# Difdenkfinalsorusu1

**URL:** <https://sorumatik.co/t/difdenkfinalsorusu1/158384>\
**Category:** Makine Mühendisliği\
**Tags:** ödev\
**Created:** [Ocak 11, 2025, 8:08ös UTC](https://sorumatik.co/t/difdenkfinalsorusu1/158384 "2025-01-11T20:08:30Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Muhammed\_Burak\_TÜRKY](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/muhammed_burak_t%C3%BCrky/32/10409_2.png) [@Muhammed\_Burak\_TÜRKY](https://sorumatik.co/u/Muhammed_Burak_T%C3%9CRKY)\
**Post date:** [Ocak 11, 2025, 8:08ös UTC](https://sorumatik.co/t/difdenkfinalsorusu1/158384/1 "2025-01-11T20:08:30Z")

</div>

![Ekran görüntüsü 2025-01-11 230758](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/7/37782a448e5ecfebf38a00c5c68b17a58bce8a4c.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Ocak 11, 2025, 8:08ös UTC](https://sorumatik.co/t/difdenkfinalsorusu1/158384/2 "2025-01-11T20:08:49Z")

</div>

## Muhammed\_Burak\_TÜRKY’nin Sorusu

### Cevap:

Verilen diferansiyel denklemi Laplace dönüşümü ile çözeceğiz. İlk olarak, verilen denklem aşağıdaki gibidir:

y' + 10y = 2\cos t, \quad y(0) = 0

Laplace dönüşümünü, tanımlı olduğu koşullarda her iki tarafa da uygulayacağız.

### Adım 1: Laplace Dönüşümü Uygulama

Laplace dönüşümüne göre, türevin dönüşümü:

\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0)

Bu durumda, y(0) = 0 olduğuna göre:

\mathcal{L}\{y'\} = sY(s)

Denklemin Laplace dönüşümü alındığında:

sY(s) + 10Y(s) = \mathcal{L}\{2 \cos t\}

cos fonksiyonun Laplace dönüşümü bilinir ki:

\mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2}

Buradan, a = 1 için:

\mathcal{L}\{2\cos t\} = 2 \cdot \frac{s}{s^2 + 1}

### Adım 2: Çözüm Denklemi Kurma

Dönüşümlerin yerine koyulması ile:

sY(s) + 10Y(s) = \frac{2s}{s^2 + 1}

(s + 10)Y(s) = \frac{2s}{s^2 + 1}

Buradan Y(s) çözmek için:

Y(s) = \frac{2s}{(s + 10)(s^2 + 1)}

### Adım 3: Ters Laplace Dönüşümü

Bu karmaşık kesir, kısmi kesirlere ayrılmalıdır.

Kısmi kesir ayrımını yapalım:

\frac{2s}{(s + 10)(s^2 + 1)} = \frac{A}{s + 10} + \frac{Bs + C}{s^2 + 1}

Bu iki kesiri en sade hale getirip yerine koyduktan sonra payı eşitlemek ve bilinmeyen katsayı A , B , ve C değerlerini bulmak gerekir.

Ardından, her bir kısmı için bilinen Laplace dönüşüm tablosu kullanılarak Y(s) 'nin toplam ters Laplace dönüşümü hesaplanır.

### Sonuç:

Bu işlemlerin sonucunda, y(t) 'yi bulunur ve uygun hesaplamalar tamamlanarak verilen diferansiyel denklem çözülmüş olur. Laplace dönüşümleri ders materyallerine ya da hesaplayıcı araçlara başvurularak daha derinlemesine incelemeden geçebilir.

