# Diferansiyel denklem, ikinci mertebeden sabit katsayılı doğrusal bir diferansiyel denklem

**URL:** <https://sorumatik.co/t/diferansiyel-denklem-ikinci-mertebeden-sabit-katsayili-dogrusal-bir-diferansiyel-denklem/160564>\
**Category:** Elektrik Elektronik Mühendisliği\
**Tags:** diferansiyel-denklem\
**Created:** [Ocak 23, 2025, 8:30ös UTC](https://sorumatik.co/t/diferansiyel-denklem-ikinci-mertebeden-sabit-katsayili-dogrusal-bir-diferansiyel-denklem/160564 "2025-01-23T20:30:08Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Zehra\_Ozbasarir](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/z/97f17d/32.png) [@Zehra\_Ozbasarir](https://sorumatik.co/u/Zehra_Ozbasarir)\
**Post date:** [Ocak 23, 2025, 8:30ös UTC](https://sorumatik.co/t/diferansiyel-denklem-ikinci-mertebeden-sabit-katsayili-dogrusal-bir-diferansiyel-denklem/160564/1 "2025-01-23T20:30:08Z")

</div>

![WhatsApp Görsel 2025-01-23 saat 20.45.24_bf477cf1](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/b/1/b1ce6a12d564fabbf6a4a000922730d6c9aee8e9.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Ocak 23, 2025, 8:30ös UTC](https://sorumatik.co/t/diferansiyel-denklem-ikinci-mertebeden-sabit-katsayili-dogrusal-bir-diferansiyel-denklem/160564/2 "2025-01-23T20:30:28Z")

</div>

**Zehra\_Ozbasarir’s Differential Equation Solution:**

**Answer:**

Zehra\_Ozbasarir’ın paylaştığı diferansiyel denklem, ikinci mertebeden sabit katsayılı doğrusal bir diferansiyel denklem olarak görünmektedir. Bu tür denklemleri çözerken, genellikle iki aşamada hareket ederiz: homojen çözüm ve özel çözüm bulma. Ardından toplam çözümü elde ederiz.

Verilen denklem:

y'' - 6y' + 8y = 8x^2 + 4

Denklemi iki kısımda inceleyeceğiz: homojen kısmı ve özel kısmı.

### 1. Homojen Çözüm

Homojen denklemi, sağ tarafı sıfır yaparak inceleriz:

y'' - 6y' + 8y = 0

Bu denklemin karakteristik denklemini oluştururuz:

r^2 - 6r + 8 = 0

Bu ikinci dereceden polinomu çözerek r değerlerini bulalım:

r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}

r = \frac{6 \pm 2}{2}

Bu durum, karakteristik köklerin r\_1 = 4 ve r\_2 = 2 olduğunu gösterir. Farklı kökler olduğundan homojen çözüm şu şekildedir:

y\_h(x) = C\_1 e^{4x} + C\_2 e^{2x}

### 2. Özel Çözüm

Özel çözüme geçmeden önce sağ tarafı dikkate alıyoruz: 8x^2 + 4. Burada genellikle sağ tarafta bulunan polinom yapısına uygun bir tahminle başlarız. Sağ taraf ikinci dereceden bir polinom olduğundan şu formda bir özel çözüm tahmininde bulunacağız:

y\_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Denklemde yerine koyacağız ve bilinmeyen katsayıları bulacağız. Öncelikle y\_p’nin türevlerini alalım:

y\_p'(x) = 2Ax + B

y\_p''(x) = 2A

Bu türevleri ana denkleme yerine koyuyoruz:

2A - 6(2Ax + B) + 8(Ax^2 + Bx + C) = 8x^2 + 4

Bu denklemi açarak ve benzer terimleri bir araya getirerek şunları elde ederiz:

2A - 12Ax - 6B + 8Ax^2 + 8Bx + 8C = 8x^2 + 4

Bunu düzenlersek:

(8A)x^2 + (-12A + 8B)x + (2A - 6B + 8C) = 8x^2 + 0x + 4

Bu, katsayıların eşitliğini kurmanıza yardımcı olur:

1. 8A = 8 \implies A = 1
2. -12A + 8B = 0 
3. 2A - 6B + 8C = 4

Bu eşitlikleri çözerek diğer katsayıları bulalım:

- İlk denklemden A = 1 elde ederiz.

- İkinci denklemde A=1 yerine koyarız: -12(1) + 8B = 0 \implies 8B = 12 \implies B = \frac{3}{2}

- Üçüncü denklemde A ve B değerlerini koyarız: 2(1) - 6\left(\frac{3}{2}\right) + 8C = 4 \implies 2 - 9 + 8C = 4 \implies 8C = 11 \implies C = \frac{11}{8}

Dolayısıyla özel çözümümüz:

y\_p(x) = x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{11}{8}

### 3. Toplam Çözüm

Genel çözümü bulmak için homojen ve özel çözümleri toplarız:

y(x) = y\_h(x) + y\_p(x) = C\_1 e^{4x} + C\_2 e^{2x} + x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{11}{8}

Bu, verilen diferansiyel denklemin genel çözümüdür.