Analitik düzlemde, ( A(2, 1) ) noktasının ( 5x + 12y + 4 = 0 ) doğrusuna olan en kısa uzaklığı kaç birimdir?

Analitik Düzlemde Doğruya Uzaklık Problemi Nasıl Çözülür?

Bu soru, analitik düzlemde bir noktanın bir doğruya olan en kısa mesafesini bulmayı gerektiriyor. Bunu yaparken, doğrunun genel denklemini ve noktanın koordinatlarını kullanacağız. Sorunuzu çözmek için aşağıdaki adımları takip edelim:

Soru: Analitik düzlemde, ( A(2, 1) ) noktasının ( 5x + 12y + 4 = 0 ) doğrusuna olan en kısa uzaklığı kaç birimdir?

Çözüm Adımları

  1. Doğru Denklemini ve Noktayı Belirleyin:

    • Doğru denklemi: ( 5x + 12y + 4 = 0 )
    • Nokta: ( A(2, 1) )
  2. Noktanın Doğruya Olan Mesafesi Formülü:

    Noktanın genel denklemi ( Ax + By + C = 0 ) olan doğruya olan uzaklığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

    d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

    Burada ( (x_1, y_1) ) verilen noktanın koordinatları, ( A ), ( B ) ve ( C ) ise doğrunun katsayılarıdır.

  3. Katsayıları ve Koordinatları Yerine Koyun:

    • ( A = 5 ), ( B = 12 ), ( C = 4 )
    • ( x_1 = 2 ), ( y_1 = 1 )

    Formüle değerleri yerleştirelim:

    d = \frac{|5(2) + 12(1) + 4|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}
  4. İç Toplama ve Karekök Alma:

    • ( 5(2) = 10 )
    • ( 12(1) = 12 )
    • ( 10 + 12 + 4 = 26 )

    Yukarısı: ( |26| = 26 )

    Aşağıdaki karekök ifadesi:

    \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
  5. Sonuç Olarak Mesafeyi Bulun:

    d = \frac{26}{13} = 2

Cevap: Mesafe 2 birimdir.

Bu adımlar sayesinde A(2, 1) noktasının ( 5x + 12y + 4 = 0 ) doğrusuna olan en kısa uzaklığını 2 birim olarak bulduk. Analitik geometri problemlerinde doğru formülü uygulamak ve doğru hesaplamalar yapmak sonuca güvenilir bir şekilde ulaşmamızı sağlar. Siz başka sorular ya da problemler ile ilgili yardım almak ister misiniz?