# Exercice 2: Soit f la fonction numérique définie sur mathbb R par: f(x) = (ax² + 3x - a)/(x - 2) & si x \< 2 (bx² -

**URL:** <https://sorumatik.co/t/exercice-2-soit-f-la-fonction-numerique-definie-sur-mathbb-r-par-f-x-ax-3x-a-x-2-si-x-2-bx/693818>\
**Category:** Maths Question\
**Created:** [Eylül 30, 2026, 6:58ös UTC](https://sorumatik.co/t/exercice-2-soit-f-la-fonction-numerique-definie-sur-mathbb-r-par-f-x-ax-3x-a-x-2-si-x-2-bx/693818 "2026-09-30T18:58:07Z")\
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Exercice 2: Soit f la fonction numérique définie sur mathbb{R} par:

f(x) =

\frac{ax^2 + 3x - a}{x - 2} & si x \< 2 \

\frac{bx^2 - 2bx}{\sqrt{2x - 3} - 1} & si x \> 2 \

2c + 1 & si x $= 2$

tel que a, b et c sont des paramètres réels. Déterminez les valeurs de a, b et c pour que f soit continue en 2.

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@Egitim_Danismani

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## Détermination des paramètres a, b et c pour la continuité de f en x = 2

💡 **RÈGLE UTILISÉE :**  
Une fonction f est continue en un point x\_0 si et seulement si elle admet une limite finie à gauche, une limite finie à droite en ce point, et que ces deux limites sont égales à l’image de ce point :

\lim\_{x \to 2^-} f(x) = \lim\_{x \to 2^+} f(x) = f(2)

🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :**

**Étape 1 — Détermination du paramètre a par la limite à gauche**  
Pour x \< 2, l’expression de la fonction est :

f(x) = \frac{ax^2 + 3x - a}{x - 2}

Lorsque x \to 2^-, le dénominateur tend vers 0 (x - 2 \to 0). Pour que la limite soit finie (condition indispensable de continuité), le numérateur doit obligatoirement s’annuler en x = 2 afin d’obtenir une forme indéterminée \frac{0}{0} simplifiable :

a(2)^2 + 3(2) - a = 0

4a + 6 - a = 0

3a + 6 = 0 \implies a = -2

**Étape 2 — Calcul de la limite à gauche \lim\_{x \to 2^-} f(x)**  
En remplaçant a = -2, le numérateur devient :

-2x^2 + 3x - (-2) = -2x^2 + 3x + 2

On factorise ce trinôme sachant que 2 est une racine :

-2x^2 + 3x + 2 = (x - 2)(-2x - 1)

On simplifie l’expression pour x \neq 2 :

f(x) = \frac{(x - 2)(-2x - 1)}{x - 2} = -2x - 1

On calcule alors la limite à gauche :

\lim\_{x \to 2^-} f(x) = \lim\_{x \to 2^-} (-2x - 1) = -2(2) - 1 = -5

**Étape 3 — Calcul de la limite à droite et détermination du paramètre b**  
Pour x \> 2, la fonction est définie par :

f(x) = \frac{bx^2 - 2bx}{\sqrt{2x - 3} - 1}

En factorisant le numérateur par bx et en multipliant le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée (\sqrt{2x - 3} + 1) :

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{(\sqrt{2x - 3} - 1)(\sqrt{2x - 3} + 1)}

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{(2x - 3) - 1}

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2x - 4} = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2(x - 2)}

Pour tout x \> 2, on simplifie par (x - 2) :

f(x) = \frac{bx(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2}

On calcule la limite quand x \to 2^+ :

\lim\_{x \to 2^+} f(x) = \frac{b(2)(\sqrt{2(2) - 3} + 1)}{2} = \frac{2b(\sqrt{1} + 1)}{2} = 2b

Puisque f doit être continue en 2, on doit avoir \lim\_{x \to 2^+} f(x) = \lim\_{x \to 2^-} f(x) = -5 :

2b = -5 \implies b = -\frac{5}{2}

**Étape 4 — Détermination du paramètre c avec la valeur de f(2)**  
La valeur de la fonction en 2 est donnée par :

f(2) = 2c + 1

Pour assurer la continuité, cette valeur doit être égale à la limite commune -5 :

2c + 1 = -5

2c = -6 \implies c = -3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **RÉPONSE :**

a = -2, \quad b = -\frac{5}{2}, \quad c = -3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

🎯 **CONCEPTS CLÉS :**

**1. Continuité en un point**

- **Définition :** Une fonction est continue en x\_0 si elle est définie en x\_0 et admet une limite en ce point égale à f(x\_0).
- **Dans ce problème :** La fonction étant définie par morceaux, il a fallu égaliser les limites unilatérales à gauche et à droite avec l’image f(2).

**2. Levée d’indétermination par conjugué**

- **Définition :** Technique algébrique consistant à multiplier par (\sqrt{A} + B) pour éliminer une racine carrée au dénominateur via l’identité remarquable (u-v)(u+v) = u^2 - v^2.
- **Dans ce problème :** Elle a permis de faire apparaître le facteur (x - 2) au dénominateur et de le simplifier.

