Cözümlü atarmısınız?
Answer:
Bu sayfada yer alan matematik sorularının çözüm işlemleri şu şekilde açıklanabilir:
1. Soru: Boyanmayan karelerin çarpanları
Verilen Bilgiler:
- Boyalı karelerden olmayanların numaralandırıldığı sayılar: 4, 5, 6, 7 ve 8.
- Soruda bu sayıların çarpanlarının toplamı isteniyor.
Çözüm:
Her bir sayının çarpanları belirlenir ve toplamı hesaplanır:
- 4: Çarpanlar: 1, 2, 4 → Toplam: 1 + 2 + 4 = 7.
- 5: Çarpanlar: 1, 5 → Toplam: 1 + 5 = 6.
- 6: Çarpanlar: 1, 2, 3, 6 → Toplam: 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
- 7: Çarpanlar: 1, 7 → Toplam: 1 + 7 = 8.
- 8: Çarpanlar: 1, 2, 4, 8 → Toplam: 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
Sonuç: Boyanmayan karelerin çarpanlarının toplamı 7 + 6 + 12 + 8 + 15 = 48.
Yanıt: B şıkkı.
2. Soru: x = a - b işlemi
Verilen Bilgiler:
a ve b asal sayılar. İki asal sayının farkı asal olamayabilir.
Soruda, hangi farklı asal sayılar seçildiğinde işlemin sonucu asal OLMAZ diye soruluyor.
Çözüm:
Asal olmayan örnekler belirlenir:
- a = 11 ve b = 7 seçilir. Fark: 11 - 7 = 4 (4 asal bir sayı değildir).
Sonuç: İşlem sonucu asal olmaz.
Yanıt: D şıkkı.
3. Soru: 140 sayısının asal çarpanı analizi
Verilen Bilgiler:
Soruda asal çarpanların toplamı istenmiş.
- 140’ın asal çarpanları: 2, 5, 7.
- Bu çarpanların toplamı: 2 + 5 + 7 = 14.
Sonuç: İşlem sonucu 14 oluyor.
Yanıt: A şıkkı.
Çözüm tamamlanmış detaylar paylaşılabilir, diğer sorularla yardımcı olmaya devam etmek için isteminizi yenileyebilirsiniz! 
Çözümlü “Çarpanlar ve Katlar” Soru Seti
Aşağıda, paylaştığınız görseldeki (Test-2 Matematik: Çarpanlar ve Katlar başlıklı) sorulardan en çok göze çarpan ve sıkça karşılaşılan örnekleri sistemli biçimde çözmeye çalıştık. Sizdeki testte numaralar ufak farklılık gösterebilir; ancak mantık ve çözümler bu şekilde ilerler.
1) Örnek Soru: “148 sayısının asal çarpanlarının toplamı A’dır. A sayısının çarpanlarının toplamı ise B’dir. Buna göre istenen değer nedir?”
■ Adım 1: 148’in Asal Çarpanlarını Bulma
148’i asal çarpanlarına ayıralım.
- 148’i 2’ye böleriz: 148 ÷ 2 = 74
- 74’ü tekrar 2’ye böleriz: 74 ÷ 2 = 37
- 37 ise kendisi asal bir sayı.
Dolayısıyla
148 = 2² × 37
Asal çarpanları (2 ve 37) toplarsak:
A = 2 + 37 = 39
■ Adım 2: A = 39 Sayısının Çarpanları ve Toplamı
39’un tüm pozitif bölenleri:
1, 3, 13, 39
Bu bölenlerin toplamı:
B = 1 + 3 + 13 + 39 = 56
Soruda B’nin kendisi veya B ile ilgili bir işlem (örneğin B − A vb.) istenebilir.
• B doğrudan isteniyorsa: 56
• Fark isteniyorsa (B − A = 56 − 39 = 17)
Testteki şık veya talep her neyse bu değerlere dikkat ediniz.
2) Örnek Soru: “a ve b pozitif tam sayılar olup a = 2⁵, b = 3⁴. Bu bilgilere göre … hangisi olamaz?”
Genellikle bu tarz sorularda a = 32 ve b = 81 olarak kullanılır. Üç tip klasik istek olabilir:
- a + b = 32 + 81 = 113
- a × b = 32 × 81 = 2592
- EBOB(a, b) = 1 (ortak asal çarpanları yok), EKOK(a, b) = 32 × 81
Veya “a’dan ve b’den türeyen bir ifade aşağıdakilerden hangisi olamaz?” şeklinde sorulursa; mesela a + b = 113, a − b = −49 gibi. Herhangi bir şık bu değere eşit değilse “olamaz” tipinde yakalanabilir. Dolayısıyla soruya göre sayısal değerleri bu şekilde bulup şıklarla kıyaslamanız gerekir.
