3m-m
x ve y:
bir hes:
log.y d
Nuri a
Pix)
Po)
Al)-aabatc
P(X) polinomunun x-3 ile bölümūnden kalan
24 olduğuna göre P(x*) polinomunun x -2 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 28
B) 33
C) 39
D) 42 E) 48
2]=24
olarak
Buna
hesa-
A)
P(x) Polinomunun Bölümünden Kalanı Bulma
Görseldeki grafiğe ve verilen bilgilere dayanarak P(x) polinomunu oluşturup istenen kalanı adım adım hesaplayalım.
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Kalan Teoremi: Bir P(x) polinomunun (x - a) ile bölümünden kalan P(a) değeridir.
- Parabol Denklemi: Tepe noktası T(r, k) olan veya eksenleri kestiği noktaları bilinen parabolün denklemi: P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) veya P(x) = a(x-r)^2 + k.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — P(x) Polinomunun Grafikten Denklemini Yazma
Grafiği incelediğimizde P(x) parabolünün (mavi eğri):
- x eksenini 1 noktasında kestiğini görüyoruz: P(1) = 0.
- y eksenini -1 noktasında kestiğini görüyoruz: P(0) = -1.
- Grafik simetrik bir yapıdadır ve tepe noktası y ekseni üzerinde görünmektedir (veya köklerden biri 1 ise diğeri -1’dir).
Denklemi kuralım: P(x) = a(x-1)(x+1) = a(x^2 - 1)
x=0 için y=-1 ise:
-1 = a(0^2 - 1) \implies -1 = -a \implies a = 1
Dolayısıyla: P(x) = x^2 - 1
Adım 2 — Verilen Bilgiyi Kontrol Etme
Soruda P(x)'in x-3 ile bölümünden kalanın 24 olduğu söylenmiş. Yani P(3) = 24 olmalı.
Ancak bizim bulduğumuz temel P(x) = x^2 - 1 denkleminde P(3) = 3^2 - 1 = 8 çıkıyor.
Bu durumda P(x)'in başında farklı bir katsayı olmalıdır: P(x) = k(x^2 - 1).
P(3) = k(3^2 - 1) = 24
8k = 24 \implies k = 3
O halde gerçek polinomumuz: P(x) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3
Adım 3 — İstenen Değeri Belirleme
Soru bizden P(x^2) polinomunun x-2 ile bölümünden kalanı istiyor.
Kalan teoremi gereği x-2=0 \implies x=2 değerini P(x^2) içinde yerine yazmalıyız.
İstenen kalan: P(2^2) = P(4) değeridir.
Adım 4 — Son Hesaplama
Bulduğumuz P(x) = 3x^2 - 3 denkleminde x yerine 4 yazalım:
P(4) = 3(4^2) - 3
P(4) = 3(16) - 3
P(4) = 48 - 3 = 45
(Not: Grafikteki tepe noktası ve kök değerleri görseldeki işaretlemelere göre P(x) = a(x-1)(x+1) formundadır. Eğer P(x) polinomunun kökleri farklı ise grafik üzerinden tekrar yorumlanabilir, ancak mevcut verilere göre çözüm budur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 45
(Not: Seçeneklerde 45 bulunmamaktadır. Görseldeki el yazısı notlara göre P(x) kökleri veya katsayıları farklı yorumlanmış olabilir. Ancak yukarıdaki mantık adımları polinom sorularının standart çözüm yoludur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Polinomlarda Bölme
- Tanım: Bir polinomu x-a ile bölmek, o polinomda x gördüğümüz yere a yazmak demektir.
- Bu problemde: P(x^2) polinomunda x yerine 2 yazarak P(4)'ü aradık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış Değişken Atama
- Yanlış: P(x^2)'de direkt x yerine 4 yazmaya çalışmak.
- Doğru: Bölen x-2 olduğu için önce x=2 bulunur, sonra bu değer fonksiyonda yerine yazılır (2^2=4).
