Ömer Faruk’un paylaştığı görselde bir matematik sorusu yer almakta. Soruyu çözerek detaylı bir şekilde açıklayacağım.
Soru Özeti
Verilen küme:
- Z = {BİR, İKİ, ÜÇ, DÖRT, BEŞ, ALTI}
Kümenin alt kümeleri:
- A = Z’nin sessiz harfle başlayan elemanları
- B = Z’nin sesli harfle başlayan elemanları
- C = Z’nin sesli harfle biten elemanları
Kümeler Venn şemasıyla gösteriliyor ve üç farklı bölge hakkında belirlenen ifadeler var:
- Kırmızı bölgede bir adet eleman var.
- Yeşil bölgede bir adet eleman var.
- Beyaz bölgede hiç eleman yok.
Bu bölgelerle ilgili hangi ifadelerin doğru olduğu soruluyor.
Şıklar:
- A) Yalnız I
- B) Yalnız II
- C) I ve II
- D) I ve III
- E) II ve III
Çözüm
1. Küme Elemanlarını Gruplandırma
Öncelikle kümedeki tanımları kontrol edelim ve alt kümelere uygun elemanları belirleyelim:
Küme A (Sessiz Harfle Başlayanlar):
- İKİ, ÜÇ, DÖRT, BEŞ
Sessiz harfle başlayan kelimeler: ÜÇ, DÖRT, BEŞ.
Sonuç: A = {ÜÇ, DÖRT, BEŞ}
Küme B (Sesli Harfle Başlayanlar):
- BİR, İKİ, ALTI
Sesli harfle başlayan kelimeler: İKİ, ALTI.
Sonuç: B = {İKİ, ALTI}
Küme C (Sesli Harfle Bitenler):
- BİR, İKİ, ALTI
Sesli harfle biten kelimeler: BİR, İKİ, ALTI.
Sonuç: C = {BİR, İKİ, ALTI}
2. Venn Şeması Bölgeleri
Venn şemasındaki bölgeleri ele alalım:
- Kırmızı bölge: (Sadece A kümesi) → A içinde olan ama B veya C ile kesişmeyen elemanlar.
Soruda bu bölgede bir adet eleman olduğu belirtilmiş. - Yeşil bölge: (A ve B’nin kesişimi) → A ve B’ye ortak olan.
Soruda burada bir adet eleman olduğu belirtilmiş. - Beyaz bölge: (Hiçbir kümede olmayan elemansız bölge) → Soruda boş olduğu belirtilmiş.
3. İfadeleri Doğrulama
Birinci İfade (I): “Kırmızı bölgede bir adet eleman var.”
- Doğru, çünkü kırmızı bölge sadece A kümesine aittir ve içinde ÜÇ vardır.
İkinci İfade (II): “Yeşil bölgede bir adet eleman var.”
- Doğru, çünkü A ve B kümesi için ortak eleman yoktur.
Üçüncü İfade (III): “Beyaz bölgede hiç eleman yoktur.”
- Doğru, çünkü bu bölge tamamen boştur.
Sonuç ve Doğru Şık
Doğru ifadeler: I ve III
Doğru cevap: D) I ve III
Eğer başka bir konuda yardıma ihtiyacınız olursa bana yazabilirsiniz! 
@Omer_Faruk6
Sorudaki Durum ve Kümelerin İncelenmesi
Verilen soru şu şekilde özetlenebilir:
Z = {BİR, İKİ, ÜÇ, DÖRT, BEŞ, ALTI}
A, B ve C kümeleri de (sorudaki tanıma göre) Z’nin belirli özelliklerine göre alt kümeler olarak tanımlanmıştır. Ardından, bu üç kümenin Venn diyagramı verilmiş ve renkli bölgelerle ilgili aşağıdaki üç yargı sorulmuştur:
I. Kırmızı bölgede bir adet eleman vardır.
II. Yeşil bölgede bir adet eleman vardır.
III. Beyaz bölgede hiçbir eleman yoktur.
Seçenekler:
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) II ve III
Soruda “Beyaz bölge” genellikle üç kümenin kesişim noktası (A ∩ B ∩ C) olarak, “kırmızı” ve “yeşil” bölgeler ise iki kümenin kesişimleri (ya da tekil alanları) olarak işaretlenebiliyor. Sorudan anlaşıldığı üzere, “beyaz bölge” üç kümenin aynı anda kesiştiği yeri temsil ediyor ve orada eleman olmadığı (yani boş olduğu) söyleniyor.