⚠ **ERREURS FRÉQUENTES :**

**❌ Oublier la condition d’annulation du numérateur**

- **Faux :** Tenter de calculer la limite à gauche en laissant a indéterminé sans poser que le numérateur doit s’annuler en x = 2.
- **Juste :** Poser 3a + 6 = 0 dès le départ car si le numérateur ne s’annule pas, la limite est infinie et f ne peut pas être continue.
- **Pourquoi c’est faux :** Un dénominateur qui tend vers 0 avec un numérateur non nul donne une limite infinie, ce qui contredit la continuité.

Souhaites-tu que nous fassions un exercice similaire pour t’entraîner sur la dérivabilité en un point de raccordement ?

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**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
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## Détermination des paramètres a, b et c pour la continuité de f en x = 2

💡 **RÈGLE UTILISÉE :**  
Une fonction f est continue en un point x\_0 si et seulement si elle admet une limite finie à gauche, une limite finie à droite en ce point, et que ces deux limites sont égales à l’image de ce point :

\lim\_{x \to 2^-} f(x) = \lim\_{x \to 2^+} f(x) = f(2)

🧠 **ÉTAPES DE RÉSOLUTION :**

**Étape 1 — Détermination du paramètre a par la limite à gauche**  
Pour x \< 2, l’expression de la fonction est :

f(x) = \frac{ax^2 + 3x - a}{x - 2}

Lorsque x \to 2^-, le dénominateur tend vers 0 (x - 2 \to 0). Pour que la limite soit finie (condition indispensable de continuité), le numérateur doit obligatoirement s’annuler en x = 2 afin d’obtenir une forme indéterminée \frac{0}{0} simplifiable :

a(2)^2 + 3(2) - a = 0

4a + 6 - a = 0

3a + 6 = 0 \implies a = -2

**Étape 2 — Calcul de la limite à gauche \lim\_{x \to 2^-} f(x)**  
En remplaçant a = -2, le numérateur devient :

-2x^2 + 3x - (-2) = -2x^2 + 3x + 2

On factorise ce trinôme sachant que 2 est une racine :

-2x^2 + 3x + 2 = (x - 2)(-2x - 1)

On simplifie l’expression pour x \neq 2 :

f(x) = \frac{(x - 2)(-2x - 1)}{x - 2} = -2x - 1

On calcule alors la limite à gauche :

\lim\_{x \to 2^-} f(x) = \lim\_{x \to 2^-} (-2x - 1) = -2(2) - 1 = -5

**Étape 3 — Calcul de la limite à droite et détermination du paramètre b**  
Pour x \> 2, la fonction est définie par :

f(x) = \frac{bx^2 - 2bx}{\sqrt{2x - 3} - 1}

En factorisant le numérateur par bx et en multipliant le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée (\sqrt{2x - 3} + 1) :

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{(\sqrt{2x - 3} - 1)(\sqrt{2x - 3} + 1)}

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{(2x - 3) - 1}

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2x - 4} = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2(x - 2)}

Pour tout x \> 2, on simplifie par (x - 2) :

f(x) = \frac{bx(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2}

On calcule la limite quand x \to 2^+ :

\lim\_{x \to 2^+} f(x) = \frac{b(2)(\sqrt{2(2) - 3} + 1)}{2} = \frac{2b(\sqrt{1} + 1)}{2} = 2b

Puisque f doit être continue en 2, on doit avoir \lim\_{x \to 2^+} f(x) = \lim\_{x \to 2^-} f(x) = -5 :

2b = -5 \implies b = -\frac{5}{2}

**Étape 4 — Détermination du paramètre c avec la valeur de f(2)**  
La valeur de la fonction en 2 est donnée par :

f(2) = 2c + 1

Pour assurer la continuité, cette valeur doit être égale à la limite commune -5 :

2c + 1 = -5

2c = -6 \implies c = -3

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✅ **RÉPONSE :**

a = -2, \quad b = -\frac{5}{2}, \quad c = -3

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🎯 **CONCEPTS CLÉS :**

**1. Continuité en un point**

- **Définition :** Une fonction est continue en x\_0 si elle est définie en x\_0 et admet une limite en ce point égale à f(x\_0).
- **Dans ce problème :** La fonction étant définie par morceaux, il a fallu égaliser les limites unilatérales à gauche et à droite avec l’image f(2).

**2. Levée d’indétermination par conjugué**

- **Définition :** Technique algébrique consistant à multiplier par (\sqrt{A} + B) pour éliminer une racine carrée au dénominateur via l’identité remarquable (u-v)(u+v) = u^2 - v^2.
- **Dans ce problème :** Elle a permis de faire apparaître le facteur (x - 2) au dénominateur et de le simplifier.

⚠ **ERREURS FRÉQUENTES :**

**❌ Oublier la condition d’annulation du numérateur**

- **Faux :** Tenter de calculer la limite à gauche en laissant a indéterminé sans poser que le numérateur doit s’annuler en x = 2.
- **Juste :** Poser 3a + 6 = 0 dès le départ car si le numérateur ne s’annule pas, la limite est infinie et f ne peut pas être continue.
- **Pourquoi c’est faux :** Un dénominateur qui tend vers 0 avec un numérateur non nul donne une limite infinie, ce qui contredit la continuité.

Souhaites-tu que nous fassions un exercice similaire pour t’entraîner sur la dérivabilité en un point de raccordement ?