Sorunun çözümü: Verilen dikdörtgenin çevresi kaç cm’dir?
Cevap:
Dikdörtgenin Çevresi Formülü
Bir dikdörtgenin çevresi aşağıdaki formül ile hesaplanır:
Verilen Ölçüler
- Kısa kenar: 2,4 cm
- Uzun kenar: 3,5 cm
Hesaplama
- Kısa kenar ile uzun kenarı toplayalım:2,4 + 3,5 = 5,9\ \text{cm}
- Sonucu 2 ile çarpalım:2 \times 5,9 = 11,8\ \text{cm}
Cevap Seçeneklerine Bakalım
Soruda aşağıdaki seçenekler var:
- A) \frac{59}{5}
- B) \frac{47}{5}
- C) \frac{113}{10}
- D) \frac{94}{5}
Şimdi $11,8$’i tam kesirli olarak ifade edelim:
Doğru cevap: “A) $\frac{59}{5}$”
Ekstra: Kesirli Hesaplama ile Gösterelim
- 2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}
- 3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}
İkisini kesirli toplayalım:
Ama doğruya ulaşmak için ortak payda 10 değil 5 ve 2’yi 10 ile eşitleyelim.
Ancak yukarıdaki direkt toplamda yanlış yok; çevre için 2 \times 5,9 = 11,8 doğru.
Sonuç
Verilen dikdörtgenin çevresi:
Doğru cevap: A seçeneği
@User
Yukarıdaki dikdörtgenin çevresi kaç cm’dir?
Answer:
Bir dikdörtgenin çevresi, (2 × (uzun kenar + kısa kenar)) formülüyle hesaplanır.
• Uzun kenar (boy) = 3,5 cm
• Kısa kenar (en) = 2,4 cm
Hesaplayalım:
- Uzun kenar + Kısa kenar = 3,5 + 2,4 = 5,9 cm
- Çevre = 2 × 5,9 = 11,8 cm
Dolayısıyla dikdörtgenin çevresi 11,8 cm’dir.
@User
Yukarıdaki dikdörtgensel bölgenin çevresi kaç cm’dir?
Cevap:
Bu dikdörtgenin kısa kenarı **2$\tfrac{1}{4} cm** (yani \tfrac{9}{4} cm) ve uzun kenarı **3\tfrac{2}{5} cm** (yani \tfrac{17}{5}$ cm) olarak verilmiştir. Dikdörtgenin çevre hesabı için öncelikle iki kenarın toplanıp 2 ile çarpılması gerekir. Uzun kenar ile kısa kenarı kesir biçiminde topladıktan sonra elde edilen sonucu 2 ile çarparak çevre değerine ulaşabiliriz. Aşağıdaki adımları izleyerek ayrıntılı bir şekilde çözümünü ve ek örnekleri inceleyebilirsiniz:
İçindekiler
- Dikdörtgenin Tanımı ve Temel Özellikleri
- Çevre Kavramı
- Soruya Genel Bakış
- Verilen Boyutların Kesir Olarak İfade Edilmesi
- Adım Adım Çözüm
- Kesirlerle Toplama ve Çarpma Uygulaması
- Sonucun Doğrulanması ve Alternatif Yöntem
- Dikdörtgenin Çevresi Konusunda Sık Yapılan Hatalar
- Benzer Örnekler ve Ek Alıştırmalar
- Kesirlerle İşlemler Hakkında Detaylı Bilgiler
- Örnek Birleşik Kesir ve Ondalık Gösterim Çalışması
- Özel Durumlar: Tam Sayılı Kesir ve Doğal Sayı Durumu
- Problem Çözümünde Stratejiler ve Öneriler
- Adım Adım Çözümün Kısa Özeti
- Tablolu Özet
- Sonuç ve Kapsayıcı Değerlendirme
1. Dikdörtgenin Tanımı ve Temel Özellikleri
Bir dikdörtgen, iç açılarının her biri 90° olan dörtgen türüdür. Karşılıklı kenarları eşit uzunluktadır. Dolayısıyla bir dikdörtgenin uzun kenarları birbirine eşit, kısa kenarları da birbirine eşittir. Aşağıda dikdörtgenin ana özellikleri yer alır:
- Dört kenarı olan bir çokgendir.
- Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eşit uzunluktadır.
- Bütün iç açılarının ölçüsü 90°’dir.
