

x=2 \quad \text{ve} \quad x=0

İşaret analizi:

f'(x)\>0 \Leftrightarrow 1-\frac{1}{(x-1)^{2}}\>0

\Leftrightarrow \frac{1}{(x-1)^{2}}\<1

\Leftrightarrow (x-1)^{2}\>1

\Leftrightarrow |x-1|\>1

\Leftrightarrow x\<0 \ \text{veya}\ x\>2

Artan/azalan sonuçları:

\text{Artan: } (-\infty,0)\ \cup\ (2,\infty)

\text{Azalan: } (0,1)\ \cup\ (1,2)

**Adım 5 — İkinci türev ve konkavite (içbükey/ dışbükey) analizi**

İkinci türev kurulumu:

f'(x)=1-(x-1)^{-2}

İkinci türev hesaplama:

f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl((x-1)^{-2}\bigr)

f''(x)=0 - \bigl(-2\bigr)(x-1)^{-3}

f''(x)=2(x-1)^{-3}

f''(x)=\frac{2}{(x-1)^{3}}

Konkavite işareti:

\text{Eğer } x\>1 \Rightarrow (x-1)^{3}\>0 \Rightarrow f''(x)\>0

\text{Eğer } x\<1 \Rightarrow (x-1)^{3}\<0 \Rightarrow f''(x)\<0

Sonuç:

\text{Aşağıya içbükey (concave down): } (-\infty,1)

\text{Yukarıya içbükey (concave up): } (1,\infty)

Not: x=1 tanımda olmadığı için burada bükülme (inflection) noktası yoktur.

**Adım 6 — Uç noktalar ve ekstremumlar**

Kritik noktalar x=0 ve x=2.

İkinci türeve göre sınıflama:

f''(0)=\frac{2}{(0-1)^{3}}=\frac{2}{-1}=-2\<0

\text{Sonuç: } x=0 \text{ noktasında yerel maksimum}

\text{Değer: } f(0)=-1

f''(2)=\frac{2}{(2-1)^{3}}=\frac{2}{1}=2\>0

\text{Sonuç: } x=2 \text{ noktasında yerel minimum}

\text{Değer: } f(2)=\frac{2^{2}-2+1}{2-1}=\frac{3}{1}=3

**Adım 7 — Grafiğin ana hatları (çizim talimatı)**

Önemli noktalar ve doğrular:

- Tanım kümesi: \mathbb{R}\setminus\{1\}.
- Dikey asimptot: x=1.
- Eğik asimptot: y=x.
- Y-ekseni kesişimi: (0,-1) (aynı zamanda yerel maksimum).
- Yerel maksimum: (0,-1).
- Yerel minimum: (2,3).
- x-ekseni ile kesişim yok.
- Konka değişimi: sol tarafta (x\<1) aşağıya içbükey, sağ tarafta (x\>1) yukarıya içbükey.
- x→±∞ iken grafik eğik asimptot y=x’e yaklaşır: f(x)-x=\dfrac{1}{x-1}\to 0.

Çizim önerisi: Dikey çizgi x=1 kesik olarak gösterilsin; doğru y=x hafif kesikli asimptot; sol bölümde (-∞,1) aşağıya içbükey ve (0,-1) de maksimum; sağ bölümde (1,∞) yukarıya içbükey ve (2,3) de minimum. Asimptota yaklaşma yönleri: x\to1^{-} için f\to -\infty, x\to1^{+} için f\to +\infty.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:**

- **Tanım kümesi:** \mathbb{R}\setminus\{1\}.

- **Eksenleri kestiği noktalar:** Y-ekseni ile kesişim (0,-1). X-ekseni ile kesişim yok.

- **Asimptotlar:** Dikey asimptot x=1. Eğik asimptot y=x.

- **Artan/Azalan:**

- **Konkavite (İçbükey):**

- **Uç noktalar / Ekstremumlar:**

- **Grafik notu:** Fonksiyonun sağ ve sol kısımları y=x eğik asimptotuna yaklaşır; x=1 dikey asimptottur; x\to1^{-}de f\to -\infty, x\to1^{+}de f\to +\infty.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
**TEMEL KAVRAMLAR:**

1. **Asimptot**

- **Tanım:** Grafiğin uzaklarda yaklaştığı doğru veya dikey çizgi.
- **Bu problemde:** Eğik asimptot y=x, dikey asimptot x=1.

1. **Türev**

- **Tanım:** Eğimin fonksiyonu, monotonluk belirlenir.
- **Bu problemde:** f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^{2}} ile artan/azalan aralıkları bulundu.

1. **İkinci türev**

- **Tanım:** Konkaviteyi belirler.
- **Bu problemde:** f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^{3}} ile konkavite aralıkları bulundu.

**SIK YAPILAN HATALAR:**

❌ **Tanım kümesi unutulması**

- **Yanlış:** x=1’i kabul etmek.
- **Doğru:** x\neq 1.
- **Neden yanlış:** Payda sıfır yapar.
- **Düzeltme:** Tanım kümesinde x=1 çıkarılır.

❌ **Bükülme noktasını x=1 olarak kabul etmek**

- **Yanlış:** x=1’i inflection point saymak.
- **Doğru:** x=1 tanımda olmadığı için inflection noktası yok.
- **Neden yanlış:** Nokta fonksiyonun tanımında değil.
- **Düzeltme:** Sadece tanım kümesindeki noktaları kontrol edin.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