açıklayıcı olsun lütfen
!Resim [Link Silindi]
5 kg kütleli cismin gerilmeleri T₁ ve T₂ olan iplerle dengelenmesi durumu ve iplerin gerilme kuvvetlerinin büyüklüklerinin hesaplanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
-
Cisime etki eden kuvvetlerin dengede olması için net kuvvet sıfır olmalıdır:
\sum \vec{F} = 0 -
İplerin gerilme kuvvetlerinin yatay ve düşey bileşenleri hesaplanır.
-
Ağırlık kuvveti W = m \times g = 5 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 = 50 \, \text{N}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kuvvetleri bileşenlerine ayır
-
T_1 ipi 45° açıyla aşağı sola doğru çekiyor.
Yatay bileşen: T_1 \cos 45^\circ (sola doğru)
Düşey bileşen: T_1 \sin 45^\circ (yukarı doğru) -
T_2 ipi 135° açıyla sağ üstten bağlı, burada açı 135° olduğuna göre yatay bileşen:
T_2 \cos 135^\circ = -T_2 \cos 45^\circ = -T_2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} (sola doğru)
Düşey bileşen: T_2 \sin 135^\circ = T_2 \sin 45^\circ = T_2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} (yukarı doğru) -
Ağırlık W = 50\, \text{N} aşağı doğru.
Adım 2 — Yatay (x) yön denklemi
Kuvvetlerin yatay bileşenleri dengede:
T_1 \cos 45^\circ = T_2 \cos 135^\circ
Burada soldaki sağa doğru, sağdaki sola doğru olduğundan, yönü dikkate alınır:
T_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = T_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
Bir yön işaretleme hatası olmadan: sağa doğru olan bileşen pozitif, sola doğru olan negatif kabul edersek:
T_1 \cos 45^\circ - T_2 \cos 135^\circ = 0
T_1 \frac{\sqrt{2}}{2} - T_2 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0
T_1 \frac{\sqrt{2}}{2} + T_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \Rightarrow T_1 = -T_2
Ama negatif gerilme kuvveti olmaz, demek ki farklı yönler doğru tanımlanmalı burada sağa doğru T1 ve sola doğru T2 gibi.
Alternatif olarak, yatay bileşenler dengede:
T_1 \cos 45^\circ = T_2 \cos 135^\circ \Rightarrow T_1 \frac{\sqrt{2}}{2} = T_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)
Bu eşitlik ancak \ T_1 = -T_2 ise sağlanır ama kuvvet negatif olmaz.
O hâlde yatay kuvvet dengesi şöyle olmalı:
T_1 \cos 45^\circ + T_2 \cos 135^\circ = 0
\Rightarrow T_1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + T_2 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0
\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} (T_1 - T_2) = 0 \Rightarrow T_1 = T_2
Adım 3 — Düşey (y) yön denklemi
Net düşey kuvvet sıfır:
T_1 \sin 45^\circ + T_2 \sin 135^\circ - W = 0
T_1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + T_2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 50
\frac{\sqrt{2}}{2} (T_1 + T_2) = 50
Daha önce T_1 = T_2 bulduğumuza göre, yerine yazalım:
\frac{\sqrt{2}}{2} (T_1 + T_1) = 50
\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 T_1 = 50
\sqrt{2} \times T_1 = 50
T_1 = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25 \sqrt{2} \approx 35.36\, \text{N}
Buradan T_2 = T_1 \approx 35.36 \, \text{N}
Adım 4 — Sonuçların yorumu
-
İplerdeki gerilme kuvvetleri eşittir ve yaklaşık 35.36 N’dur.
-
Bu, cismin dengede kalabilmesi için iplerin gerilim kuvvetidir.
CEVAP:
T_1 = T_2 = 25 \sqrt{2} \approx 35.36 \, \text{N}
TEMEL KAVRAMLAR:
-
Denge durumu
- Bir cisim dengedeyse üzerine etkiyen net kuvvet sıfırdır.
- Yani yatay ve düşey tüm kuvvetlerin toplamı sıfırdır.
-
Bileşenlere ayırma
- Bir kuvveti yatay ve düşey bileşenlere ayırmak, trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak yapılır.
-
Gerilme kuvveti (Tension)
- İplerdeki çekme kuvvetidir; her iki ucunda aynı değerde, farklı yönlerde olabilir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
5 kg kütleli cisim iki ip (sol: 35°; sağ: 45°) ile dengede. İplerdeki gerilmeleri bulunuz. (g = 10 m/s²)
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Denge koşulları: \sum F_x = 0 ve \sum F_y = 0
Ağırlık: W = mg
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Serbest cisim ve bilinmeyenler
Halatların gerilmeleri: T1 (sol), T2 (sağ). Ağırlık aşağı doğru W = 5\cdot 10 = 50\ \text{N} .