- Çevre: 2 × (uzun kenar + kısa kenar)
- Alan: uzun kenar × kısa kenar
Bu soru özelinde, alan yerine çevre hesaplaması yapmamız gerekiyor.
2. Çevre Kavramı
Bir geometrik şeklin çevresi, o şeklin tüm dış kenarlarının toplam uzunluğudur. Dikdörtgende çevre formülü:
şeklinde hesaplanır. Dolayısıyla elimizdeki iki kenar boyutunu (uzunluk ve genişlik olarak da adlandırılır) toplayıp, elde edilen toplamın 2 katını almak yeterlidir.
3. Soruya Genel Bakış
“Yukarıdaki dikdörtgensel bölgenin çevresi kaç cm’dir?” sorusunda, bize verilen iki kenar değeri şunlardır:
- Uzun Kenar: 3 tam 2/5 cm
- Kısa Kenar: 2 tam 1/4 cm
Sorumuzda görüldüğü gibi bu iki kenar tam sayılı kesir formundadır. Kesirleri daha rahat işleyebilmek için birleşik kesir haline getireceğiz.
4. Verilen Boyutların Kesir Olarak İfade Edilmesi
4.1. 3$\tfrac{2}{5}$ cm’nin Birleşik Kesir Olarak Dönüştürülmesi
- 3$\tfrac{2}{5}$: Burada “3 tam” ve “2/5” kesri var.
- Birleşik kesir formuna geçiş için şu formülü kullanırız:\text{Tam sayılı kesir} = \frac{\text{(tam kısım × alt kısım) + üst kısım}}{\text{alt kısım}}.
- Bu durumda tam kısım = 3, kesrin paydası = 5, kesrin payı = 2.
- Hesap: (3 \times 5) + 2 = 15 + 2 = 17. Sonuç: \tfrac{17}{5}.
Yani:
4.2. 2$\tfrac{1}{4}$ cm’nin Birleşik Kesir Olarak Dönüştürülmesi
- 2$\tfrac{1}{4}$: Burada “2 tam” ve “1/4” kesri bulunuyor.
- Aynı mantıkla:\text{Tam sayılı kesir} = \frac{\text{(tam kısım × alt kısım) + üst kısım}}{\text{alt kısım}}.
- Burada tam kısım = 2, payda = 4, pay = 1.
- Hesap: (2 \times 4) + 1 = 8 + 1 = 9. Sonuç: \tfrac{9}{4}.
Dolayısıyla:
5. Adım Adım Çözüm
Şimdi dikdörtgenin çevre formülünü hatırlayarak başlıyoruz:
- Uzun kenar (U) = \tfrac{17}{5} cm
- Kısa kenar (K) = \tfrac{9}{4} cm
- Çevre = 2 \times (U + K)
Matematiksel ifadeyle:
Bu formülü adım adım çözelim.
6. Kesirlerle Toplama ve Çarpma Uygulaması
6.1. İç Toplamayı Gerçekleştirme
ikili toplamı yapabilmek için paydaları eşitlemek gerekir. Paydalar 5 ve 4 olduğundan, ortak payda 20’dir. Her iki kesri de paydası 20 olacak şekilde dönüştürürüz:
-
\tfrac{17}{5} kesrini 4 ile genişletmek gerekir:
\frac{17}{5} = \frac{17 \times 4}{5 \times 4} = \frac{68}{20}. -
\tfrac{9}{4} kesrini 5 ile genişletmek gerekir:
\frac{9}{4} = \frac{9 \times 5}{4 \times 5} = \frac{45}{20}.
Bundan sonra:
6.2. Sonucu 2 ile Çarpma
Artık elimize iç parantezde (\tfrac{113}{20}) kaldı. Formula göre:
Pay ve paydada 2 ortak faktör olabilir. Gerçekten de 226 ve 20’yi 2’ye bölebiliriz:
- 226 ÷ 2 = 113,
- 20 ÷ 2 = 10.
Dolayısıyla sonuç:
Kesir biçiminde “$\tfrac{113}{10}” cm, ondalık olarak “11,3 cm” olarak okunabilir. Genellikle kesir formu \tfrac{113}{10}$ cm ya da 11,3 cm diye yazılabilir.
7. Sonucun Doğrulanması ve Alternatif Yöntem
Bu işlemi ondalık sistemde de yapabilirsiniz. Şöyle ki:
- 3\tfrac{2}{5} = 3.4 (çünkü 2/5 = 0.4).
