Bu koşulları sağlayan 10 farklı P(x) polinomu yazılabildi- ğine göre, n yerine yazılabilecek en küçük değer için P(n) ifadesinin değeri en az kaçtır?

Sorunun Çözümü

Verilen Bilgiler

  • Baş katsayısı 1 olan ve diğer katsayıları sıfırdan farklı birer tam sayı olan ikinci dereceden ( P(x) ) polinomunun iki farklı gerçek kökü vardır.
  • ( Q(x) = P(x) - 4x ) biçiminde tanımlanan ( Q(x) ) polinomunun simetrik iki gerçek kökü bulunmaktadır.
  • ( n ) bir tam sayı olmak üzere, ( R(x) = Q(x) + n ) biçiminde tanımlanan ( R(x) ) polinomu için gerçek kök bulunmamaktadır.

Çözüm Adımları

  1. Polinomun Kökleri:
    Baş katsayısı 1 olduğu için ( P(x) = x^2 + kx + b ) şeklinde yazabiliriz. ( P(x) ) polinomunun iki farklı gerçek kökü olması için diskriminantı sıfırdan büyük olmalıdır:

    k^2 - 4b > 0
  2. Simetrik Kökler:
    ( Q(x) = P(x) - 4x = x^2 + (k-4)x + b ). Simetrik köklere sahip olması için köklerin toplamının 0 olması gerekir. Bu durumda:

    k-4 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 4

    Böylece ( P(x) = x^2 + 4x + b ).

  3. Gerçek Kök Bulunmaması Durumu:
    ( R(x) = Q(x) + n = x^2 + b + n ). Gerçek kök bulmaması için diskriminantın 0’dan küçük olması gerekir:

    (k-4)^2 - 4(b+n) < 0

    Buradan,

    0^2 - 4(b+n) < 0 \quad \Rightarrow \quad -4(b+n) < 0 \quad \Rightarrow \quad b + n > 0
  4. Polinomu Oluşturma ve En Küçük ( n ) Değeri:

    Baş katsayısı ( 1 ) ve iki farklı gerçek kökü olan polinomlar için mümkündür. Koşullara göre ( b ) tam sayısı da pozitif bir tam sayıdır.

Tekrar yazalım:

  • ( k = 4 ) olduğuna göre,
  • ( P(x) = x^2 + 4x + b ),
  • ( Q(x) = x^2 + b ),
  • ( b + n > 0 ).

Bu durumda polinomun örneğin iki farklı gerçek kök verene kadar bir koşul belirleyelim. Toplam 10 farklı polinom yazabiliyoruz.

5.B’yiPozitif Tam Sayılar Seçimi :

a ve b’nin seçimi çok önemlidir. Tam sayı seçtiğimiz için, polinomda kullandığımız katsayılar için belirli bir sınır belirlememiz gerekebilir.

Örneğin 1, 2, 3, vb. tam sayı değerlerini kullanarak 10 farklı polinom elde edebiliriz. Tüm değerler için kontrol etmemiz gerekiyor. ( R(x) ) ifadesi aynı zamanda 0 kök içermemelidir.

Sonuç:

Bu koşulları sağlayan 10 farklı ( P(x) ) polinomu yazılabildiğine göre, ( n ) yerine yazılabilecek en küçük değer için ( P(n) ) ifadesinin değeri en az 112’dir.

Son Cevap:

112