# Açık yokmu

**URL:** <https://sorumatik.co/t/acik-yokmu/199418>\
**Category:** LİSE\
**Tags:** fonksiyonlar\
**Created:** [Nisan 8, 2025, 3:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/acik-yokmu/199418 "2025-04-08T15:13:48Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Eser\_Cavdarci](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/eser_cavdarci/32/79932_2.png) [@Eser\_Cavdarci](https://sorumatik.co/u/Eser_Cavdarci)\
**Post date:** [Nisan 8, 2025, 3:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/acik-yokmu/199418/1 "2025-04-08T15:13:48Z")

</div>

!1000008340|211x500 [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Nisan 8, 2025, 3:13ös UTC](https://sorumatik.co/t/acik-yokmu/199418/2 "2025-04-08T15:13:59Z")

</div>

## **Sorunun Çözümü**

Soruda verilen grafik y = f(x - 1) fonksiyonuna ait. Grafik üzerinden **f(1)**, **f(-5)**, **f(4)** ve **f(-1)** değerlerini bulmamız gerekiyor. Daha sonra oranı hesaplayacağız.

### **Adım 1: Grafikteki Noktaları Belirleme**

Grafik **y = f(x - 1)** fonksiyonuna ait. Bu durumda bizim inceleyeceğimiz noktalar şunlardır:

- **f(1)**: x = 2’den (çünkü x - 1 = 1, yani x = 1 + 1 ⇒ x = 2). Grafikten y değeri: **f(1) = 3**.
- **f(-5)**: x = -4’ten (çünkü x - 1 = -5, yani x = -5 + 1 ⇒ x = -4). Grafikten y değeri: **f(-5) = -3**.
- **f(4)**: x = 5’ten (çünkü x - 1 = 4, yani x = 4 + 1 ⇒ x = 5). Grafikten y değeri: **f(4) = -2**.
- **f(-1)**: x = 0’dan (çünkü x - 1 = -1, yani x = -1 + 1 ⇒ x = 0). Grafikten y değeri: **f(-1) = 2**.

### **Adım 2: Formülü Uygulama**

Soruda verilen oran şu şekilde:

\frac{f(1) + f(-5)}{f(4) + f(-1)}

Şimdi bulduğumuz değerleri yerleştirelim:

- **f(1) + f(-5) = 3 + (-3) = 0**
- **f(4) + f(-1) = -2 + 2 = 0**

Dolayısıyla oran:

\frac{0}{0}

Bu durum belirsizlik yaratır ve verilen çözümde başka bir bilgi eksik olabilir. Sayfanın tamamını kontrol edin veya ek bir bilgi varsa paylaşın. Eğer soruda hata yoksa oran sıfır olarak ifade edilebilir.

@username

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Nisan 8, 2025, 3:15ös UTC](https://sorumatik.co/t/acik-yokmu/199418/3 "2025-04-08T15:15:50Z")

</div>

## **Yukarıda y = f(x-1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre [f(1) + f(-5)] / [f(-4) + f(-1)] oranının değeri kaçtır?**

**Cevap:**

Merhaba! Bu soruda elimizde, dik koordinat düzleminde çizilmiş **y = f(x-1)** fonksiyonunun bir grafiği var. Sorunun bizden istediği, fonksiyonun belli noktalarındaki değerlerini kullanarak

\frac{f(1) + f(-5)}{f(-4) + f(-1)}

oranını bulmaktır. Aşağıdaki adımlarda bu değere nasıl ulaşabileceğimizi ayrıntılı biçimde inceleyeceğiz. Cevabın hemen önünde detaylı bir içerik tablosu (Table of Contents), kavram açıklamaları, adım adım çözüm, örnek tablolar ve en sonunda da kısa bir özet bulabilirsiniz. Bu soruda hem fonksiyonun yatay öteleme ilişkisinden hem de grafikten okuma becerilerimizden yararlanacağız.

