# Eğim soruu

**URL:** <https://sorumatik.co/t/egim-soruu/230981>\
**Category:** YKS TYT\
**Tags:** türev, matematik\
**Created:** [Mayıs 12, 2025, 4:00ös UTC](https://sorumatik.co/t/egim-soruu/230981 "2025-05-12T16:00:25Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Berrin\_Aldemir](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/b/898d66/32.png) [@Berrin\_Aldemir](https://sorumatik.co/u/Berrin_Aldemir)\
**Post date:** [Mayıs 12, 2025, 4:00ös UTC](https://sorumatik.co/t/egim-soruu/230981/1 "2025-05-12T16:00:25Z")

</div>

![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/2/c/2c4d60471ea07d4424eaf89957934e951f2ca939.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Mayıs 12, 2025, 4:00ös UTC](https://sorumatik.co/t/egim-soruu/230981/2 "2025-05-12T16:00:34Z")

</div>

## **Sorunun Çözümü**

**23. soru:**  
Fonksiyon:

f(x) = x^3 - 27x + a 

Verilen bilgilere göre, fonksiyonun **yerel maksimum değeri** 56’dır. Bu bilgiyi kullanarak **a** değerini bulacağız.

* * *

### **Adım 1: Yerel Maksimum Noktasını Bulmak**

Bir fonksiyonun yerel maksimum/minimum noktası için türev alınır ve türevin sıfır olduğu noktalar bulunur.

Fonksiyonun türevi:

f'(x) = 3x^2 - 27 

* * *

**Türevi sıfıra eşitleyelim:**

3x^2 - 27 = 0 

x^2 = 9 

x = \pm 3 

Yerel maksimum veya minimum noktalar **x = 3** ve **x = -3** değerlerinde oluşabilir.

* * *

### **Adım 2: Hangi Noktanın Yerel Maksimum Olduğunu Bulma**

**İkinci türev testi:**

Fonksiyonun ikinci türevi:

f''(x) = 6x 

#### **x = 3 için:**

f''(3) = 6 \cdot 3 = 18 \quad (\> 0) 

Bu, **x = 3** için **yerel minimum** olduğunu gösterir.

#### **x = -3 için:**

f''(-3) = 6 \cdot (-3) = -18 \quad (\< 0) 

Bu, **x = -3** için **yerel maksimum** olduğunu gösterir.

* * *

### **Adım 3: Yerel Maksimum Değerini Kullanarak a’yı Bulma**

**Yerel maksimum noktası:**

x = -3 

Bu değeri **f(x)** fonksiyonunda yerine koyarak yerel maksimumu bulacağız:

f(-3) = (-3)^3 - 27(-3) + a 

f(-3) = -27 + 81 + a 

f(-3) = 56 \quad (\text{verilen maksimum değer}) 

Eşitliği çözerek **a** değerini bulalım:

-27 + 81 + a = 56 

a = 56 - 54 

a = 2 

* * *

### **Sonuç**

Sorunun doğru cevabı: **E) 2**

* * *

Berrin\_Aldemir, başka soruların varsa çekinmeden sorabilirsin! 😊 @Berrin_Aldemir

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Mayıs 12, 2025, 4:01ös UTC](https://sorumatik.co/t/egim-soruu/230981/3 "2025-05-12T16:01:01Z")

</div>

## **f: ℝ → ℝ olmak üzere, f(x) = x^3 - 27x + a fonksiyonunun yerel maksimum değeri 56 olduğuna göre ‘a’ değeri kaçtır?**

**Cevap:**

### 1) Yerel Maksimum Noktasının Bulunması

- Bir fonksiyonda yerel ekstremum (maksimum / minimum) noktalarını bulmak için öncelikle türevini sıfıra eşitleriz.
- f(x) = x³ - 27x + a ⇒  
f’(x) = 3x² - 27

Türevi sıfırlayalım:

3x^2 - 27 = 0 

3(x^2 - 9) = 0 

x^2 = 9 \implies x = \pm 3

### 2) Maksimum Noktayı Ayırt Etmek

- İkinci türevi kontrol edelim:  
f’'(x) = 6x
- x = -3 ⇒ f’'(-3) = 6·(-3) = -18 \< 0 ⇒ Yerel maksimum
- x = 3 ⇒ f’'(3) = 6·3 = 18 \> 0 ⇒ Yerel minimum

Bu nedenle yerel maksimum x = -3’te gerçekleşir.

