# Exercice l- Automatismes (soit t la fonction définie par 1 (z) = 6z- 6 **URL:** \ **Category:** Maths Question\ **Created:** [Eylül 6, 2026, 3:43ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980 "2026-09-06T15:43:38Z")\ **Posts on this page:** 16\ **Page:** 1
**Author:** ![Helia](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/h/8491ac/32.png) [@Helia](https://sorumatik.co/u/Helia)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 3:43ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/1 "2026-09-06T15:43:39Z")
tu peux m’expliquer en details les demarches et reponses, je dois etres capable de reproduire de tel question en classe sana calculatrice et en automatisme ![tu peux m'expliquer en details les demarches et reponses, je dois etres capable de...](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/e/3ed920c87a4cd7eb3689937d2c5646d4484416fb.jpeg) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 3:43ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/2 "2026-09-06T15:43:50Z")
## Exercice 1 — Automatismes : Résolution détaillée pas à pas * * * ### Question 1 : Image d’un nombre par une fonction affine 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** Pour calculer l’image d’un nombre a par une fonction t, on remplace la variable x par ce nombre a dans l’expression de la fonction : t(a) = 6a - 6. 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Remplacer x par -\frac{4}{5}** t\left(-\frac{4}{5}\right) = 6 \times \left(-\frac{4}{5}\right) - 6 **Étape 2 — Effectuer la multiplication** On multiplie le numérateur par 6 : 6 \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{5} **Étape 3 — Mettre au même dénominateur et soustraire** On transforme le nombre entier 6 en fraction de dénominateur 5 (6 = \frac{6 \times 5}{5} = \frac{30}{5}) : t\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{5} - \frac{30}{5} = \frac{-24 - 30}{5} = -\frac{54}{5} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** **D. -\frac{54}{5}** ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **MÉTHODE POUR LE CALCUL MENTAL (AUTOMATISME) :** - Multiplier d’abord : 6 \times (-4) = -24, ce qui donne -\frac{24}{5}. - Retirer 6 revient à retirer \frac{30}{5}. - -24 - 30 = -54, d’où le résultat direct -\frac{54}{5}. ⚠ **ERREURS FRÉQUENTES :** - **❌ Oublier la règle des signes :** Trouver +\frac{6}{5} en confondant l’addition et la soustraction de deux termes négatifs. - **❌ Ne pas mettre au même dénominateur :** Faire l’opération -24 - 6 = -30, ce qui est faux car 6 n’est pas sur 5. * * * ### Question 2 : Calcul avec fraction au dénominateur 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}. 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Calculer le dénominateur** On met le nombre 3 au même dénominateur (3 = \frac{15}{5}) : 3 - \frac{2}{5} = \frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5} **Étape 2 — Prendre l’inverse du résultat** A = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** **4ᵉ proposition : \frac{5}{13}** ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **MÉTHODE POUR LE CALCUL MENTAL :** - On calcule le bas : 3 \times 5 - 2 = 13, donc \frac{13}{5}. - Comme il y a 1 au numérateur, on inverse directement numérateur et dénominateur : \frac{5}{13}. * * * ### Question 3 : Identification de l’égalité correcte 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Analyser la proposition A** 5 \div \frac{5}{6} = 5 \times \frac{6}{5} = 6 Or, \frac{5}{30} = \frac{1}{6}. L’égalité est **fausse**. **Étape 2 — Analyser la proposition B** \frac{5}{6} \times \frac{7}{6} = \frac{5 \times 7}{6 \times 6} = \frac{35}{36} Or, l’énoncé donne \frac{35}{6}. L’égalité est **fausse**. **Étape 3 — Analyser la proposition C** \frac{\frac{4}{5}}{5} = \frac{4}{5} \div 5 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{25} L’égalité est **vraie**. **Étape 4 — Analyser la proposition D** \frac{4 + 5}{5 + 5} = \frac{9}{10} \neq \frac{4}{5} L’égalité est **fausse**. **Étape 5 — Comparaison des propositions** ❌ **A.** Fausse car diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. ❌ **B.** Fausse car on doit aussi multiplier les dénominateurs entre eux (6 \times 6 = 36). ✅ **C.** **Vraie** car diviser un cinquième par 5 donne des vingt-cinquièmes. ❌ **D.