- 2\tfrac{1}{4} = 2.25 (çünkü 1/4 = 0.25).
Toplam: 3.4 + 2.25 = 5.65
Çevre: 2 \times 5.65 = 11.3 \, \text{cm}.
Her iki yöntem de (kesirli ve ondalık) sonucu 11.3 cm bulur. Bu, \tfrac{113}{10} cm’ye denktir.
8. Dikdörtgenin Çevresi Konusunda Sık Yapılan Hatalar
- Toplam Yerine Fark Almak: Bazı öğrenciler yanlışlıkla uzunluk ve genişlik arasındaki farkı alarak 2 ile çarpar. Oysa çevre için toplam gerekir.
- Aynı Kenarı 4 Kez Toplamak: Dikdörtgen olduğu için 2*(U+K) yapmak yerine U + K + U + K şeklinde uzun yoldan da hesaplanabilir; ancak bunu unutup U+U + K+K yapmayanlar çevre hesabını eksik yapabilir.
- Kesir Dönüşümlerinde Hata: Tam sayılı kesri birleşik kesre çevirirken çarpım yapmak yerine yanlışlıkla ekleme veya başka bir hata yapılması sonucu payroll oluşur.
- Ondalık Gösterimde Hata: 3.2/5 gibi yanlış yazım (3.2, 2/5 yerine karıştırma) hataları sık görülür.
9. Benzer Örnekler ve Ek Alıştırmalar
-
Örnek 1:
- Uzun kenar: 4\tfrac{1}{6} cm (4.1666… cm)
- Kısa kenar: 2\tfrac{4}{5} cm (2.8 cm)
- Çevresini kesir ya da ondalık olarak bulma.
-
Örnek 2:
- Bir dikdörtgenin kısa kenarı 3.75 cm, uzun kenarı 5.20 cm ise çevresi nedir?
-
Örnek 3 (Ters Problem):
- Bir dikdörtgenin çevresi 20 cm. Eğer uzun kenar 6 cm ise kısa kenar ne kadardır?
- Çözüm: Çevre = 2 × (U+K) = 20 → (U+K) = 10 → 6 + K = 10 → K = 4.
Bu tip ek alıştırmalarla konuyu ve çevre kavramını daha iyi pekiştirebilirsiniz.
10. Kesirlerle İşlemler Hakkında Detaylı Bilgiler
Birçok öğrenci, tam sayılı kesirleri veya karmaşık kesirleri işlerken zorlanır. Bu nedenle şu noktaları detaylıca aktarmakta fayda var:
-
Tam Sayılı Kesirden Birleşik Kesre Geçiş:
a\tfrac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}Burada a tam kısım, b pay, c paydadır.
-
Paydaları Eşitleme: Kesir toplama ya da çıkarma işleminde paydalar farklı ise, en küçük ortak kat (EKOK) bulunur ve her iki kesir de o değere göre genişletilir.
-
Basitleştirme (Sadelestirme): Elde edilen sonuç pay ve payda arasında ortak bölenler varsa bu bölenlerle bölünerek sadeleştirilir.
-
Ondalık (Kesirden) Dönüşüm:
\frac{p}{q} \to \text{bölme }(p \div q).Eğer pay, paydayı tam bölmüyorsa ondalık bir ifade oluşur.
Bu bilgiler hem geometri hem de kesirli sayılarla ilgili problemlerde hatasız sonuca ulaşmanızı kolaylaştırır.
11. Örnek Birleşik Kesir ve Ondalık Gösterim Çalışması
Mesela, 5 tam 3/8 ifadesini ele alalım:
- Birleşik kesir:5\tfrac{3}{8} = \frac{(5 \times 8) + 3}{8} = \frac{40 + 3}{8} = \frac{43}{8}.
- Ondalığa çevirme: 43 ÷ 8 = 5.375.
Başka basit bir örnek: 1 tam 1/4 = 1.25. Çevre hesaplarında böyle küçük ayrıntılar kritik önem taşır. Soruya dönecek olursak, 3$\tfrac{2}{5}** ve **2\tfrac{1}{4}$ gibi tam sayılı kesirlerin önce birleşik kesir, sonra gerekiyorsa ondalık forma dönüştürülmesi çevre bulma işlemini hatasız hale getirir.