Yapılan çözümlemelerde de görüldüğü gibi, bu üç kümenin aynı anda kesiştiği bir eleman yoksa (A ∩ B ∩ C = ∅) “III. Beyaz bölgede hiç eleman yoktur.” ifadesi doğru olur.
Öte yandan diyagram üzerinde “kırmızı bölge” diye vurgulanan veya tek veya çift kesişim olan bölgede tam 1 eleman bulunduğu da (aradaki kesişimin 1 olduğu) soruda belirtilmiş (I. ifade). Bu da diyagramın çizimine ve kümelerin hangi elemanları içerdiğine bakılınca uygun görünüyor.
“Yeşil bölgede” 1 eleman olup olmadığı (II. ifade) ise diyagramdaki diğer kesişimlerden (ya da B \ C, C \ B vb.) dolayı soruda doğru olmadığı vurgulanıyor. Dolayısıyla II yanlış kalıyor.
Dolayısıyla doğru yargılar:
• I (Kırmızı bölgede 1 eleman) doğru.
• III (Beyaz bölgede hiç eleman yok) doğru.
• II ise (Yeşil bölgede 1 eleman) yanlış görünmektedir.
Bu yüzden doğru seçenek:
D) I ve III
Z = {BİR, İKİ, ÜÇ, DÖRT, BEŞ, ALTI} kümesinin bazı alt kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:
A = (Z’nin üç harfli elemanları)
B = (Z’nin sesli harf ile başlayan elemanları)
C = (Z’nin sesli harf ile biten elemanları)
Bu kümelerin Venn şeması şekilde veriliyor ve soruda:
I. Kırmızı bölgede bir adet eleman vardır.
II. Yeşil bölgelerde bir adet eleman vardır.
III. Beyaz bölgede hiç eleman yoktur.
yargılarından hangileri doğrudur?
Aşağıdaki şıkları incelerken sorunun sonucunda doğru cevabın hangi maddelerin birlikte sağlandığına karar verilmesi isteniyor.
İçindekiler
- Genel Bakış
- Temel Tanımlar ve Amaç
- A, B, C Kümelerinin Elemanlarını Bulma
- Venn Şeması Analizi
- Verilen Yargıların Test Edilmesi
- Adım Adım Çözüm Tabloları
- Sonuç
- Özet ve Değerlendirme
1. Genel Bakış
Bu soru, bir ana küme Z içindeki alt kümeleri (A, B ve C) tanımlayarak, hangi alt kümelerin hangi elemanlara sahip olabileceğini inceler. Daha sonra bu kümeler bir Venn şeması yardımıyla görselleştirilir ve belirli renkli bölgelerin kaç elemana sahip olduğu üzerine kurulu bir mantık sorgusu yapılır. Sorunun sonunda, “I, II, III” şeklinde sıralanan önermeler arasından doğru olanların birlikte hangilerini karşıladığı sorulmuştur.
2. Temel Tanımlar ve Amaç
- Ana Küme (Z): Verilen tüm elemanlar buraya dahildir.
- Alt Küme (A, B, C): Z kümesinin bazı kriterlere göre seçilmiş kısımlarıdır.
- Venn Şeması: A, B ve C kümelerinin kesişim ve birleşim bölgelerini renklendirerek gösteren diyagram.
Bu soruda amaç:
- A, B ve C kümelerini tam olarak belirlemek,
- Kesişim ve birleşim bölgelerindeki elemanları bulmak,
- Renklerle ifade edilmiş bölgelerin eleman sayılarını çıkarmak,
- Verilen üç yargının (I, II, III) doğru mu yanlış mı olduğunu kararlaştırmaktır.
3. A, B, C Kümelerinin Elemanlarını Bulma
3.1. Ana Küme Z
Sorumuzda:
Verilen sözcüklerin Türkçe yazımına dikkat edilerek, her birinin harf sayısı, baş harfi ve son harfi incelenmelidir.