** Fausse car on ne peut jamais simplifier les termes d’une addition dans une fraction. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** **C. \frac{\frac{4}{5}}{5} = \frac{4}{25}** ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ⚠ **RAPPEL IMPORTANT :** On ne peut simplifier une fraction que lorsqu’il s’agit d’un produit (multiplication), jamais pour une somme (addition) comme dans la proposition D. * * * ### Question 4 : Résolution d’équation avec inverse 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** Si \frac{1}{B} = \frac{a}{b}, alors son inverse est B = \frac{b}{a}. 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Calculer le membre de droite** On met 2 au même dénominateur (2 = \frac{10}{5}) : 2 - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5} **Étape 2 — Exprimer la relation obtenue** \frac{1}{B} = \frac{9}{5} **Étape 3 — Inverser les deux membres pour trouver B** B = \frac{5}{9} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** **C. B = \frac{5}{9}** ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **PIÈGE À ÉVITER :** Ne pas s’arrêter à \frac{9}{5} ! La valeur \frac{9}{5} correspond à \frac{1}{B}, donc il faut impérativement inverser la fraction pour trouver la valeur de B. * * * ### Question 5 : Fraction d’une fraction 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** En mathématiques, la préposition « **de** » ou « **d’un** » se traduit par une **multiplication**. 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Traduire chaque terme en fraction** - « Le quart » = \frac{1}{4} - « d’un tiers » = \times \frac{1}{3} **Étape 2 — Effectuer le produit des fractions** On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{4 \times 3} = \frac{1}{12} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** **B. \frac{1}{12}** ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ * * * Souhaites-tu que je te génère une série de 5 questions d’entraînement similaires pour tester tes automatismes ? ---
**Author:** ![Helia](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/h/8491ac/32.png) [@Helia](https://sorumatik.co/u/Helia)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:03ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/3 "2026-09-06T16:03:24Z")
pour la question deux si le numerateur avait etait 2 et pas 1 je fais comment? pour la question 4 si ça avait étais 2/B=9/5 a la fin j’inverse pas? ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:04ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/4 "2026-09-06T16:04:03Z")
## Question 2 Modifiée : Si le numérateur est 2 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** Diviser un nombre par une fraction revient à multiplier ce nombre par l’inverse de cette fraction : x \div \frac{a}{b} = x \times \frac{b}{a}. 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Reprendre la valeur du dénominateur** Le calcul du bas de la fraction reste identique à l’exercice d’origine : 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5} **Étape 2 — Poser la nouvelle expression** On remplace le dénominateur par le résultat obtenu : A = \frac{2}{\frac{13}{5}} **Étape 3 — Multiplier par l’inverse du dénominateur** On prend le numérateur (2) et on le multiplie par l’inverse de \frac{13}{5} (qui est \frac{5}{13}) : A = 2 \times \frac{5}{13} **Étape 4 — Calculer le résultat final** A = \frac{2 \times 5}{13} = \frac{10}{13} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** \frac{10}{13} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **CONCEPTS CLÉS :** **1. Rôle du numérateur principal** - **Définition :** Le nombre tout en haut d’une fraction à étages ne s’inverse jamais. - **Dans ce problème :** Le 2 reste à sa place et vient simplement multiplier la fraction inversée qui remonte du bas. * * * ## Question 4 Modifiée : Si l’équation est \frac{2}{B} = \frac{9}{5} 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** Si deux fractions sont égales, leurs inverses sont également égaux : \frac{a}{b} = \frac{c}{d} implique que \frac{b}{a} = \frac{d}{c}. 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Inverser les deux membres** Pour répondre directement à ta question : **oui, tu peux inverser !