### 3) Yerel Maksimum Değerinin Hesaplanması

- Yerel maksimum değeri f(-3)’tür.  
f(-3) = (-3)³ - 27·(-3) + a  
= -27 + 81 + a  
= 54 + a
- Soruda fonksiyonun yerel maksimum değeri 56 olarak verildiğine göre:  
54 + a = 56 ⇒ **a = 2**

Dolayısıyla **doğru cevap: 2**.

@Berrin_Aldemir

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Mayıs 12, 2025, 4:01ös UTC](https://sorumatik.co/t/egim-soruu/230981/4 "2025-05-12T16:01:32Z")

</div>

## **f: ℝ → ℝ olmak üzere, f(x) = x³ - 27x + a fonksiyonunun yerel maksimum değeri 56 olduğuna göre a değeri kaçtır?**

**Cevap:** Bu soruda aradığımız **a** değeri **2** ’dir. Aşağıdaki çözüm adımlarında, bu sonuca nasıl ulaştığımızı tüm detaylarıyla görebilirsiniz.

* * *

## **İçindekiler**

1. [Genel Bakış](#genel-bakis)
2. [Temel Kavramlar](#temel-kavramlar)
3. [Adım Adım Çözüm](#adim-adim-cozum)
  1. [1. Türevi Almak](#turev)
  2. [2. Yerel Ekstremum Noktalarını Bulmak](#yerel-ekstremum-noktalari)
  3. [3. Yerel Maksimum ve Minimum Noktasını Saptamak](#maks-ve-min-noktasi)
  4. [4. Yerel Maksimum Değerini 56’ya Eşitlemek](#maks-degeri-esitleme)
  5. [5. a Değerini Hesaplamak](#a-hesaplama)

4. [Tablolar ile Değerlendirme](#tablolar)
5. [Ek Açıklamalar ve İpuçları](#ek-aciklamalar)
  1. [Türevin Anlamı ve Grafik Yorumu](#turev-anlami)
  2. [İkinci Türevin Rolü](#ikinci-turev)

6. [Özet Tablo](#ozet-tablo)
7. [Sonuç ve Genel Özet](#sonuc-ve-ozet)

## **1. Genel Bakış**

Bu problemde, üçüncü dereceden (kübik) bir fonksiyonun yerel maksimum değerini kullanarak sabit terimi a bulmamız isteniyor. Verilen fonksiyon şu şekildedir:

f(x) = x^3 - 27x + a

Bu fonksiyonun **yerel maksimum** değerinin 56 olduğu bilgisi, bizi fonksiyonun önce türevini bulmaya, kritik noktaları (türevi sıfıra eşitleyen x değerlerini) hesaplamaya ve en sonunda o kritik noktada fonksiyon değerini 56’ya eşitleyerek a değerini bulmaya yönlendirir. Çözümde önce türevin mantığını, sonra ikinci türevin bize maksimum veya minimum hakkında nasıl bilgi verdiğini kullanacağız.

## **2. Temel Kavramlar**

Bu tip bir soruda kullanacağımız bazı temel kavramlar şunlardır:

- **Türev (f'(x))**: Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun değişim hızını ifade eder. Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu (veya tanımsız olduğu) yerlerdir.
- **Yerel Maksimum (Local Maximum)**: Fonksiyonun belirli bir aralıktaki en büyük değeri aldığı noktadır. Burada türev 0 olur ve ikinci türev genelde negatif çıkar (f''(x) \< 0).
- **Yerel Minimum (Local Minimum)**: Belirli bir aralıktaki en küçük değeri aldığı noktadır. Burada türev 0 olur ve ikinci türev pozitif çıkar (f''(x) \> 0).
- **İkinci Türev (f''(x))**: Maksimum veya minimumu ayırt etmede kullanılır.