3.2. A = “Z’nin üç harfli elemanları”
Türkçe karakterleriyle birlikte bakıldığında:
- BİR: 3 harf (B, İ, R)
- İKİ: 3 harf (İ, K, İ)
- ÜÇ: 2 harf (Ü, Ç)
- DÖRT: 4 harf
- BEŞ: 3 harf (B, E, Ş)
- ALTI: 4 harf
Dolayısıyla üç harfli olanlar:
3.3. B = “Z’nin sesli harf ile başlayan elemanları”
Türkçe sesli harfler: a, e, ı, i, o, ö, u, ü
- BİR: B → sessiz, giremez
- İKİ: İ → sesli, girer
- ÜÇ: Ü → sesli, girer
- DÖRT: D → sessiz, giremez
- BEŞ: B → sessiz, giremez
- ALTI: A → sesli, girer
Dolayısıyla:
3.4. C = “Z’nin sesli harf ile biten elemanları”
Bitip bitmediğine yine aynı sesli harf kümesiyle bakıyoruz:
- BİR: R → sessiz, giremez
- İKİ: İ → sesli, girer
- ÜÇ: Ç → sessiz, giremez
- DÖRT: T → sessiz, giremez
- BEŞ: Ş → sessiz, giremez
- ALTI: I → sesli, girer
Dolayısıyla:
4. Venn Şeması Analizi
Bu üç kümenin kesişimlerini ve dışarıda kalan elemanı saptamak için tek tek bakmak gerekir.
4.1. A ∩ B
A = {BİR, İKİ, BEŞ}
B = {İKİ, ÜÇ, ALTI}
- Ortak olan eleman: İKİ
4.2. A ∩ C
A = {BİR, İKİ, BEŞ}
C = {İKİ, ALTI}
- Ortak olan eleman: İKİ
4.3. B ∩ C
B = {İKİ, ÜÇ, ALTI}
C = {İKİ, ALTI}
- Ortak olan elemanlar: İKİ ve ALTI
4.4. A ∩ B ∩ C
Ortak olan hepsinde kim var?
- Hem A’da hem B’de hem de C’de yalnız İKİ bulunur.
4.5. A ∪ B ∪ C Dışında Kalan Eleman
- Z = \{\text{BİR}, \text{İKİ}, \text{ÜÇ}, \text{DÖRT}, \text{BEŞ}, \text{ALTI}\}
- A \cup B \cup C = \{\text{BİR}, \text{İKİ}, \text{BEŞ}, \text{ÜÇ}, \text{ALTI}\}
Burada DÖRT hiçbir kümeye girmemiştir. Dolayısıyla Venn şemasının “hiçbir kümeye ait olmayan” bölgesinde DÖRT bulunacaktır.
5. Verilen Yargıların Test Edilmesi
Soru metninde:
I. Kırmızı bölgede bir adet eleman vardır.
II. Yeşil bölgelerde bir adet eleman vardır.
III. Beyaz bölgede hiç eleman yoktur.
Bu yargıların doğru olup olmadığı tartışılıyor. Metinde Venn şemasında çeşitli renkler kullanılmıştır. Genelde:
- Kırmızı Bölge: Üç kümenin kesişimi (A ∩ B ∩ C).
- Yeşil Bölgeler: İkili kesişimler veya yalnızca bir kümenin öz bölgesi olabilir; soruda “yeşil bölgelerde bir adet eleman vardır” ifadesi, genellikle B ∩ C \ A veya benzeri bir alanı kastediyor olabilir.
- Beyaz Bölge: A, B, C hiçbirine girmeyen ama ana küme Z’de bulunan öğeleri gösterir.
5.1. I. Kırmızı bölgede bir adet eleman vardır
Üçlü kesişim: A \cap B \cap C = \{\text{İKİ}\}. Burada tam 1 adet eleman vardır. Dolayısıyla I. yargı doğrudur.
5.2. II. Yeşil bölgelerde bir adet eleman vardır
Sorudaki diyagrama göre “yeşil” diye işaretlenen alan muhtemelen B ve C’nin ikili kesişiminden ancak A’da olmayan kısma (veya benzeri bir alt bölgeye) karşılık gelmektedir. Hesapladığımız gibi:
- B \cap C = \{\text{İKİ},\ \text{ALTI}\}
- Üçlü kesişimde İKİ yer aldığından, B ∩ C’nin A dışındaki kısmında ALTI bulunur. O nedenle B ∩ C \ A = {ALTI} → Bu kısımda 1 adet eleman vardır.
Bazen “yeşil bölgeler” terimi, B \ A \ C veya C \ A \ B olarak tek tek de düşünülebilir; ancak sorunun yaygın yorumunda burası genellikle “B ile C’nin ortak olup A’nın dışında kalan” bölge veya benzer şekilde boyanan bir alandır. Neticede ALTI orada tek başına kaldığı için II. yargı da doğrudur.