** Mais attention, l’inverse de \frac{2}{B} devient \frac{B}{2}. On inverse les deux côtés en même temps : \frac{B}{2} = \frac{5}{9} **Étape 2 — Isoler l’inconnue B** Puisque B est divisé par 2, on doit multiplier par 2 de l’autre côté pour obtenir B tout seul : B = \frac{5}{9} \times 2 **Étape 3 — Calculer le résultat final** B = \frac{5 \times 2}{9} = \frac{10}{9} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** B = \frac{10}{9} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **CONCEPTS CLÉS :** **1. Le Produit en Croix (Méthode alternative)** - **Définition :** Si \frac{a}{b} = \frac{c}{d}, alors a \times d = b \times c. - **Dans ce problème :** À partir de \frac{2}{B} = \frac{9}{5}, on multiplie en diagonale : 9 \times B = 2 \times 5. Cela donne 9B = 10, on divise ensuite par 9 pour trouver directement B = \frac{10}{9}. C’est une excellente méthode pour vérifier son calcul. ⚠ **ERREURS FRÉQUENTES :** **❌ Oublier le numérateur après avoir inversé** - **Faux :** Inverser \frac{2}{B} = \frac{9}{5} et écrire directement B = \frac{5}{9}. - **Vrai :** Écrire \frac{B}{2} = \frac{5}{9} puis isoler B. - **Pourquoi c’est faux :** Inverser \frac{2}{B} donne \frac{B}{2}, pas B. Il reste une étape supplémentaire (la multiplication par 2) pour finaliser le calcul. Veux-tu que je te propose une équation du type \frac{3}{x} = \frac{7}{4} pour que tu t’entraînes à appliquer ces méthodes toi-même ? ---
**Author:** ![Helia](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/h/8491ac/32.png) [@Helia](https://sorumatik.co/u/Helia)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:04ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/5 "2026-09-06T16:04:29Z")
Explain this answer to me clearly, step by step. For question two, if the numerator had been 2 and not 1, how do I proceed? For question four, if it had been 2/B = 9/5, do I not reverse the equation at the end? ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:05ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/6 "2026-09-06T16:05:07Z")
## Question 2: Evaluating the Expression when the Numerator is 2 💡 **RULE / FORMULA USED:** Dividing a number by a fraction is equivalent to multiplying that number by the reciprocal (inverse) of the fraction: a \div \frac{b}{c} = a \times \frac{c}{b} 🧠 **SOLUTION STEPS:** **Step 1 — Calculate the denominator** Subtract the fraction from the integer by finding a common denominator: 3 - \frac{2}{5} = \frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5} **Step 2 — Set up the compound fraction** Replace the denominator with the value calculated in Step 1: A = \frac{2}{\frac{13}{5}} **Step 3 — Multiply the numerator by the reciprocal of the denominator** Keep the numerator 2 unchanged and multiply it by the reciprocal of \frac{13}{5} (which is \frac{5}{13}): A = 2 \times \frac{5}{13} **Step 4 — Compute the final fraction** Multiply the integer 2 by the numerator 5: A = \frac{2 \times 5}{13} = \frac{10}{13} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **ANSWER:** A = \frac{10}{13} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **KEY CONCEPTS:** **1. The Main Numerator Remains Unchanged** - **Definition:** In a stacked fraction \frac{N}{\frac{a}{b}}, the top numerator N acts as a standard multiplier. - **In this problem:** The top number 2 stays in place and simply multiplies the flipped bottom fraction \frac{5}{13}. ⚠ **COMMON MISTAKES:** **❌ Inverting the entire expression improperly** - **Wrong:** Writing A = \frac{13}{2 \times 5} = \frac{13}{10}. - **Right:** Writing A = 2 \times \frac{5}{13} = \frac{10}{13}. - **Why it’s wrong:** Only the dividing fraction in the denominator flips upside down. The top numerator is not part of the denominator’s reciprocal. * * * ## Question 4: Solving the Equation \frac{2}{B} = \frac{9}{5} 💡 **RULE / FORMULA USED:** If two non-zero fractions are equal, taking the reciprocal of both sides preserves equality: \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{b}{a} = \frac{d}{c} 🧠 **SOLUTION STEPS:** **Step 1 — Invert both sides of the equation** You **can** still invert! However, the reciprocal of \frac{2}{B} is \frac{B}{2} (not B alone): \frac{B}{2} = \frac{5}{9} **Step 2 — Isolate the variable B** Since B is divided by 2, multiply both sides of the equation by 2: B = \frac{5}{9} \times 2 **Step 3 — Perform the multiplication** Multiply the numerator by 2: B = \frac{5 \times 2}{9} = \frac{10}{9} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **ANSWER:** B = \frac{10}{9} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **KEY CONCEPTS:** **1. Cross-Multiplication (Alternative Verification Method)** - **Definition:** For any proportion \frac{a}{B} = \frac{c}{d}, multiplying diagonally gives a \cdot d = c \cdot B. - **In this problem:** Cross-multiplying \frac{2}{B} = \frac{9}{5} yields: 9 \times B = 2 \times 5 9B = 10 \implies B = \frac{10}{9} ⚠ **COMMON MISTAKES:** **❌ Dropping the numerator after taking the reciprocal** - **Wrong:** Inverting \frac{2}{B} = \frac{9}{5} and writing directly B = \frac{5}{9}. - **Right:** Inverting gives \frac{B}{2} = \frac{5}{9}, which leads to B = \frac{10}{9}. - **Why it’s wrong:** The reciprocal of \frac{2}{B} is \frac{B}{2}, meaning an extra step (multiplying by 2) is required to completely isolate B. Would you like me to give you two quick practice problems with numbers like \frac{3}{A} = \frac{7}{4} to test this method? ---
**Author:** ![Helia](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/h/8491ac/32.png) [@Helia](https://sorumatik.co/u/Helia)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:11ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/7 "2026-09-06T16:11:27Z")
sur les 5 questions que je t’es envoyé au depart, fais 5 autres exercices du même genre juste avec des chiffres différents ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:12ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/8 "2026-09-06T16:12:01Z")
## Exercice 1 : Image d’un nombre par une fonction affine Soit f la fonction définie par f(x) = 4x - 5. Calculer l’image de -\frac{2}{3} par la fonction f. 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** Pour calculer l’image d’un nombre a par une fonction f, on remplace la variable x par a dans l’expression : f(a) = 4a - 5 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Remplacer x par -\frac{2}{3}** f\left(-\frac{2}{3}\right) = 4 \times \left(-\frac{2}{3}\right) - 5 **Étape 2 — Effectuer la multiplication** On multiplie l’entier 4 par le numérateur -2 : 4 \times \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{8}{3} **Étape 3 — Mettre au même dénominateur et soustraire** On transforme l’entier 5 en fraction de dénominateur 3 (5 = \frac{5 \times 3}{3} = \frac{15}{3}) : f\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{8}{3} - \frac{15}{3} = \frac{-8 - 15}{3} = -\frac{23}{3} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** -\frac{23}{3} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **MÉTHODE POUR L’AUTOMATISME (CALCUL MENTAL) :** - Numérateur du produit : 4 \times (-2) = -8. - Conversion de l’entier : 5 \times 3 = 15. - Résultat direct : -8 - 15 = -23, soit -\frac{23}{3}. ⚠ **ERREURS FRÉQUENTES :** - **❌ Erreur de signe :** Calculer -8 + 15 = +7. Deux termes négatifs s’ajoutent en conservant le signe négatif. * * * ## Exercice 2 : Calcul d’une fraction à étage Calculer la valeur exacte de : A = \frac{1}{4 - \frac{3}{7}} 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** L’inverse d’une fraction \frac{a}{b} est égal à \frac{b}{a} : \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Réduire le dénominateur au même dénominateur** On écrit 4 sous forme de fraction sur 7 (4 = \frac{4 \times 7}{7} = \frac{28}{7}) : 4 - \frac{3}{7} = \frac{28}{7} - \frac{3}{7} = \frac{25}{7} **Étape 2 — Prendre l’inverse du résultat** A = \frac{1}{\frac{25}{7}} = \frac{7}{25} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** A = \frac{7}{25} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **MÉTHODE POUR L’AUTOMATISME (CALCUL MENTAL) :** - Calcul du bas : 4 \times 7 - 3 = 28 - 3 = 25, ce qui donne \frac{25}{7}. - Comme le numérateur principal est 1, on inverse directement les chiffres : \frac{7}{25}. * * * ## Exercice 3 : Identification de l’égalité correcte Parmi les propositions suivantes, déterminer laquelle est exacte : - **A.** 4 \div \frac{4}{3} = \frac{4}{12} - **B.** \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5} - **C.** \frac{\frac{3}{7}}{4} = \frac{3}{28} - **D.