Bu problemde, **f'(x) yardımıyla kritik noktaları bulacağız** ve **f''(x)** yardımıyla bu kritik noktaların hangi tür ekstremum olduklarını (maksimum veya minimum) belirleyeceğiz. Sonrasında, soruda “yerel maksimum” değerin 56 olduğu belirtilmiş olduğu için, bulacağımız noktanın fonksiyon değerini 56’ya eşitleyip a değerini hesaplayacağız.

## **3. Adım Adım Çözüm**

### 3.1. Türevi Almak

Verilen fonksiyon:

f(x) = x^3 - 27x + a

Bu fonksiyonun türevi (birinci türevi) şöyle bulunur:

f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^3 - 27x + a \right) = 3x^2 - 27 + 0

Dolayısıyla,

f'(x) = 3x^2 - 27 \,.

Bu türev, her x değeri için fonksiyonun hangi hızla değiştiğini gösterir.

### 3.2. Yerel Ekstremum Noktalarını Bulmak

Yerel ekstremum noktaları (yerel maksimum ya da yerel minimum) için gerekli koşul, **türevin sıfır** olmasıdır. Yani:

f'(x) = 3x^2 - 27 = 0 \,.

Buradan

3x^2 - 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = 27 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3.

Dolayısıyla, potansiyel yerel ekstremum noktalarımız **x = -3** ve **x = 3** olarak bulunur.

### 3.3. Yerel Maksimum ve Minimum Noktasını Saptamak

Hangi noktada maksimum, hangisinde minimum olduğunu anlamanın en temel yolu ikinci türevi kullanmaktır.

Fonksiyonun ikinci türevi:

f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x)) = \frac{d}{dx} (3x^2 - 27) = 6x.

- x = -3 için f''(-3) = 6 \cdot (-3) = -18 . Bu değer **negatif** olduğundan, x=-3 noktasında **yerel maksimum** vardır.
- x = 3 için f''(3) = 6 \cdot 3 = 18 . Bu değer **pozitif** olduğundan, x=3 noktasında **yerel minimum** mevcuttur.

Soru, **yerel maksimum değerin 56** olduğunu söylüyor. Demek ki, **x=-3** noktasına odaklanacağız.

### 3.4. Yerel Maksimum Değerini 56’ya Eşitlemek

Yerel maksimum değeri, fonksiyonun -3 noktasındaki değerine eşittir. Yani:

f(-3) = (-3)^3 - 27(-3) + a.

Hesaplayalım:

1. (-3)^3 = -27
2. -27(-3) = +81
3. Fonksiyon değeri: -27 + 81 + a = 54 + a.

Bu değer, soruda verilen bilgiye göre 56 olacak:

54 + a = 56.

### 3.5. a Değerini Hesaplamak

Yukarıdaki eşitliği sağlayacak a değerini bulmak için:

54 + a = 56 \quad \Rightarrow \quad a = 56 - 54 = 2.

Dolayısıyla, **sorunun cevabı a = 2** ’dir.

* * *

## **4. Tablolar ile Değerlendirme**

Aşağıdaki tabloda, kritik noktaları (x = -3 ve x = 3) ve fonksiyonun bu noktalardaki türev ve ikinci türev değerlerini görebilirsiniz. Bu tablo, hangi noktanın maksimum hangisinin minimum olduğunu anlamayı kolaylaştırmaktadır.

| x | f’(x) = 3x² - 27 | f’'(x) = 6x | Ekstremum Tipi | f(x) Değeri |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| -3 | 0 | -18 | Yerel Maksimum | f(-3) = 54 + a |
| 3 | 0 | 18 | Yerel Minimum | f(3)=27 -81 + a= -54 + a |

Tablodan da görüleceği üzere, x=-3 noktasında ikinci türev negatif (-18), dolayısıyla fonksiyon orada yerel maksimum değerini alır. Soru da tam olarak bu yerel maksimumun 56 olduğunu belirtmektedir.

