# F: mathbb R + to mathbb R + olmak üzere,

**URL:** <https://sorumatik.co/t/f-mathbb-r-to-mathbb-r-olmak-uzere/700871>\
**Category:** Question Answer\
**Created:** [Kasım 12, 2026, 10:44öö UTC](https://sorumatik.co/t/f-mathbb-r-to-mathbb-r-olmak-uzere/700871 "2026-11-12T10:44:48Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Reyhan](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/r/c77e96/32.png) [@Reyhan](https://sorumatik.co/u/Reyhan)\
**Post date:** [Kasım 12, 2026, 10:44öö UTC](https://sorumatik.co/t/f-mathbb-r-to-mathbb-r-olmak-uzere/700871/1 "2026-11-12T10:44:48Z")

</div>

f: mathbb{R}^+ to mathbb{R}^+ olmak üzere,  
f^2(x) = x^2 + x + 2  
olduğuna göre, \frac{f''(1)}{f'(1)} oranı kaçtır?  
A) \frac{3}{4}  
B) \frac{7}{12}  
C) \frac{7}{24}  
D) \frac{1}{12}  
E) \frac{1}{16}

 ![f: mathbb R + to mathbb R + olmak üzere, f²(x) = x² + x + 2 olduğuna göre, f''(1)/f'(1)...](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/a/3a78928edabd0919bbd9e38560fc121d3bdc0387.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Kasım 12, 2026, 10:45öö UTC](https://sorumatik.co/t/f-mathbb-r-to-mathbb-r-olmak-uzere/700871/2 "2026-11-12T10:45:01Z")

</div>

## Kapalı Fonksiyon ve Zincir Kuralı ile İkinci Mertebeden Türev Hesabı

💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:** Bir fonksiyonun kuvvetinin türevinde zincir kuralı \frac{d}{dx}[f(x)^2] = 2f(x)f'(x) uygulanır. İkinci türeve ulaşmak için elde edilen eşitliğin her iki tarafına çarpımın türevi kuralı [u \cdot v]' = u'v + uv' tatbik edilir.

* * *

### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI

**Adım 1 — f(1) Değerinin Bulunması**  
Verilen f^2(x) = x^2 + x + 2 eşitliğinde x = 1 yazalım. Fonksiyonun değer kümesi \mathbb{R}^+ olduğundan pozitif kök alınır:

f^2(1) = 1^2 + 1 + 2 = 4 \implies f(1) = 2

**Adım 2 — Birinci Türevin Alınması ve f'(1) Değerinin Hesaplanması**  
Eşitliğin her iki tarafının x’e göre birinci mertebeden türevi alınır:

\frac{d}{dx}[f^2(x)] = \frac{d}{dx}[x^2 + x + 2] \implies 2f(x) \cdot f'(x) = 2x + 1

x = 1 değeri yerine konularak f'(1) çekilir:

2 \cdot f(1) \cdot f'(1) = 2(1) + 1 \implies 2 \cdot 2 \cdot f'(1) = 3 \implies f'(1) = \frac{3}{4}

**Adım 3 — İkinci Türevin Alınması ve f''(1) Değerinin Hesaplanması**  
2f(x)f'(x) = 2x + 1 eşitliğinde her iki taraf 2’ye bölünürse f(x)f'(x) = x + \frac{1}{2} elde edilir. Her iki tarafın tekrar türevi alınır:

[f'(x)]^2 + f(x) \cdot f''(x) = 1

x = 1 için bulunan değerler denklemde yerine yazılır:

\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 2 \cdot f''(1) = 1 \implies \frac{9}{16} + 2f''(1) = 1

2f''(1) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \implies f''(1) = \frac{7}{32}

**Adım 4 — İstenen Oranın Hesaplanması**  
Bulunan türev değerleri oranlanır:

\frac{f''(1)}{f'(1)} = \frac{\frac{7}{32}}{\frac{3}{4}} = \frac{7}{32} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7}{24}

* * *

✅ **CEVAP:** **C) \frac{7}{24}** \left(\frac{f''(1)}{f'(1)} = \frac{7}{24}\right)

⚠ **SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:** f(x) = \sqrt{x^2+x+2} şeklinde köklü fonksiyon olarak türev almak yerine, kapalı biçimde f^2(x) üzerinden türev almak işlem hatası riskini azaltır ve süreden tasarruf sağlar. İkinci türev alınırken [f(x) \cdot f'(x)]' ifadesinde çarpım kuralının unutulmaması kritik önem taşır.