** \frac{2 + 3}{7 + 3} = \frac{2}{7} 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Analyser la proposition A** 4 \div \frac{4}{3} = 4 \times \frac{3}{4} = 3 Or, \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \neq 3. L’égalité est **fausse**. **Étape 2 — Analyser la proposition B** \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 5} = \frac{12}{25} Or, la proposition indique \frac{12}{5}. L’égalité est **fausse**. **Étape 3 — Analyser la proposition C** \frac{\frac{3}{7}}{4} = \frac{3}{7} \div 4 = \frac{3}{7} \times \frac{1}{4} = \frac{3 \times 1}{7 \times 4} = \frac{3}{28} L’égalité est **vraie**. **Étape 4 — Analyser la proposition D** \frac{2 + 3}{7 + 3} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \neq \frac{2}{7} L’égalité est **fausse** (on ne simplifie jamais une addition). **Étape 5 — Comparaison finale des propositions** ❌ **A.** Fausse car diviser revient à multiplier par l’inverse. ❌ **B.** Fausse car les dénominateurs doivent être multipliés entre eux (5 \times 5 = 25). ✅ **C.** **Vraie** car diviser un septième par 4 donne des vingt-huitièmes. ❌ **D.** Fausse car la simplification n’est possible que sur les facteurs d’un produit. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** **C. \frac{\frac{3}{7}}{4} = \frac{3}{28}** ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ * * * ## Exercice 4 : Résolution d’une équation avec inverse On considère l’égalité suivante : \frac{1}{B} = 3 - \frac{2}{5} Déterminer la valeur de B. 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** Si \frac{1}{B} = \frac{a}{b}, alors son inverse est : B = \frac{b}{a} 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Calculer le membre de droite** On réduit l’entier 3 au dénominateur 5 (3 = \frac{15}{5}) : 3 - \frac{2}{5} = \frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5} **Étape 2 — Poser la relation obtenue** \frac{1}{B} = \frac{13}{5} **Étape 3 — Inverser les deux membres pour isoler B** B = \frac{5}{13} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** B = \frac{5}{13} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ⚠ **ERREURS FRÉQUENTES :** - **❌ Oublier la dernière inversion :** Donner B = \frac{13}{5}. Le résultat \frac{13}{5} représente \frac{1}{B}, il faut obligatoirement inverser la fraction pour trouver B. * * * ## Exercice 5 : Calcul d’une fraction d’une fraction Calculer la fraction correspondant à l’expression : « **Les deux tiers d’un cinquième** » 💡 **RÈGLE / FORMULE UTILISÉE :** Le mot « **de** » ou « **d’un** » entre deux fractions se traduit mathématiquement par une **multiplication** : \text{Fraction } 1 \times \text{Fraction } 2 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :** **Étape 1 — Traduire l’énoncé en symboles mathématiques** - « Les deux tiers » = \frac{2}{3} - « d’un cinquième » = \times \frac{1}{5} **Étape 2 — Multiplier les deux fractions** On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \frac{2}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{2 \times 1}{3 \times 5} = \frac{2}{15} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** \frac{2}{15} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **CONCEPTS CLÉS :** **1. Règle du produit de fractions** - **Définition :** \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}. - **Dans ce problème :** On multiplie 2 \times 1 = 2 en haut et 3 \times 5 = 15 en bas, la fraction \frac{2}{15} étant déjà irréductible. * * * Veux-tu que je te propose une autre série de 5 questions similaires pour continuer ton entraînement au calcul mental sans calculatrice ? ---
**Author:** ![Helia](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/h/8491ac/32.png) [@Helia](https://sorumatik.co/u/Helia)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:12ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/9 "2026-09-06T16:12:14Z")
écrit des questions similaires ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:12ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/10 "2026-09-06T16:12:40Z")