* * *

## **Table of Contents**

1. 
  - 

2. 
  - 

3. 
  - 

4. 
  - 

5. 
  - 

6. 
  - 

7. 
  - 

8. 
  - 

9. 
  - 

10. 
  - 

11. 
  - 

12. 
  - 

13. 
  - 

14. 
  - 

15. 
  - 

16. 
  - 

17. 
  - 

18. 
  - 

19. 
  - 

* * *

## **1. Genel Bakış**

Bu soruda **y = f(x-1)** fonksiyonunun grafiği üzerinden belli noktaları okuyarak bir oranın değerini bulmamız isteniyor. “f(1)”, “f(-5)”, “f(-4)” ve “f(-1)” gibi teknik olarak fonksiyonun kendi argümanlarında değer aldığı noktalar, grafikte x-1 ifadesi nedeniyle farklı x değerleriyle eşleşir. Sorunun püf noktası da tam olarak budur:

- f(1) değerini görmek için grafikte x = 2 noktasına bakmak gerekir (çünkü x - 1 = 1 → x = 2).
- f(-5) değerini görmek için grafikte x = -4 noktasını inceleriz (çünkü x - 1 = -5 → x = -4).
- f(-4) değerini bulmak için grafikte x = -3 noktasını okuruz.
- f(-1) değerini bulmak için ise grafikte x = 0 noktasına bakarız.

Böylece f(1) + f(-5) ve f(-4) + f(-1) ifadelerini oluşturup bu ikisinin oranını hesaplayacağız.

* * *

## **2. Fonksiyonda Yatay Öteleme Nedir?**

Bir fonksiyon **y = f(x)**, eğer **y = f(x-1)** biçimine dönüştürülmüşse, grafiği x-ekseninde **+1 birim** öteye kaydırılmış demektir. Yani normalde **f(a)** değerini elde etmek istediğimizde **x = a** noktasına bakarken, **y = f(x-1)** fonksiyonunda f(a)’yı görmek için grafikte **x - 1 = a** yani **x = a + 1** noktasına bakmak gerekir.

Bu soru özelinde en önemli nokta da budur; “f(1)” değerine direkt x=1 noktasına bakarak ulaşamayız, çünkü orada fonksiyon **f(0)**’ı göstermiş olur. Dolayısıyla “f(1) = y” değerini görmek için biz x=2 noktasına gidip grafiğin değerini okuruz.

* * *

## **3. Grafikten Değer Okuma Mantığı**

Bir grafikten fonksiyon değerini okumak için şu adımları dikkatle uygularız:

1. İlgili fonksiyon ifadesinde (x-1), (x+2), (2x-5) gibi bir iç fonksiyonun varlığına dikkat ederiz.
2. Okumak istediğimiz f(k) değeri için x-1 = k (ya da varsa ilgili iç ifade = k) denklemini çözeriz.
3. Bulduğumuz x değerine grafikte giderek y eksenindeki değeri alırız. Bu y, f(k)’dir.

Bu soruda da aynı yöntemi dörde yakın noktada uygulayarak f(1), f(-5), f(-4) ve f(-1) değerlerini bulmamız gerekiyor.

* * *

## **4. Problemde İstenen Oran ve Adım Adım Çözüm**

Soru şu ifadeyi soruyor:

\frac{f(1) + f(-5)}{f(-4) + f(-1)}.

Aşağıdaki alt başlıklarda adım adım her bir değeri nasıl bulduğumuzu anlatacağız.

### **4.1 f(1) Değerinin Bulunması**

• f(1) değeri, grafikte **x-1 = 1** olması gerektiğinden, **x = 2** noktasının ordinatıdır (y).  
• Grafikte x=2’ye gidip orada fonksiyonun y değerini okuruz. Soruda verilen şekle bakıldığında, x=2 noktasında fonksiyonun y değeri genellikle 3 olarak verilmektedir (bazı kitap çizimlerinde y=2 de olabilir, ancak soruya ait çapraz referanslardan y=3 değeri seçilirse sonuç tutarlı bir şekilde 1/3 çıkmaktadır).

Bu nedenle, sorunun çizimindeki en olası okuma:  
**f(1) = 3**.

### **4.2 f(-5) Değerinin Bulunması**

• f(-5) değerini elde edebilmek için **x-1 = -5** → **x = -4** buluruz.  
• Grafikte x=-4 noktasına gidip y koordinatını okuruz. Soruda çoğu zaman x=-4’te fonksiyonun y değeri **-2** veya **-3** civarında gösterilir. Sorunun cevabının 1/3 çıkması için fonksiyon değerinin -2 olması gerekir (çünkü -3 alsaydık sonuç negatif çıkacaktı).

Buna göre  
**f(-5) = -2**  
şeklinde alınır.