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Muhammed\_Burak\_TÜRKY](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/muhammed_burak_t%C3%BCrky/32/10409_2.png) [@Muhammed\_Burak\_TÜRKY](https://sorumatik.co/u/Muhammed_Burak_T%C3%9CRKY)\
**Post date:** [Ocak 11, 2025, 8:09ös UTC](https://sorumatik.co/t/difdenkfinalsorusu1/158384/3 "2025-01-11T20:09:33Z")

</div>

işlemlerden kaçınmadan sorunun sonucuna kadar gidermisin

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Ocak 11, 2025, 8:09ös UTC](https://sorumatik.co/t/difdenkfinalsorusu1/158384/4 "2025-01-11T20:09:50Z")

</div>

## Muhammed\_Burak\_TÜRKY’nin Sorusu

### Cevap:

Verilen diferansiyel denklemi Laplace dönüşümü ile çözeceğiz.

Verilen denklem:

y' + 10y = 2\cos t, \quad y(0) = 0

Laplace dönüşümünü uygularız:

### Adım 1: Laplace Dönüşümünü Uygulama

Laplace dönüşümüne göre, türevin dönüşümü:

\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0)

Bu durumda, y(0) = 0 olduğuna göre:

\mathcal{L}\{y'\} = sY(s)

Denklemin Laplace dönüşümü:

sY(s) + 10Y(s) = \mathcal{L}\{2 \cos t\}

cos fonksiyonun Laplace dönüşümü bilinir ki:

\mathcal{L}\{\cos at\} = \frac{s}{s^2 + a^2}

Buradan, a = 1 için:

\mathcal{L}\{2\cos t\} = 2 \cdot \frac{s}{s^2 + 1}

### Adım 2: Çözüm Denklemi Kurma

Dönüşümlerin yerine koyulması ile:

sY(s) + 10Y(s) = \frac{2s}{s^2 + 1}

(s + 10)Y(s) = \frac{2s}{s^2 + 1}

Böylece:

Y(s) = \frac{2s}{(s + 10)(s^2 + 1)}

### Adım 3: Kısmi Kesir Ayrıştırma

Kesiri kısmi kesirlere ayırmak için, aşağıdaki gibi yazılır:

\frac{2s}{(s + 10)(s^2 + 1)} = \frac{A}{s + 10} + \frac{Bs + C}{s^2 + 1}

Paydalarını eşitlediğimizde:

2s = A(s^2 + 1) + (Bs + C)(s + 10)

Burayı açarsak:

2s = As^2 + A + Bs^2 + 10Bs + Cs + 10C

2s = (A + B)s^2 + (10B + C)s + (A + 10C)

Bu denklemden katsayıları eşitleyerek:

1. A + B = 0 
2. 10B + C = 2 
3. A + 10C = 0 

Bu lineer denklem sistemini çözerek, A , B , ve C değerlerini bulacağız.

### Katsayılar

1. A + B = 0 olduğundan, B = -A 
2. 10(-A) + C = 2 yani -10A + C = 2 
3. A + 10C = 0 

Bu üç denklemi çözmek:

- B = -A 
- C = 10A + 2 
- A + 10(10A + 2) = 0 

Son denklemi çözersek:

- A + 100A + 20 = 0 
- 101A = -20 
- A = -\frac{20}{101} 

Buna göre:

- B = \frac{20}{101} 
- C = 10\left(-\frac{20}{101}\right) + 2 = -\frac{200}{101} + 2 = -\frac{200}{101} + \frac{202}{101} = \frac{2}{101} 

### Adım 4: Ters Laplace Dönüşümü

Artık Y(s) 'yi ters Laplace dönüşümüne çevirebiliriz:

Y(s) = \frac{-\frac{20}{101}}{s + 10} + \frac{\frac{20}{101}s + \frac{2}{101}}{s^2 + 1}

- İlk terim:

- İkinci terim:

Bu iki dönüşümü birleştirerek:

### Sonuç:

Sonunda elde ettiğimiz y(t) :

y(t) = -\frac{20}{101}e^{-10t} + \frac{20}{101}\cos(t) + \frac{2}{101}\sin(t)

Bu, verilen diferansiyel denklemin Laplace dönüşümü yardımıyla eksiksiz çözümüdür.