Bu çözümde takıldığın veya grafikte farklı gördüğün bir sayısal değer var mı? İstersen başka bir örnek üzerinden pekiştirebiliriz.
cevap 42 diyor yanlış
P(x) Polinomu Grafiği ve Kalan Hesaplama (Düzeltilmiş Analiz)
Görseldeki grafiği ve el yazısı notları daha dikkatli incelediğimizde, grafikteki mavi eğrinin (P(x)) tepe noktasının ve katsayısının seçeneklerle uyumlu olacak şekilde yeniden analiz edilmesi gerekmektedir. Cevabın 42 çıkması için grafik verilerini tekrar yorumlayalım.
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Kalan Teoremi: P(x^2) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan, x = 2 yazılarak bulunan P(2^2) = P(4) değeridir.
- Parabol Denklemi: P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) (Kökleri bilinen) veya P(x) = a(x-r)^2 + k (Tepe noktası bilinen).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafikteki Verilerin Belirlenmesi
Grafiğe (mavi eğriye) baktığımızda:
- x eksenini kestiği noktalardan biri 1 olarak işaretlenmiş. Grafik simetrik olduğu için diğer kök -1’dir.
- y eksenini kestiği nokta (tepe noktası) -1 olarak işaretlenmiş (P(0) = -1).
- Denklem yapısı: P(x) = a(x^2 - 1) şeklindedir.
Adım 2 — Verilen Bilgi ile Katsayının (a) Bulunması
Soruda P(x)'in x-3 ile bölümünden kalanın 24 olduğu verilmiş.
Yani P(3) = 24 olmalıdır.
P(3) = a(3^2 - 1) = 24
a(9 - 1) = 24 \implies 8a = 24 \implies a = 3
Bu durumda polinomun kesin denklemi: P(x) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3 olur.
Adım 3 — İstenen Kalanın Belirlenmesi
P(x^2) polinomunun x-2 ile bölümünden kalan için x-2=0 \implies x=2 yazılır.
İstenen değer: P(2^2) = \mathbf{P(4)}
Adım 4 — Sonuç Hesaplama
Bulduğumuz P(x) = 3x^2 - 3 denkleminde x = 4 yazalım:
P(4) = 3(4^2) - 3
P(4) = 3(16) - 3 = 48 - 3 = \mathbf{45}
Önemli Not: Eğer cevap 42 ise, polinomun kökleri veya yapısında bir fark olmalıdır. Grafikteki tepe noktasının (-2) olduğunu varsayarsak (el yazısında -2 gibi bir karalama mevcut):
P(x) = a(x^2 - 2) olsun.
P(3) = a(3^2 - 2) = 24 \implies 7a = 24 (Tam sayı çıkmaz).
Farklı bir senaryo: Eğer P(x) = ax^2 + b formunda ve P(3)=24 iken grafik üzerindeki bir nokta P(1)=0 ise:
a(1)^2 + b = 0 \implies b = -a
P(3) = a(3)^2 - a = 24 \implies 8a = 24 \implies a = 3, b = -3 (Yine 45 sonucuna çıkar).
Cevabın 42 olması için: Polinomun P(x) = 3x^2 - 6 gibi bir yapıda olması gerekir. Bu durumda P(4) = 3(16) - 6 = 42 olur. Bu da grafikteki y keseninin (sabiti) -6 olması demektir. Görseldeki el yazısında P(0)=-2 gibi bir not varsa veya P(x) yerine başka bir tanımlama yapılmışsa bu fark oluşur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ANSWER: 45 (Standart Analiz) / 42 (Eğer sabit terim -6 ise)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kalan Teoremi
- Tanım: Bölünen polinomda, böleni sıfır yapan x değerini yerine koymaktır.
- Uygulama: P(x^2)'de x-2 için x=2 koyup P(4)'ü bulduk.
SIK YAPILAN HATALAR:
Katsayıyı İhmal Etmek
- Hata: Grafikteki a katsayısını sadece köklere bakarak 1 almak.
- Doğru: Soruda verilen P(3)=24 bilgisini mutlaka katsayıyı doğrulamak için kullanmalısın.
Grafikteki tepe noktasının altında yazan rakam tam olarak okunabiliyor mu? Eğer orası -2 veya başka bir değerse denklemi ona göre revize edebiliriz. Tekrar kontrol etmek ister misin?