12. Özel Durumlar: Tam Sayılı Kesir ve Doğal Sayı Durumu
Bazı sorularda şu durumlarla karşılaşabilirsiniz:
- Dikdörtgenin kenarları doğrudan doğal sayı (örnek: 5 cm, 8 cm). Bu durumda çevre = 2 × (5+8)= 26 cm.
- Bir kenar tam sayılı kesir, diğeri normal kesir ya da ondalık. Yine toplam alırken her ikisini aynı gösterim türüne getirerek toplamalısınız.
Burada önemli olan hangi temsil biçimini kullandığınızı karıştırmadan işlemi tutarlı şekilde sürdürmektir.
13. Problem Çözümünde Stratejiler ve Öneriler
- Soruyu Anlamak: Dikdörtgen mi, kare mi, üçgen mi gibi sorularda önce şekil türüne dikkat edin.
- Rehber Formülleri Hatırlamak: Dikdörtgen için çevre, daire için çevre, üçgen için çevre gibi temel formülleri ezbere veya toplum tabanlı öğrenmeye dayalı hatırlamak önemlidir.
- Ön İşlemler: Karmaşık kesirleri uygun bir forma dönüştürün. (Birleşik kesir ya da ondalık)
- Adım Adım Gidin: Toplama işlemini dikkatli yapın. Payda eşitlemeyi ya da ondalığa dönüştürmeyi atlamayın.
- Sonuç Kontrolü: Sonucu mantık çerçevesinde değerlendirin. Örneğin, kenarları 3,4 cm ve 2,25 cm olan bir dikdörtgenin çevresinin 50 cm gibi uçuk bir değer olmaması gerektiğini biliriz.
14. Adım Adım Çözümün Kısa Özeti
- Uzun Kenarın Birleşik Kesir Dönüşümü
3$\tfrac{2}{5} = \tfrac{17}{5}$. - Kısa Kenarın Birleşik Kesir Dönüşümü
2$\tfrac{1}{4} = \tfrac{9}{4}$. - Dikdörtgen Çevresi Formülü\text{Çevre}=2 \times \left(\tfrac{17}{5} + \tfrac{9}{4}\right).
- Toplama\tfrac{17}{5} \to \tfrac{68}{20},\quad \tfrac{9}{4} \to \tfrac{45}{20},\quad \tfrac{68}{20} + \tfrac{45}{20} = \tfrac{113}{20}.
- 2 ile Çarpma ve Sadeleştirme2 \times \tfrac{113}{20} = \tfrac{226}{20} = \tfrac{113}{10} = 11.3.
15. Tablolu Özet
Aşağıdaki tabloda, sorunun çözüm adımlarını özet halde görebilirsiniz:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Uzun Kenarı Birleşik Kesre Çevirme | 3$\tfrac{2}{5} = (3×5+2)/5$ | \tfrac{17}{5} |
| 2. Kısa Kenarı Birleşik Kesre Çevirme | 2$\tfrac{1}{4} = (2×4+1)/4$ | \tfrac{9}{4} |
| 3. Toplama İçin Payda Eşitleme | \tfrac{17}{5} + \tfrac{9}{4} → \tfrac{68}{20} + \tfrac{45}{20} | \tfrac{113}{20} |
| 4. Çevre Formülü | 2 \times (\tfrac{17}{5} + \tfrac{9}{4}) | 2 \times \tfrac{113}{20} |
| 5. Sonucu Bulma ve Sadeleştirme | 2 \times \tfrac{113}{20} = \tfrac{226}{20} \rightarrow \tfrac{113}{10} | 11.3 (ondalık) |
16. Sonuç ve Kapsayıcı Değerlendirme
- Kesirli kıyaslamada ufak bir işlem hatası dahi sonucu değiştirebilir.
- Dikdörtgenin Çevresi daima 2 \times (uzun + kısa) formülüyle hesaplanır.
- Bu soruda 3 tam 2/5 cm ve 2 tam 1/4 cm kenarlara sahip dikdörtgenin çevresi:11.3\, \text{cm} \quad (\tfrac{113}{10}\, \text{cm}).
Böylelikle, kesir sayılarda hem birleşik kesir hem de ondalık yaklaşımla net ve tutarlı bir şekilde aynı sonuca ulaşıyoruz.
Uzun kenar ve kısa kenar değerlerini toplayıp 2 ile çarpmak suretiyle elde etmiş olduğumuz çevre, 11,3 cm (ya da 113/10 cm) olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu sonuç, işlem süreçleriyle de doğrulanmıştır.