Voici une série de **5 nouveaux exercices d’entraînement** , construits exactement sur le modèle de ta fiche d’automatismes, avec des choix multiples (QCM) pour t’entraîner sans calculatrice : * * * ### **Exercice 1 — Image par une fonction affine** Soit g la fonction définie par : g(x) = 5x - 4. L’image de -\frac{3}{4} par la fonction g est : - **A.** -\frac{31}{4} - **B.** -\frac{1}{4} - **C.** \frac{31}{4} - **D.** -\frac{19}{4} * * * ### **Exercice 2 — Fraction au dénominateur** On considère : A = \frac{1}{4 - \frac{2}{3}} A est égal à : - **A.** -\frac{3}{2} - **B.** \frac{10}{3} - **C.** \frac{3}{10} - **D.** \frac{1}{10} * * * ### **Exercice 3 — Identification d’une égalité correcte** Parmi les égalités suivantes, une seule est correcte. Laquelle ? - **A.** 6 \div \frac{3}{4} = \frac{6}{12} - **B.** \frac{4}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{7} - **C.** \frac{3 + 7}{5 + 7} = \frac{3}{5} - **D.** \frac{\frac{5}{3}}{2} = \frac{5}{6} * * * ### **Exercice 4 — Résolution d’équation avec inverse** On considère l’égalité : \frac{1}{B} = 3 - \frac{3}{4} On a : - **A.** B = \frac{9}{4} - **B.** B = \frac{4}{9} - **C.** B = 9 - **D.** B = \frac{1}{9} * * * ### **Exercice 5 — Fraction d’une fraction** Les deux tiers d’un quart correspondent à la fraction : - **A.** \frac{2}{7} - **B.** \frac{8}{3} - **C.** \frac{1}{6} - **D.** \frac{3}{8} * * * Veux-tu essayer d’y répondre toi-même pour t’entraîner, ou souhaites-tu que je t’affiche la correction détaillée pas à pas de chacun de ces 5 exercices ? ---
**Author:** ![Helia](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/h/8491ac/32.png) [@Helia](https://sorumatik.co/u/Helia)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:34ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/11 "2026-09-06T16:34:28Z")
explique ta methode calcul mental pour la question 2 avec dautre exemple ---
**Author:** ![Helia](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/h/8491ac/32.png) [@Helia](https://sorumatik.co/u/Helia)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:35ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/12 "2026-09-06T16:35:26Z")
dautre chiffres exemples ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:35ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/13 "2026-09-06T16:35:37Z")
## Méthode de calcul mental pour les fractions du type \frac{1}{n - \frac{a}{b}} 💡 **RÈGLE DU CALCUL RAPIDE :** Pour calculer mentalement une expression de la forme \frac{1}{n - \frac{a}{b}} en moins de 5 secondes, on applique un réflexe en deux étapes simples : 1. **Calcul direct du dénominateur :** on multiplie l’entier par le bas et on soustrait le haut : \text{Numérateur intermédiaire} = (n \times b) - a. Le bas devient la fraction \frac{(n \times b) - a}{b}. 2. **Inversion immédiate :** comme le numérateur principal est 1, on inverse directement le résultat obtenu pour trouver \frac{b}{(n \times b) - a}. * * * ### Schéma mental universel \frac{1}{n - \frac{a}{b}} = \frac{b}{(n \times b) - a} \frac{1}{n + \frac{a}{b}} = \frac{b}{(n \times b) + a} * * * ### Exemple 1 : Calcul de A = \frac{1}{5 - \frac{3}{4}} 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION MENTALE :** **Étape 1 — Calculer le numérateur du bas en un seul calcul** On multiplie l’entier 5 par le dénominateur 4, puis on retranche 3 : 5 \times 4 - 3 = 20 - 3 = 17 Le dénominateur vaut donc \frac{17}{4}. **Étape 2 — Inverser directement la fraction** On bascule le 4 au numérateur et on place 17 au dénominateur : A = \frac{4}{17} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** \frac{4}{17} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ * * * ### Exemple 2 : Calcul de B = \frac{1}{2 - \frac{4}{7}} 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION MENTALE :** **Étape 1 — Calculer le bloc du bas** On effectue l’opération croisée : 2 \times 7 - 4 = 14 - 4 = 10 Le dénominateur est donc \frac{10}{7}. **Étape 2 — Inverser le bloc** B = \frac{7}{10} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** \frac{7}{10} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ * * * ### Exemple 3 : Cas d’une addition C = \frac{1}{4 + \frac{2}{3}} 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION MENTALE :** **Étape 1 — Appliquer l’addition croisée** On multiplie puis on ajoute le numérateur : 4 \times 3 + 2 = 12 + 2 = 14 Le bas est donc égal à \frac{14}{3}. **Étape 2 — Inverser le résultat** C = \frac{3}{14} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** \frac{3}{14} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ * * * ### Exemple 4 : Cas où le numérateur principal n’est pas 1 (D = \frac{3}{2 - \frac{1}{5}}) 💡 **RÈGLE COMPLÉMENTAIRE :** Lorsque le haut vaut N au lieu de 1, on fait remonter