# Ayt matematik sorusuj

**URL:** <https://sorumatik.co/t/ayt-matematik-sorusuj/175692>\
**Category:** 12.Sınıf Matematik\
**Created:** [Mart 3, 2025, 5:06öö UTC](https://sorumatik.co/t/ayt-matematik-sorusuj/175692 "2025-03-03T05:06:01Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![ahmet\_demir1](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ahmet_demir1/32/68345_2.png) [@ahmet\_demir1](https://sorumatik.co/u/ahmet_demir1)\
**Post date:** [Mart 3, 2025, 5:06öö UTC](https://sorumatik.co/t/ayt-matematik-sorusuj/175692/1 "2025-03-03T05:06:01Z")

</div>

![20250303_080540](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/2/9/29160bad51323df5af2d19dc0cedef081287a1ff.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Mart 3, 2025, 5:06öö UTC](https://sorumatik.co/t/ayt-matematik-sorusuj/175692/2 "2025-03-03T05:06:27Z")

</div>

## Sorunun Tam Çözümü ve Analizi

**Sorunun konusu:** Verilmiş bir polinom türündeki fonksiyonun monotonluk koşullarına göre, m parametresinin alabileceği **en büyük tam sayı** değerini bulmak.

* * *

### Verilen Fonksiyon

Fonksiyon şu şekilde tanımlanmış:

f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{(m - 2)}{2}x^2 + 4x + m - 2

* * *

### Verilen Bilgiler

Soruda iki koşul verilmiş:

1. Eğer x\_1 \< x\_2 ise, f(x\_1) \< f(x\_2) olmalıdır (Strictly monotonik).
2. Eğer x\_1 \neq x\_2, o zaman f(x\_1) \neq f(x\_2) (Fonksiyon bir **birim** fonksiyon olmalıdır, yani birebir tanımlıdır).

Sonuç olarak, fonksiyonun monoton artan ve tersinir (invertible) bir fonksiyon olması gerekiyor. Bunlar için kritik analizler yapacağız.

* * *

## **1. Adım: Fonksiyonun türevini bulma**

Fonksiyonun türevini alarak, monotonluk analizi yapabiliriz. Türevi alırken sabitleri sıfırlıyoruz. Fonksiyonun türevi şu şekilde hesaplanır:

f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - \frac{(m - 2)}{2}x^2 + 4x + m - 2\right)

Türevi alınan ifadeyi parçalara bölelim:

1. \frac{x^3}{3}'ün türevi: \frac{3x^2}{3} = x^2,
2. -\frac{(m - 2)}{2}x^2’nin türevi: -2 \cdot \frac{(m - 2)}{2}x = -(m-2)x,
3. 4x’in türevi: 4,
4. Sabitin (m - 2) türevi: 0.

Sonuç olarak türev şudur:

f'(x) = x^2 - (m-2)x + 4

* * *

### **2. Adım: Türevin işaret analizi**

Bir fonksiyonun monoton artan olabilmesi için türevin her zaman **pozitif** (f'(x) \> 0) olması gerekir.

f'(x) = x^2 - (m-2)x + 4

Bu ifadeyi daha anlaşılır şekilde düzenleyelim:

f'(x) = x^2 - (m-2)x + 4

Bu bir **ikinci dereceden denklem** dir ve her zaman pozitif olması için **diskriminantının (\Delta) negatif olması** gerekir. Diskriminant şu şekilde hesaplanır:

\Delta = b^2 - 4ac

Burada:

- a = 1 (x²’nin katsayısı),
- b = -(m-2) (x’in katsayısı),
- c = 4 (sabit terim).

Diskriminantı yerine yazalım:

\Delta = (-(m-2))^2 - 4(1)(4)

Açılımı yapalım:

\Delta = (m-2)^2 - 16

Bu ifadeyi açtığımızda:

\Delta = m^2 - 4m + 4 - 16

\Delta = m^2 - 4m - 12

* * *

### **3. Adım: Diskriminantın negatif olması**

Monotonluk koşulunu sağlamak için şunu sağlamamız gerekiyor:

\Delta = m^2 - 4m - 12 \< 0

Bu ifadeyi çözelim. Burada m^2 - 4m - 12 bir **ikinci dereceden denklem** dir. Bu tür denklemler **kökler yöntemiyle** çözülebilir.

#### Diskriminantın köklerini bulalım:

m^2 - 4m - 12 = 0

\Delta\_m = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-12)

\Delta\_m = 16 + 48

\Delta\_m = 64

Kökler şunlardır:

m\_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta\_m}}{2a}

Burada b = -4, a = 1, \Delta\_m = 64.

m\_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2(1)}

m\_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{2}

Kökler:

m\_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2, \; m\_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6

Bu durumda, \Delta \< 0 olması için m değeri kökler arasında olmalıdır:

-2 \< m \< 6

* * *

### **4. Adım: m’nin alabileceği en büyük tam sayı**

Buraya kadar yaptığımız analiz sonucunda, m’nin alabileceği **en büyük tam sayı değer** 6’dır.

* * *

### **Cevap: C) 6**

| Koşul | Analiz Sonucu |
| --- | --- |
| Monotonluk için \Delta | m^2 - 4m - 12 \< 0 |
| Kökler | -2 \< m \< 6 |
| En büyük tam sayı | **6** |

@ahmet_demir1