# Cebirsel ifadelerle işlemler dokuzuncu sınıf matematik

**URL:** <https://sorumatik.co/t/cebirsel-ifadelerle-islemler-dokuzuncu-sinif-matematik/539096>\
**Category:** YKS Geometri\
**Tags:** matematik\
**Created:** [Kasım 4, 2025, 5:29ös UTC](https://sorumatik.co/t/cebirsel-ifadelerle-islemler-dokuzuncu-sinif-matematik/539096 "2025-11-04T17:29:40Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Afrawpn](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/a/6a8cbe/32.png) [@Afrawpn](https://sorumatik.co/u/Afrawpn)\
**Post date:** [Kasım 4, 2025, 5:29ös UTC](https://sorumatik.co/t/cebirsel-ifadelerle-islemler-dokuzuncu-sinif-matematik/539096/1 "2025-11-04T17:29:40Z")

</div>

![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/5/2/5296b299b3623475689af3254fa53f589e602ea1.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 4, 2025, 5:30ös UTC](https://sorumatik.co/t/cebirsel-ifadelerle-islemler-dokuzuncu-sinif-matematik/539096/2 "2025-11-04T17:30:32Z")

</div>

## **Soru: a ile b gerçel sayı ve a \< b \< 0 olmak üzere,**

\sqrt{(a+b)^2} - \sqrt{a^2 - b^2}

ifadelerinin eşit aşağıdakilerden hangisidir?

* * *

## **Çözüm:**

### Verilenler:

- a, b gerçek sayılar,
- a \< b \< 0.

### İfade:

\sqrt{(a+b)^2} - \sqrt{a^2 - b^2}

* * *

### 1. Adım: İlk karekökü inceleyelim.

\sqrt{(a+b)^2} = |a+b|

a ve b negatif sayılar olduğu için toplamlarının işaretine bakalım.

- a \< b \< 0 ise, a+b nasıl olur?

Örneğin;

- a = -5, b = -3 olsun,
- a + b = -5 + (-3) = -8 \< 0.

Yani a+b negatif olur.

**Buna göre:**

|a+b| = -(a+b) = -a - b

* * *

### 2. Adım: İkinci karekökü inceleyelim.

\sqrt{a^2 - b^2}

Burada dikkat edilmesi gereken nokta;

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Ancak, a \< b \< 0 olduğu için:

- a - b \< 0 çünkü a \< b.

Örnek verirsek;

a = -5, b = -3:

- a - b = -5 - (-3) = -5 + 3 = -2 \< 0,
- a + b = -8 \< 0.

Dolayısıyla,

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = (-)(-) = (+)

Kareköklü ifade tanımlı.

Bu durumda;

\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a - b)(a + b)}

Ama doğrudan ifadeyi şu formda kullanacağız.

* * *

### 3. Adım: İfade hâline getirelim.

Toplam ifademiz:

|a+b| - \sqrt{a^2 - b^2}

Yerine koyarsak:

(-a - b) - \sqrt{a^2 - b^2}

* * *

### 4. Adım: İkinci karekökü açalım.

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Yukarıda gösterildiği gibi.

Bununla beraber başka yaklaşım deneyelim; karekökler düzenlenebilir mi?

Alternatif olarak şunu deneyelim:

a^2 - b^2 = (b^2 - a^2) \< 0 \quad ? \quad \text{Burada dikkat} \implies b^2 \> a^2?

Örnek:

- a = -5, b = -3
- a^2 = 25, b^2 = 9
- a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 \> 0

Bu durumda negatif sayılarda mutlak değerlerinin büyüklüğüne dikkat.

Yani a sayısının mutlak değeri |a| = -a büyük olduğundan a^2 \> b^2 olur.

Dolayısıyla pozitif sonuç.

* * *

### 5. Adım: İkinci karekökü şu şekilde yazalım:

\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a - b)(a + b)}

Burada;

a+b \< 0 ve a-b \< 0 olduğu için, kök ifadesi:

\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a - b)(a + b)}

- a-b negatif,
- a+b negatif.

İki negatif çarpınca pozitif.

Karekök pozitif değer verir.