le dénominateur du bas en le multipliant par N : \frac{N}{\frac{a}{b}} = \frac{N \times b}{a} 🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION MENTALE :** **Étape 1 — Calculer le bas** 2 \times 5 - 1 = 10 - 1 = 9 Le dénominateur est donc \frac{9}{5}. **Étape 2 — Faire remonter le 5 et multiplier par le numérateur 3** D = 3 \times \frac{5}{9} = \frac{15}{9} **Étape 3 — Simplifier la fraction** On simplifie par 3 au numérateur et au dénominateur : D = \frac{5}{3} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE :** \frac{5}{3} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ * * * 🎯 **RÉSUMÉ DES CONCEPTS CLÉS :** **1. L’Automatisme en flash** - **Définition :** Réduire un entier et une fraction sans écrire la ligne intermédiaire de mise au même dénominateur. - **Formule flash :** Pour n - \frac{a}{b}, le calcul mental direct est toujours \frac{n \cdot b - a}{b}. ⚠ **ERREURS FRÉQUENTES :** **❌ Inverser uniquement la fraction du bas** - **Faux :** Écrire \frac{1}{5 - \frac{3}{4}} = 5 - \frac{4}{3}. - **Vrai :** Calculer d’abord la totalité de la soustraction au dénominateur avant d’inverser. - **Pourquoi c’est faux :** La barre de fraction principale agit comme des parenthèses sur tout le bloc du bas. * * * Veux-tu tenter de calculer mentalement l’expression \frac{1}{6 - \frac{2}{5}} pour vérifier si le réflexe est bien assimilé ? ---
**Author:** ![Helia](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/h/8491ac/32.png) [@Helia](https://sorumatik.co/u/Helia)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:36ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/14 "2026-09-06T16:36:34Z")
methode automatisme pour le calcul mental exercice 2 ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:36ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/15 "2026-09-06T16:36:44Z")
## Méthode d’automatisme pour le calcul mental (Type Exercice 2) 💡 **RÈGLE DU CALCUL ÉCLAIR :** Pour calculer instantanément sans brouillon une fraction du type A = \frac{1}{n - \frac{a}{b}}, on utilise la formule directe : \frac{1}{n - \frac{a}{b}} = \frac{b}{(n \times b) - a} * * * 🧠 **LES 2 ÉTAPES DANS LA TÊTE (EN MOINS DE 3 SECONDES) :** Pour l’exemple de ton énoncé : A = \frac{1}{3 - \frac{2}{5}} **Étape 1 — Calculer le nouveau dénominateur (Multiplication puis Soustraction)** On multiplie le grand nombre par le bas, puis on retire le haut : 3 \times 5 - 2 = 15 - 2 = 13 **Étape 2 — Poser directement la fraction inversée** Le chiffre du bas (5) monte au numérateur, et le résultat du calcul (13) se place au dénominateur : A = \frac{5}{13} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **RÉPONSE DIRECTE :** \frac{5}{13} ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ * * * 🎯 **LE SCHÉMA MENTAL À RETENIR :** ```plaintext 1 Le bas (5) remonte en haut ─────────── ---> ───────────────────────────── = 5 / 13 3 - (2 / 5) (3 × 5) - 2 devient le bas ``` * * * 📋 **ENTRAÎNEMENT ÉCLAIR : APPLIQUE LA FORMULE EN 1 LIGNE** - **Cas 1 :** \frac{1}{4 - \frac{1}{3}} - **Cas 2 :** \frac{1}{2 - \frac{3}{7}} - **Cas 3 :** \frac{1}{5 - \frac{4}{5}} - **Cas 4 (avec une addition) :** \frac{1}{3 + \frac{1}{4}} * * * ⚠ **PIÈGES ET ERREURS FRÉQUENTES :** **❌ Soustraire l’entier et le numérateur directement** - **Faux :** Faire 3 - 2 = 1, puis écrire \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5. - **Vrai :** Toujours multiplier l’entier par le dénominateur (3 \times 5 = 15) avant de soustraire 2. - **Pourquoi c’est faux :** Le nombre 3 représente 15 cinquièmes (\frac{15}{5}), pas 3 cinquièmes. **❌ Oublier l’inversion finale** - **Faux :** Garder \frac{13}{5} comme réponse finale. - **Vrai :** La barre de fraction principale avec 1 au sommet impose d’inverser : \frac{5}{13}. * * * Souhaites-tu que l’on passe en revue la méthode d’automatisme pour l’exercice 1, 3, 4 ou 5 ? ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Eylül 6, 2026, 4:37ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-l-automatismes-soit-t-la-fonction-definie-par-1-z-6z-6/690980/16 "2026-09-06T16:37:33Z")
## Méthode de calcul mental pour les fractions du type \frac{1}{n - \frac{a}{b}} 💡 **RÈGLE / FORMULE DE L’AUTOMATISME :** Pour calculer mentalement et instantanément une fraction à étage du type \frac{1}{n - \frac{a}{b}} : 1. \*\*Calcul