3) Örnek Soru: “Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpanları farklıdır?” veya “Hangisinin asal çarpanlar kümesi diğerlerinden farklıdır?”
Bu tip sorularda her seçeneğin asal çarpanlarını hızlıca yazarsınız:
- 36 = 2² × 3² → Asal çarpanları {2, 3}
- 60 = 2² × 3 × 5 → Asal çarpanları {2, 3, 5}
- 45 = 3² × 5 → Asal çarpanları {3, 5}
- 90 = 2 × 3² × 5 → Asal çarpanları {2, 3, 5}
Örneğin yukarıdakiler arasında “45 = 3² × 5” bir yerde {3, 5} iken diğerlerinde {2, 3, 5} olabilir. Hangi şıklara sahipseniz hepsini ayrı ayrı çarpanlarına ayırıp kıyaslarsınız.
4) Örnek Soru: “148 sayısının asal çarpanlar toplamı A, A’nın çarpanları toplamı B, B’nin asal çarpanları toplamı C ise C kaçtır?” (Zincirleme Soru)
Örneğin bazen bir adım daha eklenir:
- A = 39 → (bir önceki adımlarda bulduk)
- B = 56 → (az önce bulduk)
- 56’nın asal çarpanları 2 ve 7 (çünkü 56 = 2³ × 7) → toplamları 2 + 7 = 9
Dolayısıyla C = 9 diye karşınıza çıkabilir.
5) Örnek Soru: “Bir sayının kenar uzunlukları asal olmak üzere dikdörtgenin alanı çift sayı oluyor. Çevresinin en küçük doğal sayı değeri kaçtır?”
Bu mantıkta:
- Kenarları asal → Örnek: (2, 3) ya da (2, 5) şeklinde.
- Alanı çift olduğu için kesinlikle bir kenarı 2 olmak zorunda (diğer asal kenar tek olsa bile çarpım 2 × tek = çift).
- Dolayısıyla en küçük çevreyi elde etmek için 2 ve 3 seçildiğinde: Çevre = 2×(2+3) = 2×5 = 10.
Veya soruda başka kıstasa göre 2 ve 5 mi 2 ve 7 mi vb. incelenir. Hangi durumda “en küçük” isteniyorsa (2, 3) idealdir.
6) Benzeri Soru Tipleri
• “Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpanlarının çarpımı … ?”
• “Yukarıdaki diyagramda 64, 125, 100, 144 vb. verilmiş. Ortak çarpan ilişkisine göre balon patlatma sayısı … ?”
• “EBOB-EKOK ile ilgili”
• “Asal çarpan ağacıyla sayı oluşturma”
Hepsinde yöntem aynı:
- Hızlı ve doğru asal çarpan ayırma.
- İstenen toplama, çarpma, EBOB, EKOK adımlarını doğru uygulama.
- Kıyaslama veya şık karşılaştırması.
Özet / İpucu
- Asal Çarpanlara Ayırma: Daima ilk ve temel adımdır.
- Çarpan Toplamı: Sayi = p₁^a × p₂^b × … formundaysa, çarpanlarının toplamını bulmak için (p₁^0 + p₁^1 + … + p₁^a) × … formülü kullanılabilir. (Ancak küçük sayılarda tek tek bölenleri yazıp toplamak daha pratiktir.)
- EBOB ve EKOK: Ortak asal çarpanlar varsa EBOB hesaplamasında üslerin min değeri, EKOK’ta ise max değeri kullanılır.
- Özel Koşullar: “Kenarlar asal” veya “Alanı çift, üç basamaklı, rakamları farklı…” gibi ek şartlarda, sayılar üzerinde küçük denemeler yapmak en kestirme yöntemdir.
Eğer sorularınızın her biri için ayrı işlem gerekiyorsa, elinizdeki testte yazan tam metin ve şıkları tek tek inceleyerek (yukarıdakilere benzer biçimde) adım adım ilerleyiniz.
Başarılar dilerim. Takıldığınız diğer soruların tam ifadesini yazarsanız daha net yardımcı olabiliriz.
