# Bu karelerden mavi olan en küçük, sarı olan ise en büyük alana sahiptir

**URL:** <https://sorumatik.co/t/bu-karelerden-mavi-olan-en-kucuk-sari-olan-ise-en-buyuk-alana-sahiptir/699733>\
**Category:** Question Answer\
**Created:** [Kasım 5, 2026, 4:33ös UTC](https://sorumatik.co/t/bu-karelerden-mavi-olan-en-kucuk-sari-olan-ise-en-buyuk-alana-sahiptir/699733 "2026-11-05T16:33:40Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Gizem\_Ormanci](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/g/b9bd4f/32.png) [@Gizem\_Ormanci](https://sorumatik.co/u/Gizem_Ormanci)\
**Post date:** [Kasım 5, 2026, 4:33ös UTC](https://sorumatik.co/t/bu-karelerden-mavi-olan-en-kucuk-sari-olan-ise-en-buyuk-alana-sahiptir/699733/1 "2026-11-05T16:33:40Z")

</div>

1. Kenar uzunlukları verilen mavi, yeşil ve sarı renkli kare biçiminde kâğıtlar aşağıda gösterilmiştir.  
Mavi: x\sqrt{2} cm  
Yeşil: y\sqrt{5} cm  
Sarı: 6\sqrt{3} cm  
Bu karelerden mavi olan en küçük, sarı olan ise en büyük alana sahiptir.  
x ve y tam sayı olmak üzere, x + y işleminin sonucu en fazla kaçtır?  
A) 10  
B) 11  
C) 12  
D) 13
2. Alanı 12^{10} birimkare olan kare şeklindeki karton, kenar uzunlukları 1 birimden büyük ve aralarında asal olacak şekilde en az sayıda eş dikdörtgen parçalara aşağıdaki gibi ayrılmıştır.  
Elde edilen bu parçalar, uzun kenarları çakıştırılarak aşağıdaki gibi dikdörtgen biçiminde bir yapı oluşturulmuştur.  
Buna göre, bu yapının uzun kenar uzunluğu kaç birimdir?  
A) 24^{10}  
B) 48^5  
C) 24^5  
D) 6^{10}

 ![Kenar uzunlukları verilen mavi, yeşil ve sarı renkli kare biçiminde kâğıtlar aşağıda...](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/b/c/bc96d333c55cd457048cf62ed3328e757f0de87c.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Kasım 5, 2026, 4:34ös UTC](https://sorumatik.co/t/bu-karelerden-mavi-olan-en-kucuk-sari-olan-ise-en-buyuk-alana-sahiptir/699733/2 "2026-11-05T16:34:09Z")

</div>

## Kareköklü İfadelerde Sıralama ve Üslü İfadelerle Alan Analizi

### 19. Soru: Kareköklü Sayılarda Alan ve Kenar Sıralaması

💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:**  
Bir kenarı a olan karenin alanı A = a^2 formülüyle hesaplanır. Kenar uzunluğu k\sqrt{m} olan karenin alanı (k\sqrt{m})^2 = k^2 \cdot m olur.

* * *

### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI

**Adım 1 — Karelerin Alanlarını Belirleme**  
Mavi karenin bir kenarı x\sqrt{2}\text{ cm}, yeşil karenin bir kenarı y\sqrt{5}\text{ cm} ve sarı karenin bir kenarı 6\sqrt{3}\text{ cm} olarak verilmiştir. Her bir karenin alanını hesaplayalım:

- \text{Alan(Mavi)} = (x\sqrt{2})^2 = 2x^2
- \text{Alan(Yeşil)} = (y\sqrt{5})^2 = 5y^2
- \text{Alan(Sarı)} = (6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108\text{ cm}^2

**Adım 2 — Eşitsizliği Kurma ve En Büyük Değerleri Bulma**  
Mavi en küçük, sarı en büyük alana sahip olduğundan sıralama \text{Alan(Mavi)} \< \text{Alan(Yeşil)} \< \text{Alan(Sarı)} şeklindedir:

2x^2 \< 5y^2 \< 108

x + y toplamının en fazla olması için y ve x pozitif tam sayılarına verilebilecek en büyük değerleri seçmeliyiz:

- 5y^2 \< 108 \implies y^2 \le 21 olduğundan seçilebilecek en büyük tam sayı **y = 4** olur (5 \cdot 4^2 = 80).
- y = 4 için: 2x^2 \< 80 \implies x^2 \< 40 olur. Buradan seçilebilecek en büyük tam sayı **x = 6** bulunur (2 \cdot 6^2 = 72 \< 80).

x + y = 6 + 4 = 10

* * *

✅ **CEVAP (19. Soru):** **A) 10**

* * *

* * *

### 20. Soru: Üslü İfadelerde EBOB-EKOK ve Alan Parçalama

💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:**  
Alanı verilen bir karenin bir kenar uzunluğu alanın kareköküdür: \sqrt{A}. Aralarında asal iki sayının 1’den başka pozitif ortak böleni yoktur.

* * *

### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI

**Adım 1 — Kartonun Kenar Uzunluğunu Bulma**  
Alanı 12^{10}\text{ br}^2 olan kare kartonun bir kenar uzunluğu:

\sqrt{12^{10}} = 12^5\text{ birimdir.}

12^5 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

12^5 = (2^2 \cdot 3)^5 = 2^{10} \cdot 3^5

**Adım 2 — Eş Dikdörtgenlerin Kenarlarını Belirleme**  
Parça sayısının **en az** olması için dikdörtgenin kenar uzunlukları mümkün olan en büyük değerleri almalıdır. Dikdörtgenin kenarları karenin kenarını tam böleceğinden 12^5’in böleni olmalı; ayrıca kenar uzunlukları 1’den büyük ve **aralarında asal** olmalıdır:

- Ortak asal çarpan bulunamayacağı için çarpanlar 2 ve 3 tabanlarına tamamen ayrılmalıdır.
- Uzun kenar: b = 2^{10} = 1024
- Kısa kenar: a = 3^5 = 243
- \text{EBOB}(2^{10}, 3^5) = 1 koşulu sağlanır.

**Adım 3 — Parça Sayısını ve Yeni Yapının Uzun Kenarını Hesaplama**  
Kare kartondan elde edilen toplam parça sayısı:

\text{Parça Sayısı} = \frac{\text{Tüm Alan}}{\text{Bir Parçanın Alanı}} = \frac{12^{10}}{2^{10} \cdot 3^5} = \frac{2^{20} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^5} = 2^{10} \cdot 3^5 = 12^5\text{ adet}

Parçaların uzun kenarları çakıştırılarak yan yana dizildiğinde oluşan yapının uzun kenarı, parça sayısı ile kısa kenarın çarpımına eşittir:

\text{Uzun Kenar} = 12^5 \cdot 3^5 = (12 \cdot 3)^5 = 36^5 = (6^2)^5 = 6^{10}\text{ birim}

* * *

✅ **CEVAP (20. Soru):** **D) 6^{10}**

⚠ **SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:**  
Aralarında asal çarpanlara ayırma sorularında tabanları asal çarpanlarına (2^{10} \cdot 3^5) ayırıp tüm 2’leri bir kenara, tüm 3’leri diğer kenara vermek çarpımı ve parça alanını maksimum yapar. Son adımda 36^5 ifadesini şıklara uydurmak için tabanı 6^2 biçiminde yazarak üssün üssü kuralından (6^{10}) faydalanılır.