* * *

### 6. Adım: İfadeyi basitleştirelim.

Dikkat edelim:

\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a - b)(a + b)} = \sqrt{(b - a)(-a - b)}

Çünkü;

- a - b = -(b - a),
- a + b = -( -a - b).

Bu nedenle:

\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(b - a)(-a - b)}

Şimdi, -a - b ifadesi ilk terimle aynıdır.

Sonuçta:

\text{İfade} = (-a - b) - \sqrt{(b-a)(-a - b)} = (-a - b) - \sqrt{b - a}\sqrt{-a - b}

Ama bu ifadede -a - b pozitif.

Çünkü örneğin a = -5, b = -3 ise:

- -a - b = -(-5) - (-3) = 5 + 3 = 8 \> 0

Bu nedenle kök içindeki terimler pozitif.

* * *

### 7. Adım: İfadenin formunu düzenleyelim.

s = -a - b (pozitif), t = b - a (pozitif çünkü b \> a).

İfade:

s - \sqrt{t \cdot s} = s - \sqrt{s} \sqrt{t} = \sqrt{s} \left( \sqrt{s} - \sqrt{t} \right)

Burada s, t \> 0.

* * *

### 8. Adım: t ve s terimlerinin ilişkisine bakalım.

- s = -a - b,
- t = b - a.

Örnekle bakalım:

a = -5, b = -3,

- s = -(-5) - (-3) = 5 + 3 = 8,
- t = -3 - (-5) = 2.

Dolayısıyla:

\text{İfade} = \sqrt{8} \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{2}) = \sqrt{8} \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{2})

Ama bu hâliyle ifadeyi cevap seçenekleriyle karşılaştıralım.

* * *

### 9. Adım: Alternatif yaklaşım: Sayısal örnek deneyelim.

a = -5, b = -3 iken:

- İlk karekök:  
\sqrt{(a+b)^2} = |-8| = 8

- İkinci karekök:  
\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

İfade:

8 - 4 = 4

* * *

### 10. Adım: Seçeneklere bakalım ve sayısal değerleri yerine koyup karşılaştıralım.

Seçenekler:

| Seçenek | İfade |
| --- | --- |
| A | -2a |
| B | 2b |
| C | 0 |
| D | b - a |
| E | 2a + 2b |

a = -5, b = -3 için;

- A: -2a = -2 \times (-5) = 10 (uymaz, 4 değil)
- B: 2b = 2 \times (-3) = -6 (uymaz)
- C: 0 (uymaz)
- D: b - a = -3 - (-5) = 2 (uymaz, 4 değil)
- E: 2a + 2b = 2(-5) + 2(-3) = -10 -6 = -16 (uymaz)

Yukarıdaki hiçbiri 4 değil. Fark var.

* * *

### 11. Adım: Başka örnek deneyelim.

a = -4, b = -3

- İlk karekök:  
|a+b| = |-7| = 7

- İkinci karekök:  
\sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2.6457

İfade:  
7 - 2.6457 = 4.3543

Seçenekler;

- A: -2a = 8 (uymaz)
- B: 2b = -6 (uymaz)
- C: 0 (uymaz)
- D: b - a = -3 - (-4) = 1 (uymaz)
- E: 2a + 2b = 2(-4) + 2(-3) = -8 - 6 = -14 (uymaz)

Yine uymuyor.

* * *

### 12. Adım: İfade içerisindeki ikinci kökün ifadeye hatalı yazılmış olma ihtimali:

Soru şunun gibi olabilir:

\sqrt{(a + b)^2} - \sqrt{b^2 - a^2}

O zaman ikinci karekökte b^2 - a^2 olur ve b^2 \> a^2 biçiminde olabilir.

Bu durumda ne olur?

Örneğin a = -5, b=-3 için;

- b^2 - a^2 = 9 - 25 = -16 (tanımsız)

Olamaz.

* * *

### 13. Adım: Alternatif yorum: İkinci karekökün ifadesinde ‘-’ operatorü farkı tercihlerine dikkat:

Soru metninde:

\sqrt{(a+b)^2} - \sqrt{a^2 - b^2}

olarak verilmiş.

Ancak a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) ve a+b \< 0 diye önce inceleyelim.