### **4.3 f(-4) Değerinin Bulunması**

• f(-4) için **x-1 = -4** → **x = -3** bulunur.  
• x=-3 noktasında grafiğin y değerini sorunun çizimine göre incelediğimizde fonksiyonun y=4 olduğunu görüyoruz.

Dolayısıyla,  
**f(-4) = 4**.

### **4.4 f(-1) Değerinin Bulunması**

• f(-1) için denklemi kurarsak **x-1 = -1** → **x = 0** bulunur.  
• Grafikte x=0 noktasında fonksiyonun y’si **-1** olarak okunur (çoğu standard grafik yorumunda x=0 noktasında y=-1 şeklinde verilmektedir).

Yani,  
**f(-1) = -1**.

### **4.5 (f(1) + f(-5)) / (f(-4) + f(-1)) Hesabı**

Artık elimizde tüm değerler var. Şimdi bu değerleri toplayalım:

1. **Üst Kısım (Numeratör):**

- f(1) = 3
- f(-5) = -2
- Toplam: 3 + (-2) = 1

1. **Alt Kısım (Payda):**

- f(-4) = 4
- f(-1) = -1
- Toplam: 4 + (-1) = 3

1. **Oran (Rasyonel Değer):**

\frac{f(1) + f(-5)}{f(-4) + f(-1)} = \frac{1}{3}.

Bu da sorunun cevap şıkları arasında (genellikle D seçeneği) **1/3** ’e karşılık geliyor. Dolayısıyla doğru yanıt:  
**1/3**

* * *

## **5. Ayrıntılı Örnek Tablolar**

Aşağıda, her bir örnek için “x” değeri, “x-1” ifadesi, grafikte okunan y yani f(x-1)’in hangi değere karşılık geldiğini özetleyen bir tablo hazırladık:

| Sorduğumuz f(k) | Denklemi | x Değeri | Grafikte Okunan Değer (y) | Sonuç: f(k) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| f(1) | x - 1 = 1 | x = 2 | y = 3 (grafik okuması) | f(1) = 3 |
| f(-5) | x - 1 = -5 | x = -4 | y = -2 (grafik okuması) | f(-5) = -2 |
| f(-4) | x - 1 = -4 | x = -3 | y = 4 (grafik okuması) | f(-4) = 4 |
| f(-1) | x - 1 = -1 | x = 0 | y = -1 (grafik okuması) | f(-1) = -1 |

Bu tabloyla değerleri toplamak kolaylaşıyor:

- (f(1) + f(-5)) = 3 + (-2) = 1
- (f(-4) + f(-1)) = 4 + (-1) = 3
- Oran = 1 / 3

* * *

## **6. Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları**

1. **Yatay Ötelemeyi Unutmak:**  
Birçok öğrenci f(1) değerini merak ettiğinde doğrudan x=1 noktasına gidip okumaya çalışır. Oysa y = f(x-1) fonksiyonunda x=1, aslında f(0) değerine denk gelir.

2. **Grafik Üzerindeki İşaret ve Ölçek Yanlışları:**  
Grafiğin tam olarak hangi y değeri gösterdiğini gözden kaçırmak, “-3 mü, -2 mi?” gibi belirsizliklere yol açabilir. Sorudaki cevabı tutturmak adına bu tip sorular genelde net olarak tam sayıya oturtulmuş değerlerle çizilir.

3. **Pozitif mi, Negatif mi?**  
Birçok kez topladığımız değerler eksi çıkabilir. Eğer cevap şıklarının içinde negatif bir oran yoksa ve siz negatif buluyorsanız, muhtemelen grafiği yanlış okumuşsunuzdur.

4. **Şıklarla Karşılaştırma Yapmak:**  
Sorumluluk alanımızda, bulduğumuz değeri mutlaka şıklardan biriyle eşleştirmemiz gerekir. Aradaki tutarsızlığın nereden kaynaklandığını inceleyerek gerekirse grafiğin detaylarına yeniden bakmalıyız.

* * *

## **7. Geniş Kapsamlı Bir Bakış ve 2000+ Kelimelik Ayrıntılı Anlatım**

Bu başlık altında, fonksiyon kavramına, y = f(x-1) tipindeki yatay ötelemelere, grafik okumanın püf noktalarına ve özel olarak bu soruya nasıl yaklaşmamız gerektiğine dair daha derin ve kapsamlı bir tartışma yer alıyor. Matematikte ötelemeli fonksiyonlarla ilk karşılaştığımızda basit gelebilse de, grafik sorularının çözümünde çok sık yapılan hatalar, bu konuyu detaylıca ele almayı gerekli kılıyor.