Adım 2 — Yatay ve düşey denge denklemleri
Yatay denge (sağ yön pozitif):
T_2\cos 45^\circ - T_1\cos 35^\circ = 0
T_2\cos 45^\circ = T_1\cos 35^\circ
Düşey denge (yukarı yön pozitif):
T_1\sin 35^\circ + T_2\sin 45^\circ - W = 0
T_1\sin 35^\circ + T_2\sin 45^\circ = 50
Adım 3 — T2’yi T1 cinsinden yazma ve yerine koyma
Yatay denklemeden:
T_2 = T_1\frac{\cos 35^\circ}{\cos 45^\circ}
Bu ifadeyi düşey denklemde yerine koy:
T_1\sin 35^\circ + \left(T_1\frac{\cos 35^\circ}{\cos 45^\circ}\right)\sin 45^\circ = 50
T_1\left(\sin 35^\circ + \frac{\cos 35^\circ\,\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}\right) = 50
Not: \dfrac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = \tan 45^\circ = 1 , böylece ifade basitleşir:
T_1\left(\sin 35^\circ + \cos 35^\circ\right) = 50
Adım 4 — Sayısal değerler ve sonuçlar
Trigonometrik değerleri yaklaşık al:
\sin 35^\circ \approx 0.574
\cos 35^\circ \approx 0.8192
\sin 35^\circ + \cos 35^\circ \approx 0.574 + 0.8192
\sin 35^\circ + \cos 35^\circ \approx 1.3932
T_1 = \dfrac{50}{1.3932}
T_1 \approx 35.9\ \text{N} \approx 36\ \text{N}
Şimdi T_2’yi hesapla:
T_2 = T_1\frac{\cos 35^\circ}{\cos 45^\circ}
\cos 45^\circ \approx 0.7071
\frac{\cos 35^\circ}{\cos 45^\circ} \approx \frac{0.8192}{0.7071}
\frac{\cos 35^\circ}{\cos 45^\circ} \approx 1.158
T_2 \approx 35.9 \cdot 1.158
T_2 \approx 41.6\ \text{N} \approx 42\ \text{N}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
T1 ≈ 36 N, T2 ≈ 42 N
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Denge (ΣF = 0)
- Tanım: Bir nokta üzerindeki tüm kuvvetlerin vektörel toplamı sıfırsa nokta dengededir.
- Bu problemde: Yatay ve düşey bileşenlerin ayrı ayrı toplamı sıfır alınır.
- Bileşenlerine ayırma
- Tanım: Bir kuvveti yatay ve düşey bileşenlerine ayırma işlemi.
- Bu problemde: Her ip gerilmesinin sin ve cos ile düşey ve yatay bileşenleri alındı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açıları karıştırmak
- Yanlış: Açıyı yatay yerine dikey ile alıp sin ve cos’u ters kullanmak.
- Doğru: Verilen açı yatay ile ise yataydaki bileşen için cos, düşeyde sin kullanılır.
- Neden yanlış: Sinüs ve kosinüsün hangi bileşeni verdiği açıya bağlıdır.
- Düzeltme: Diyagramı çizip açı referansını kesinleştir, sonra bileşenleri yaz.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
yani T2 T1 e eşit mi
T₂, T₁’ye eşit midir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İplerin açıları farklı olduğunda gerilme kuvvetleri genellikle eşit olmaz.
- Denge koşulları için yatay ve düşey bileşen toplamları sıfır olur; bu denklemlerde T_1 ve T_2 farklı değerlerde bulunabilir.
AÇIKLAMA:
Önceki çözümde açıların farklı olduğunu ve denge denklemleri kurulduğunu hatırlayalım:
- Yatay denge:
T_2 \cos 45^\circ = T_1 \cos 35^\circ
- Düşey denge:
T_1 \sin 35^\circ + T_2 \sin 45^\circ = 50
Bu iki denklemi çözerek
T_2 = T_1 \frac{\cos 35^\circ}{\cos 45^\circ} \approx T_1 \times 1.158
çıktı.
Yani T_2, T_1’den yaklaşık %15.8 daha büyüktür.
Bu nedenle;
- T_2 = T_1 değildir.
- T_2 > T_1 olur.
Sebebi: İplerin farklı açılarla çekmesi gerilim kuvvetlerini farklı yapar.
CEVAP:
Hayır, T_2 ve T_1 eşit değildir. T_2 \approx 1.158 \times T_1 yani T_2, T_1’den daha büyüktür.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?