Bu Testteki Soruların Çözümleri
Aşağıda, paylaştığınız görseldeki (Test - 2, “Çarpanlar ve Katlar” başlıklı) soruların adım adım çözümlerini ve açıklamalarını bulabilirsiniz. Elimizdeki görsel net olmamakla birlikte, görebildiğimiz kadarıyla soruları tek tek analiz ederek çözüm yollarını sunmaya çalışacağız. Her bir sorunun hangi sayıları veya hangi ifadeleri kullandığına dair kısımlar kısmen eksik olabilir; ancak soruların büyük bir bölümünde asal çarpanlar, çarpan-faktöriyel mantığı, ya da “sadece bir tane asal çarpanı olan sayılar” gibi konular işlenmektedir.
Bu uzun yanıtta:
- Önce bir “İçindekiler Tablosu” vereceğiz.
- Ardından ilgili soruların gördüğümüz ve okuyabildiğimiz kısımlarına dair çözümleri detaylı ve adım adım paylaşacağız.
- En sonda ise her soruya ilişkin cevapları kısaca özetleyecek bir tablo ekleyeceğiz.
İçindekiler Tablosu
- Genel Bilgiler ve Tanımlar
- Soru 9: Tabloya Yerleştirilen 3,4,5,6,7,8,9 Sayıları (Eksik Görsel)
- Soru 10: “Yukarıdaki Daire Balonlar” ve “Sadece Bir Asal Çarpanı Olanlar”
- Soru 11: T(n) Fonksiyonu (n’nin Pozitif Tam Çarpanlarının Sayısı)
- Soru 12 (veya 13/14 Olarak Geçebilir): 14 ve 25’in Asal Çarpanları
- Diğer Görünen Sorular Hakkında Genel Yorumlar
- Özet Tablo
- Kısa Özet ve Son Notlar
1. Genel Bilgiler ve Tanımlar
Bu test “Çarpanlar ve Katlar” konusuyla ilgilidir. Aşağıda sıkça kullanacağımız bazı önemli terimlerin anlamlarını kısaca hatırlayalım:
- Asal Sayı (Prime Number): Yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük tam sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, 13, vb.).
- Asal Çarpanlar (Prime Factors): Bir tam sayının asal sayılara ayrılmış hâli. Örneğin 36 = 2² × 3² ifadesinde 2 ve 3, “36”nın asal çarpanlarıdır.
- Bir Tam Sayının Çarpanları (Divisors/Factors): Bir sayıyı kalansız bölen tüm pozitif sayıların kümesi. Örneğin “36”nın pozitif çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
- Pozitif Tam Sayıların Çarpan Sayısı: Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırıp üslerine 1 ekleyip bu değeri çarpmakla elde edilir. Örneğin 36 = 2² × 3², üsler (2 ve 2), her birine 1 eklersek (2+1) × (2+1) = 3 × 3 = 9, yani 36’nın 9 tane pozitif böleni vardır.
Bu tanımlar, testteki soruların büyük çoğunluğunda kullanıldığı için önemlidir.
2. Soru 9: Tabloya Yerleştirilen 3,4,5,6,7,8,9 Sayıları (Eksik Görsel)
Soruda şu ifade okunabiliyor:
“Yukarıdaki sayı bulmacasında boyalı olmayan karelere 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 sayılarının tümü yerleştiriliyor. Karelerin içindeki verilerin yapıları, bulundukları satırdaki ve sütundaki sayıların çarpımları … Buna göre aşağıdakilerden hangisi x – y = … yuvanın çarpanlarından biridir?”
Ne yazık ki tablonun ve tam yönergelerin görseli eksik olduğu için kesin bir çözüm sunmak güç. Yine de bu tür bir sorunun tipik çözüm stratejisi şu şekildedir:
- Tabloyu İnceleme: Tabloda 3×3 veya 3×4 gibi bir düzen olduğu varsayılabilir. Satır ve sütunların çarpım değerleri ya tablo kenarına not edilir ya da satır ve sütunlar birbiriyle ilişkili olacak şekilde verilmiş olabilir.
- Yerleştirilecek Sayılar: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere 7 farklı sayı tabloya birer kere yazılır. Dolayısıyla sudoku benzeri bir mantık söz konusudur.
- Satır-Sütun Çarpımı Eşitlikleri: Örneğin satır çarpımı 72, sütun çarpımı 108 gibi değerlerle karşılaşılabilir. Her satırın veya her sütunun çarpımı, tabloyu doğru doldurmak için ipucu verir.
- x ve y Belirleme: Muhtemelen bir kareye “x”, diğerine “y” atanmıştır. Sonra x – y değeri bulunur ve bu değerin bölenleri (çarpanları) aranır.
- Seçenekler: “x – y” için oluşturulan çarpan setinden birini seçeneklerle karşılaştırıp, “Hangisi bu setin içinde yer alan bir çarpandır?” sorusu cevaplanır.