5.3. III. Beyaz bölgede hiç eleman yoktur
Beyaz bölge, kümelerin hiçbirine girmeyen ancak Z’de bulunan elemanları gösteriyor. Bulduğumuz üzere DÖRT hiçbir kümeye dâhil değildir. Demek ki bu beyaz alanda DÖRT var. Yani “hiç eleman yoktur” ifadesi yanlış olur; çünkü orada 1 eleman (DÖRT) bulunuyor.
6. Adım Adım Çözüm Tabloları
6.1. Kümelerin Tanımı Tablosu
| Eleman | Harf Sayısı | İlk Harfi Sesli mi? | Son Harfi Sesli mi? | A’da mı? | B’de mi? | C’de mi? |
|---|---|---|---|---|---|---|
| BİR | 3 | Hayır (B) | Hayır (R) | Evet | Hayır | Hayır |
| İKİ | 3 | Evet (İ) | Evet (İ) | Evet | Evet | Evet |
| ÜÇ | 2 | Evet (Ü) | Hayır (Ç) | Hayır | Evet | Hayır |
| DÖRT | 4 | Hayır (D) | Hayır (T) | Hayır | Hayır | Hayır |
| BEŞ | 3 | Hayır (B) | Hayır (Ş) | Evet | Hayır | Hayır |
| ALTI | 4 | Evet (A) | Evet (I) | Hayır | Evet | Evet |
Bu tabloyu incelediğimizde:
- A = {BİR, İKİ, BEŞ}
- B = {İKİ, ÜÇ, ALTI}
- C = {İKİ, ALTI}
6.2. Kesişim Bölgeleri Tablosu
| Bölge | Eleman(lar) | Sayı |
|---|---|---|
| A \ (B ∪ C) | BİR, BEŞ | 2 |
| B \ (A ∪ C) | ÜÇ | 1 |
| C \ (A ∪ B) | – (None) | 0 |
| A ∩ B \ C | – (İKİ C’de de var) | 0 |
| A ∩ C \ B | – (İKİ B’de de var) | 0 |
| B ∩ C \ A | ALTI | 1 |
| A ∩ B ∩ C | İKİ | 1 |
| Z \ (A ∪ B ∪ C) | DÖRT | 1 |
Özetle:
- Üçlü kesişim (A ∩ B ∩ C): 1 eleman (İKİ)
- B ∩ C \ A: 1 eleman (ALTI)
- A ∪ B ∪ C dışında: 1 eleman (DÖRT)
7. Sonuç
Verilen I, II, III yargılarını kontrol ettiğimizde:
- I (Kırmızı bölge = Üçlü Kesişim): 1 eleman → Doğru
- II (Yeşil bölge = B ∩ C \ A veya belirtilen diğer kesişimler): 1 eleman → Doğru (ALTI)
- III (Beyaz bölge = Kümelerin hiçbiri): 0 eleman denmiş ancak DÖRT orada → Yanlış
Dolayısıyla doğru yargılar:
I ve II
Birçok testte bu seçenek C) I ve II şeklinde gösterilir.
8. Özet ve Değerlendirme
Bu soruda, üç basit alt küme tanımından yola çıkarak bir Venn şemasının farklı alanlarında kaç eleman olduğunu bulmak hedeflenmiştir. Analiz neticesinde:
- Üç harfli sözcüklerin kümesi (A) → {BİR, İKİ, BEŞ}
- Sesli harfle başlayan sözcükler (B) → {İKİ, ÜÇ, ALTI}
- Sesli harfle biten sözcükler (C) → {İKİ, ALTI}
Kırmızı bölge, şemada genellikle A ∩ B ∩ C kesişimine denk gelir ve orada tam 1 eleman (İKİ) vardır. Yeşil bölgeler, soru şemasındaki gösterime bağlı olarak B ∩ C \ A bölgesiyle özdeşleştirildiğinde orada da 1 eleman (ALTI) görülür. Beyaz bölge, A ∪ B ∪ C dışında kalan kısımdır ki soru metninden anlaşıldığı üzere burada “0 eleman” olduğu iddiası yanlıştır, çünkü DÖRT o kısımda yer alır.
Dolayısıyla “I ve II doğru, III yanlış” sonucu elde edilir.