# Denklemsistemisorusudif

**URL:** <https://sorumatik.co/t/denklemsistemisorusudif/158999>\
**Category:** Makine Mühendisliği\
**Tags:** ödev\
**Created:** [Ocak 13, 2025, 7:37ös UTC](https://sorumatik.co/t/denklemsistemisorusudif/158999 "2025-01-13T19:37:48Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Muhammed\_Burak\_TÜRKY](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/muhammed_burak_t%C3%BCrky/32/10409_2.png) [@Muhammed\_Burak\_TÜRKY](https://sorumatik.co/u/Muhammed_Burak_T%C3%9CRKY)\
**Post date:** [Ocak 13, 2025, 7:37ös UTC](https://sorumatik.co/t/denklemsistemisorusudif/158999/1 "2025-01-13T19:37:48Z")

</div>

![Ekran görüntüsü 2025-01-13 223723](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/4/34e500a8447cafe9e0047378b6ef1ceb2d85e667.png)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Ocak 13, 2025, 7:38ös UTC](https://sorumatik.co/t/denklemsistemisorusudif/158999/2 "2025-01-13T19:38:15Z")

</div>

## Diferansiyel denklem sistemini çözünüz

### Cevap:

Verilen sistem iki diferansiyel denklemden oluşuyor:

x\_1' = 3x\_1 - x\_2 + e^t

x\_2' = 4x\_1 - x\_2

Bu tür bir sistem genellikle matris ve vektör notasyonu kullanılarak çözülebilir. Öncelikle sistemin homojen kısmını çözeceğiz, ardından özel çözümü belirlemek için doğrusal operatörlerin yöntemlerini kullanacağız.

### Adım 1: Homojen Sistem

Homojen kısmı için sağ tarafı eşitliğin sıfır olduğu duruma bakarız:

x\_1' = 3x\_1 - x\_2

x\_2' = 4x\_1 - x\_2

Bu, matris notasyonu ile yazılırsa:

\begin{bmatrix} x\_1' \\ x\_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\_1 \\ x\_2 \end{bmatrix}

Karakteristik denklemi bulmak için \lambda I - A matrisinin determinantını sıfıra eşitleriz:

\begin{vmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ 4 & -1 - \lambda \end{vmatrix} = 0

Determinant hesaplanırsa:

(3 - \lambda)(-1 - \lambda) + 4 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 + 4 = \lambda^2 - 2\lambda + 5 = 0

Bu denklemin köklerini buluruz:

\lambda^2 - 2\lambda + 5 = 0

Diskriminantı hesaplayalım: D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4 - 20 = -16

Karmaşık kökler elde ederiz:

\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i

Bu kökler sayesinde, sistemin homojen çözümü:

\mathbf{x}\_h(t) = e^t \left( c\_1 \begin{bmatrix} \cos(2t) \\ \sin(2t) \end{bmatrix} + c\_2 \begin{bmatrix} -\sin(2t) \\ \cos(2t) \end{bmatrix} \right)

### Adım 2: Özel Çözüm

Şimdi, özel çözümü bulmak için, sağ taraftaki e^t terimini dikkate alırız. Denklemleri çözmek için deneme çözüm olarak (\mathbf{x}\_p = \begin{bmatrix}  
Ae^t \  
Be^t  
\end{bmatrix}  
) formunu kullanabiliriz.

Diferansiyel denklemlere geri yerine koyarsak:

A'e^t + Ae^t = 3(Ae^t) - Be^t + e^t

B'e^t + Be^t = 4(Ae^t) - Be^t

Bu denklemleri çözeriz:

1. A e^t = 3A e^t - B e^t + e^t
2. B e^t = 4A e^t - B e^t

Bu iki denklemi çözersek:

1. (3A - B + 1) e^t = A e^t, buradan 2A - B + 1 = 0
2. 4A e^t = 2B e^t, buradan B = 2A

Bu iki denklemi çözersek:

2A - (2A) + 1 = 0

Bu denklemlerle A = -\frac{1}{2} ve B = -1 elde edilir.

Özel çözüm:

(\mathbf{x}\_p(t) = \begin{bmatrix}  
-\frac{1}{2}e^t \  
-e^t  
\end{bmatrix}  
)

### Adım 3: Genel Çözüm

Genel çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamıdır:

\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}\_h(t) + \mathbf{x}\_p(t)

\begin{bmatrix} x\_1(t) \\ x\_2(t) \end{bmatrix} = e^t \left( c\_1 \begin{bmatrix} \cos(2t) \\ \sin(2t) \end{bmatrix} + c\_2 \begin{bmatrix} -\sin(2t) \\ \cos(2t) \end{bmatrix} \right) + \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}e^t \\ -e^t \end{bmatrix}

### Sonuç:

\begin{bmatrix} x\_1(t) \\ x\_2(t) \end{bmatrix} = e^t \left( \begin{bmatrix} c\_1 \cos(2t) - c\_2 \sin(2t) - \frac{1}{2} \\ c\_1 \sin(2t) + c\_2 \cos(2t) - 1 \end{bmatrix} \right)

Bu çözüm, verilen diferansiyel denklem sistemi için genel çözümdür. Sistemin özel koşullarına bağlı olarak c\_1 ve c\_2 sabitlerinin değerleri belirlenebilir.