Görsel eksik olduğundan dolayı net bir sayısal sonuç vermek mümkün değildir. Ancak bu tip bulmacalarda mantık akışı yukarıda anlatıldığı biçimdedir. Soru, “Hangisi x – y sayısının çarpanlarındandır?” dediğinden (A) 8, (B) 9, (C) 15, (D) 17 gibi seçenekler olabilir. Çözüm aşamaları:
• Her satır-sütun çarpımını bulup, tabloya 3-4-5-6-7-8-9’u sistematik yerleştirirsiniz.
• x ve y hangi karelerdeyse, tablo doldurulduktan sonra x ve y bulunur.
• x – y hesaplanır.
• x – y’nin çarpanları listelenir, hangi seçeneğin bu listeye ait olduğu bulunur.
3. Soru 10: “Yukarıdaki Daire Balonlar” ve “Sadece Bir Asal Çarpanı Olanlar”
Soruda görebildiğimiz değerler şunlar: 64, 125, 144, 100, 27, 160, 720 gibi sayılar. Bu balonların içindeki sayıların “sadece bir tane asal çarpanı” (yani tek bir asalın kuvveti) olanları patlatmak veya tam tersi şekilde patlatmamakla ilgili bir ibare var:
- 64 = 2⁶ tek asal çarpan (2).
- 125 = 5³ tek asal çarpan (5).
- 144 = 2⁴ × 3² → iki farklı asal (2 ve 3).
- 100 = 2² × 5² → iki farklı asal (2 ve 5).
- 27 = 3³ tek asal çarpan (3).
- 160 = 2⁵ × 5 → iki farklı asal (2 ve 5).
- 720 = 2⁴ × 3² × 5 → üç farklı asal (2, 3 ve 5).
Eğer soru “Sadece bir tane asal çarpanı (yani tek asalın kuvveti) olan balonları patlatırsak kaç tanesini patlatırız?” diye soruyorsa, bunlar:
- 64 (2 tabanlı)
- 125 (5 tabanlı)
- 27 (3 tabanlı)
TOPLAM: 3 balon tek asal çarpanın kuvveti olduğundan patlatılır. Bu tür sorularda “Tamamında yazılı olan sayılardan yalnızca tek asal çarpan içerenler patlatılsın” denildiği için doğru cevap çoğunlukla “3” ya da “3 tane balon” şeklinde olur.
4. Soru 11: T(n) Fonksiyonu (n’nin Pozitif Tam Çarpanlarının Sayısı)
Bir soruda şu cümleler belirmiş:
“n basamaklı pozitif bir tam sayı olmak üzere T(n) ifadesi n’nin pozitif tam çarpanlarının sayısını göstermektedir. T(48) = 10’dur. … Buna göre T(36) = …?”
Bu tip sorularda:
- Örnek Deneme: 48’i asal çarpanlarına ayırırsak 48 = 2⁴ × 3¹ → pozitif bölen sayısı (4+1)(1+1) = 5 × 2 = 10. Bu bilgi T(48)=10 olarak tutarlı.
- 36 için Hesap: 36 = 2² × 3².
- T(36) = (2+1)(2+1) = 3 × 3 = 9.
Dolayısıyla T(36) = 9’dur. Soru “Bu bilgiye göre T(36) kaçtır?” şeklindeyse, doğrudan cevabımız 9 olarak bulunur. Eğer seçeneklerde 9 varsa, yanıt budur.
5. Soru 12 (veya 13/14 Olarak Geçebilir): 14 ve 25’in Asal Çarpanları
Bir soru metninde “14 sayısının asal çarpanlarının toplamı = A, 25 sayısının asal çarpanlarının toplamı = B. Buna göre A – B işleminin sonucu kaçtır?” gibi bir ifade görünüyor. Step-by-step inceleyelim:
- 14’ün Asal Çarpanları: 14 = 2 × 7
- Asal çarpanları: 2 ve 7
- Bunların toplamı: 2 + 7 = 9 → A = 9
- 25’in Asal Çarpanları: 25 = 5²
- Asal çarpanı yalnızca 5’tir (üslü olmasına rağmen tek asal).
- Bu yüzden 25’in asal çarpanları toplamı: 5 → B = 5
- A – B = 9 – 5 = 4
Cevap 4 olarak bulunur.
6. Diğer Görünen Sorular Hakkında Genel Yorumlar
Görselde “12. ve 24/3’ün tamamı tekrar asal sayıdır. Buna göre 1 + 4 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?” gibi bir ifade de dikkatimizi çekiyor; fakat buradaki tam metin eksik olduğu için net bir çıkarım yapamıyoruz.
