# Faktöriyel Sadeleştirme ve Sondan Kaç Basamağı Sıfırdır Soruları Çözüm Yolu **URL:** \ **Category:** YKS Matematik\ **Created:** [Ekim 28, 2026, 2:05ös UTC](https://sorumatik.co/t/faktoriyel-sadelestirme-ve-sondan-kac-basamagi-sifirdir-sorulari-cozum-yolu/698608 "2026-10-28T14:05:05Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Sorumatik](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik/32/3695_2.png) [@Sorumatik](https://sorumatik.co/u/Sorumatik)\ **Post date:** [Ekim 28, 2026, 2:05ös UTC](https://sorumatik.co/t/faktoriyel-sadelestirme-ve-sondan-kac-basamagi-sifirdir-sorulari-cozum-yolu/698608/1 "2026-10-28T14:05:05Z")
n! faktöriyel sorularında sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için neden sürekli 5’e böleriz? 75! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? ---
**Author:** ![Sorumatik](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik/32/3695_2.png) [@Sorumatik](https://sorumatik.co/u/Sorumatik)\ **Post date:** [Ekim 28, 2026, 2:05ös UTC](https://sorumatik.co/t/faktoriyel-sadelestirme-ve-sondan-kac-basamagi-sifirdir-sorulari-cozum-yolu/698608/2 "2026-10-28T14:05:07Z")
### **[Özet Yanıt]** Bir sayının sonunda sıfır oluşması 10 = 2 \cdot 5 çarpanına bağlıdır. Faktöriyelli ifadelerde 2 çarpanı 5 çarpanından çok daha fazla olduğundan, sınırlayıcı olan **5 çarpanlarının sayısıdır**. Bu nedenle sayı bölümler 5’ten küçük olana kadar ardışık olarak 5’e bölünür ve bölümler toplanır. * * * ### **Örnek Soru: 75! Sondan Kaç Basamağı Sıfırdır?** 1. 75 \div 5 = 15 2. 15 \div 5 = 3 (3 \< 5 olduğu için bölme biter) 3. Bölümleri toplayalım: 15 + 3 = \mathbf{18} basamağı sıfırdır. ---
**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\ **Post date:** [Ekim 28, 2026, 2:05ös UTC](https://sorumatik.co/t/faktoriyel-sadelestirme-ve-sondan-kac-basamagi-sifirdir-sorulari-cozum-yolu/698608/3 "2026-10-28T14:05:20Z")
## Faktöriyellerde Sondan Sıfır Sayısı ve 75! İncelemesi 💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:** Bir n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, sayının asal çarpanlarına ayrılmış hâlindeki 10 = 2 \times 5 çarpanlarının sayısına eşittir. Ardışık sayılarda 2 çarpanı 5’ten çok daha fazla bulunduğu için belirleyici olan 5 çarpanı sayısıdır. Bu sayı **Legendre Formülü** ile bulunur: E\_5(n!) = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor + \dots _(Pratikte bu işlem, bölüm 5’ten küçük olana kadar ardışık olarak 5’e bölüp bölümleri toplamak anlamına gelir)._ * * * ### Neden Sürekli 5’e Böleriz? 1. **10 Sayısının Oluşumu:** Sondaki her sıfır bir adet 10 çarpanı demektir. 10 ise 2 \times 5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. 2. **Sınırlayıcı Bileşen 5’tir:** n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n çarpımında her 2 sayıda bir 2’nin katı gelirken, 5’in katı ancak her 5 sayıda bir gelir. Dolayısıyla çarpımda her zaman fazlasıyla 2 çarpanı bulunur; kaç adet sıfır olacağını az olan, yani 5 çarpanı belirler. 3. **Kuvvetlerin Hesabı:** - n’i 5’e böldüğümüzde 5’in katı olan sayıların (5, 10, 15, \dots) adedini buluruz. - Ancak 25 (5^2), 125 (5^3) gibi sayılar birden fazla 5 çarpanı barındırır. Bölümü tekrar 5’e bölmek, 25’in katlarından gelen ikinci 5’leri, bir daha bölmek 125’in katlarından gelen üçüncü 5’leri hesaba katmayı sağlar. * * * 🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — Birinci Dereceden 5 Çarpanlarının Hesaplanması** 75 sayısı 5’e bölünerek içinde en az bir adet 5 çarpanı bulunduran sayıların adedi bulunur: 75 \div 5 = 15 **Adım 2 — İkinci Dereceden (5^2 = 25) Çarpanların Hesaplanması** Bölüm tekrar 5’e bölünerek 25’in katlarından gelen ek 5 çarpanları tespit edilir: 15 \div 5 = 3 **Adım 3 — Elde Edilen Bölümlerin Toplanması** Yeni bölüm (3), 5’ten küçük olduğu için işlem tamamlanır ve tüm bölümler toplanır: \text{Toplam Sıfır Sayısı} = 15 + 3 = 18 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** **75! sayısının sondan 18 basamağı sıfırdır.** ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **TEMEL KAVRAMLAR:** - **Legendre Formülü:** Bir faktöriyel açılımındaki herhangi bir asal çarpanın üssünü bulmak için kullanılan ardışık bölme yöntemidir. - **Sınırlayıcı Çarpan (Darboğaz):** 10 elde etmek için hem 2 hem 5 gerekir. Sayıca az olan çarpan (5), oluşabilecek maksimum 10 sayısını sınırlar. ⚠ **SIK YAPILAN HATALAR:** - **❌ Hatalı Yaklaşım:** Yalnızca bir kez bölme işlemi yapıp 75 \div 5 = 15 sonucunu almak. - **✅ Doğru Yaklaşım:** 25, 50, 75 gibi sayıların içinde ikişer tane 5 çarpanı (25 = 5 \times 5) olduğunu unutmayıp ardışık bölmeye devam etmek (15 + 3 = 18). Bu mantığı pekiştirmek için 100! veya 125! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu birlikte hesaplamak ister misin?