Soru:
Bir atık su arıtma tesisinde fabrikalardan gelen atık sulardaki zararlı moleküllerin giderilmesi için 15 aşamalı bir filtreleme süreci uygulanmaktadır.
- Başlangıçta numune olarak kullanılan 1 litrelik suda yaklaşık 6\cdot10^{20} zararlı molekül tespit edilmiştir.
- Her aşamanın sonunda zararlı moleküllerin üçte ikisi (\tfrac23) yok olmaktadır.
Buna göre filtreleme süreci sonunda sudaki zararlı molekül sayısının yaklaşık kaç adet olduğunu bulunuz.
İçindekiler
1. Model Kurulumu
- Başlangıçtaki molekül sayısı: N_0 = 6\cdot10^{20}.
- Her aşama sonunda geride kalan oran:
$$1 - \frac23 = \frac13.$$ - n aşamadan sonra molekül sayısı:
$$N_n = N_0\left(\frac13\right)^{n}.$$
2. Adım Adım Çözüm
- İlk aşamada kalan molekül sayısı:
$$N_1 = N_0\cdot\frac13 = 6\cdot10^{20}\times\frac13.$$ - Genel olarak $n$’inci aşamada:
$$N_n = 6\cdot10^{20}\times\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n}.$$ - Filtreleme süreci 15 aşamalı olduğuna göre:N_{15} = 6\cdot10^{20}\times\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{15} = \frac{6\cdot10^{20}}{3^{15}}.
- 3^{15}=14\,348\,907 olduğundan:N_{15} \approx \frac{6\cdot10^{20}}{1{,}4348\cdot10^{7}} \approx 4{,}18\cdot10^{13}.
3. Sonuç
Filtreleme sonunda sudaki zararlı molekül sayısı yaklaşık 4{,}2\times10^{13} adettir.
4. Özet Tablosu
| Aşama | Formül | Molekül Sayısı |
|---|---|---|
| Başlangıç (n=0) | N_0 = 6\times10^{20} | 6\times10^{20} |
| 15. Aşama (n=15) | N_{15} = N_0\bigl(\tfrac13\bigr)^{15} | \approx4{,}18\times10^{13} |