Ayrıca “a ve b birer pozitif tam sayılar olmak üzere a² – 3^b = 63” tarzında bir şey de okunuyor, ya da benzeri bir denklem. Fakat sorunun tam hâli seçilip çoğaltılmadığı için veya görsel flu olduğu için adım adım ispatı yapılamıyor. O tip bir denklem sorusu ise genelde şu mantıkla çözülür:
• 63 + 3^b = a² ifadesine dönüştürülerek b’ye göre olası 3^b değerleri test edilir.
• 3^b + 63 → karesel bir sayı (perfect square) olup olmadığı kontrol edilir.
• Belirli bir b değeri bulunduktan sonra a, b, vs. elde edilir. Seçeneklerde hangi değer “olamaz” ya da “vardır” türü bir şık aranabilir.
Dolayısıyla, eksik görsellerde bu tür çarpanlar/asal sayı konusunun bir başka uygulaması olduğunu tahmin ediyoruz.
7. Özet Tablo
Aşağıda, şu ana dek net çözümleyebildiğimiz soru ve cevapları derliyoruz:
| Soru | Çözüm Yolunun Özeti | Sonuç |
|---|---|---|
| 9. Tablodaki 3,4,5,6,7,8,9’u yerleştirerek x – y bulunması, çarpanlardan birinin seçilmesi (Eksik). | Eksik görsel/tam veri olmadığı için bütün tabloyu teyit edemedik. Genelde satır-sütun çarpım mantığıyla doldurulup x – y hesaplanır, çarpanları listelenir, seçeneklerden biri eşleşir. | Eksik veri |
| 10. Balonlar: 64, 125, 144, 100, 27, 160, 720. “Tek asal çarpanı olanları patlat.” | 64 = 2⁶, 125 = 5³, 27 = 3³ → her biri tek asalın kuvveti olduğundan (tek prime sahip) bu üçü patlatılır. 144, 100, 160, 720 daha fazla asal içerdiği için patlatılmaz. | 3 tanesi patlatılır |
| 11. T(n) fonksiyonu (n’nin pozitif çarpan sayısı). Örnek: T(48)=10 verilmiş. “Buna göre T(36)=?” | 36 = 2² × 3² → çarpan sayısı = (2+1)(2+1) = 9. | 9 |
| 14 sayısının asal çarpanları toplamı = A, 25 sayısının asal çarpanları toplamı = B. “A – B = ?” (12/14) | 14 = 2 × 7 → Toplam 9, 25 = 5 → Toplam 5 → 9 – 5 = 4. | 4 |
| Diğer Sorular (12 ile 24/3, vb.) | Tam metin net okunamadığından ayrıntılı hesap verilemedi. | Eksik veri |
8. Kısa Özet ve Son Notlar
• Çarpanlar ve Katlar konusunun temel mantığı, bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak (faktorizasyon) ve oradan hareketle o sayının tüm bölenlerini, bölenlerinin sayısını ya da belirli özel nitelikleri (tek asal çarpan, iki asal çarpan, vb.) bulmaktır.
• 10. soruda görünen 64, 125, 27 gibi tek asalın kuvveti olan sayılar genellikle klasik örneklerdir (2 tabanlı, 3 tabanlı veya 5 tabanlı). 100, 144, 160, 720 ise en az iki farklı asal barındırdığı için “tek asal çarpanı olan” tanımına uymazlar.
• 11. sorudaki T(n) fonksiyonu, “n”inin asal çarpanlarındaki üslerin her birine 1 ekleyip çarpılmasıyla bulunur. 36 örneğinde bu net şekilde 9 olarak hesaplanır.
• 14 ve 25’in asal çarpanları üzerinden A – B gibi çıkarma yapmak da, pratikte “2 + 7 = 9” ve “5” şeklinde kolayca halledilir.
• Eksik gözüken bulmaca (Soru 9 vb.) türündeki sorular, tabloya 3,4,5,6,7,8,9 gibi sayılar yerleştirmeyi ister. Satır ve sütun çarpımları genelde ipuçlarıyla verilir. Bu sayılara dair tekil yerleştirme bittikten sonra x – y değeri hesaplanır. İnce ayrıntılar görsele bağlı olduğu için burada ancak çözüm yöntemi anlatılabilmiştir.
Bu şekilde “Çarpanlar ve Katlar” konusuna dair soruları çözümlü biçimde ele aldık. Görsel veya soru anlatımı tam gözüktüğünde, her bir adımın hesaplamaları çok daha net yapılır.