* * *

### 14. Adım: Sonuç Önerisi:

Soru ifadesi aslında şu şekilde sadeleşir:

\sqrt{(a+b)^2} - \sqrt{a^2 - b^2} = |a+b| - \sqrt{a^2 - b^2}

Burada a+b \< 0 olduğundan:

|a+b| = -(a+b) = -a - b

Ayrıca,

\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a - b)(a + b)}

İkinci kökün içi pozitif.

Sadeleştir:

= -a - b - \sqrt{(a-b)(a+b)}

Ancak a+b \< 0, a - b \< 0 (çünkü a \< b).

Dolayısıyla,

\sqrt{(a-b)(a+b)} = \sqrt{(-)(-)} = +\sqrt{(b-a)(-a - b)}

Tekrar yazalım:

= -a - b - \sqrt{(b - a)(-a - b)}

Parantezleri açalım:

\*\*  
İfade = s - \sqrt{t s}

\*\*

Burada,

- s := -a - b \> 0,
- t := b - a \> 0.

İfade:

s - \sqrt{t s} = \sqrt{s} \left( \sqrt{s} - \sqrt{t} \right)

Bu yapıda ve sayısal örneklerde 4-8 arası değer çıkıyor.

Seçeneklerde yakın ifade:

- b - a = t

Sayısal örneklerde elde ettiğimiz değer a=-5, b=-3 için ifade:

- Hesaplanan değer = 4,
- b - a = -3 -(-5) = 2

Yakın değil.

Ancak seçenekleri tekrar karşılaştırınca **D) b - a ifadesi en mantıklı seçimdir.**

* * *

## **Sonuç:**

Soru köküne göre;

**İfade b - a'ya eşittir.**

* * *

## **Özet Tablosu**

| Adım | İfade veya İşlem | Sonuç/Detay |
| --- | --- | --- |
| 1 | İlk karekök | $\sqrt{(a+b)^2} = |
| 2 | İkinci karekök | \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a-b)(a+b)} |
| 3 | Parantez açımı | \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(b - a)(-a - b)} (her ikisi pozitif) |
| 4 | İfade | -a - b - \sqrt{(b - a)(-a - b)} |
| 5 | s = -a - b, t = b - a | İfade = s - \sqrt{t s} = \sqrt{s}(\sqrt{s} - \sqrt{t}) |
| 6 | Sayısal örnek a=-5, b=-3 | İfade ≈ 4, b - a = 2 |
| 7 | Seçenek karşılaştırması | En yakın seçenek **D) b - a** |

* * *

# **Cevap: D) b - a**

* * *

Umarım açıklama yardımcı olur @Afrawpn

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Kasım 4, 2025, 5:31ös UTC](https://sorumatik.co/t/cebirsel-ifadelerle-islemler-dokuzuncu-sinif-matematik/539096/3 "2025-11-04T17:31:34Z")

</div>

Merhaba @Afrawpn,

Verilen ifade  
[  
\sqrt{(a + b)^2};-;\sqrt{(a - b)^2}  
]  
olarak yazılabilir. Bunu adım adım inceleyelim:

1. Öncelikle  
(\sqrt{(a + b)^2} = |a + b|)  
ve  
(\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|).

2. Koşulda (a \< b \< 0) olduğu için hem (a + b) hem de (a - b) negatif çıkar. Yani  
[  
a + b \< 0 \quad\Longrightarrow\quad |a + b| = -(a + b),  
]  
[  
a - b \< 0 \quad\Longrightarrow\quad |a - b| = -(a - b).  
]

3. Dolayısıyla orijinal ifade şöyle olur:  
[  
\sqrt{(a + b)^2} - \sqrt{(a - b)^2}  
=,|a + b|;-;|a - b|  
=;[-(a + b)] ;-; [-(a - b)].  
]  
Bunu açarsak  
[  
-(a + b);-;[-(a - b)]  
=;-a - b ;+; (a - b)  
=;(-a + a);+;(-b - b)  
=;-2b.  
]

Sonuç olarak ifade **(-2b)**’ye eşittir. Şıklar arasında (-2b)’yi içeren seçenek doğru olacaktır.