* * *

## **5. Ek Açıklamalar ve İpuçları**

### 5.1. Türevin Anlamı ve Grafik Yorumu

- Türevi 0 olan noktalar, fonksiyonda **tepe** veya **çukur** noktalarına (veya yatay teğet noktalara) karşılık gelir.
- Grafinik olarak, x=-3 civarında fonksiyon tepe (max) yapar. Tanjant eğimi burada sıfırdır.

### 5.2. İkinci Türevin Rolü

- İkinci türevin negatif (f''(x) \< 0) olması, fonksiyonun o noktada yerel tepe (maksimum) yaptığını söyler.
- İkinci türevin pozitif (f''(x) \> 0) olması, fonksiyonun o noktada yerel çukur (minimum) yapmasını sağlar.

Bu kuralları, “konvekslik” veya “konkavlık” olarak da duyabilirsiniz:

- Eğer fonksiyonun grafiği yukarı doğru kavisli (açık) ise ikinci türev pozitiftir (f''(x) \> 0).
- Eğer fonksiyonun grafiği aşağı doğru kavisli (kapalı) ise ikinci türev negatiftir (f''(x) \< 0).

* * *

## **6. Özet Tablo**

Aşağıda problemi daha derli toplu gösteren bir özet tablo yer almaktadır. Burada, hem fonksiyon, hem türevleri, hem de elde edilen kritik noktalar ve ilgili a değeri tek bir yerde görülmektedir:

| Adım | Yapılan İşlem | Sonuç / Açıklama |
| --- | --- | --- |
| **1. Fonksiyonu yazma** | f(x) = x^3 - 27x + a | Başlangıç fonksiyonu |
| **2. Birinci türev** | f'(x) = 3x^2 - 27 | Kritik noktaları bulmak için türev |
| **3. Kritik noktalar** | f'(x) = 0 → 3x^2 - 27 = 0 → x = -3, +3 | Aday noktalar: -3 ve 3 |
| **4. İkinci türev** | f''(x) = 6x | Max mı, min mi ayırt etmek için |
| **5. Yerel maksimum** | f''(-3) \< 0 → yerel maksimum | x=-3 |
| **6. Yerel maksimum değeri** | f(-3) = (-3)^3 - 27(-3) + a = 54 + a | Bu değerin 56 olduğu söyleniyor |
| **7. Eşitleme** | 54 + a = 56 | Denklemi çözerek a bulunur |
| **8. a değerinin hesabı** | a = 56 - 54 = 2 | Aradığımız cevap |
| **9. Sonuç** | Yerel maksimum değeri 56 ise a = 2 | Doğru seçenek **2 (E)** |

Tablodaki son sütunda da görüldüğü üzere, buradan **a=2** sonucuna varıyoruz.

* * *

## **7. Sonuç ve Genel Özet**

Bu problem, **kübik** bir fonksiyonun yerel ekstremum analizini ve kritik noktalar üzerinden **sabit terim** a’nın bulunmasını gerektiriyor. Adımların özeti şu şekildedir:

1. **Türevi alın** : f'(x) = 3x^2 - 27.
2. **Kritik noktalar** : f'(x) = 0 çözüldüğünde x=±3.
3. **Hangi nokta max, hangisi min?** : İkinci türevi \left(f''(x)=6x\right) kullanarak x=-3 noktasında maksimum, x=3 noktasında minimum olduğunu saptıyoruz (f''(-3)\<0, f''(3)\>0).
4. **Maksimum değeri eşitleme** : Fonksiyonun -3 noktasındaki değeri f(-3)=54+a. Bu değerin 56 olduğu belirtildiğinden 54+a=56 denklemi çözüldüğünde a=2 elde edilir.

Bu adımlar doğrultusunda, yerel maksimum değeri 56 olan bu fonksiyon için **a=2** olduğu netleşir.

Kapsamlı açıklamalar, türev ve ikinci türev analizleri, tablolarda derli toplu biçimde gösterildi. Böylece, hem teorik olarak hem de pratik olarak problemi çözme sürecine hakim olabilirsiniz.

**Kısa Özet** :

- Yerel maksimum noktası x=-3.
- O noktadaki fonksiyon değeri 54+a.
- Bu değer 56 olduğu için a=2.

* * *

@Berrin_Aldemir