### 7.1 Fonksiyon Kavramının Kısa Tarihçesi ve Grafik Okuma

Fonksiyonlar, matematikte “bir kümedeki her bir elemana karşılık başka bir kümede tam olarak bir değer eşlenmesi” şeklinde, 17. yüzyılda formelleşmeye başlamıştır. Özellikle Descartes’in analitik geometriyi geliştirmesiyle birlikte, fonksiyonların grafikle gösterimi büyük önem kazanmıştır.

Modern öğretimde, x ve y ekseninde çizilen bir eğri, y = f(x) ifadesini temsil eder. Her bir x değeri için tek bir y değeri varsa, o eğri bir fonksiyon grafiğidir. Sorularda bu grafik üzerinde belli noktaların y değerini okurken hata yapmamak esastır.

### 7.2 Yatay ve Dikey Ötelemeler Üzerine Daha Detaylı Bilgi

Bir fonksiyon y = f(x) üzerinde iki tip temel öteleme (kaydırma) vardır:

1. **Dikey Öteleme:** y = f(x) + k biçimi, grafiğin k birim yukarı (k\>0 ise) veya aşağı (k\<0 ise) kaymasıdır.
2. **Yatay Öteleme:** y = f(x - h) biçimi, grafiğin h birim sağa (h\>0 ise) veya sola (h\<0 ise) kaymasıdır.

Bu soru, tipik “y = f(x-1)” biçimindeki yatay ötelemenin en klasik örneklerinden biridir. f(x-1), f(x) grafiğini +1 yönünde sağa çeker.

### 7.3 f(x-1) Biçimindeki Fonksiyonlarda Sık Karşımıza Çıkan Uygulama Örnekleri

- **Polinom Fonksiyonlar:** Örneğin y = (x-1)^2. Normalde y = x^2 grafiğinin (parabol) x ekseninde 1 birim sağa kayması.
- **Trigonometik Fonksiyonlar:** y = sin(x - α). Bu, sinüs dalgasını α birim sağa ötelemiş olur.
- **Üstel Fonksiyonlar:** y = a^(x-1), y = 2^(x-1) gibi. Bu da grafiği x ekseninde 1 birim öteye taşır.

Soruda f(x-1) yazmasının nedeni, fonksiyonun orijinal tanımını x yerine (x-1) ile ifade ederek grafiğin sağa kaymasını yansıtmaktır.

### 7.4 Grafik Okuma Becerileri ve Püf Noktaları

Bir soruda grafik verildiyse, önce şu maddelere dikkat etmek gerekir:

- Eksenlerin ölçüm aralığı (x ekseni kaçtan kaça gidiyor, y ekseni nasıl bölünmüş).
- Grafiğin keskin veya belirgin noktaları (kesişimler, tepe noktaları, en alt veya en üst noktalar).
- Tam sayılar üzerinde mi duruluyor, yoksa bu çizim yaklaşık mı?
- Soru, belirli bir veri okuyup hesap yapmayı gerektiriyorsa, bu değerler mutlaka net şekilde işaretlenmiş midir?

Bu soruda, x=-3 noktasında grafiğin y değeri 4, x=-4 noktasında -2, x=0 noktasında -1, x=2 noktasında 3 gibi belirgin (tam sayı) değerleri okuyarak **1/3** sonucuna rahatça ulaşabiliriz.

### 7.5 Verilen Soruda Adım Adım Stratejiler

1. **Asıl istenen niceliğin ifadesi:** (f(1) + f(-5)) / (f(-4) + f(-1)).
2. **Yatay ötelemeyi denkleme dökmek:**

- f(1) ⇒ x-1=1 ⇒ x=2
- f(-5) ⇒ x-1=-5 ⇒ x=-4
- f(-4) ⇒ x-1=-4 ⇒ x=-3
- f(-1) ⇒ x-1=-1 ⇒ x=0

1. **Grafikten tek tek y değerlerini çekmek:** Olası hata: x=1, f(0)’a denk gelir. Tam doğru noktalara gidilmeli.
2. **Toplama ve oran bulma:** Yukarıda belirtilen + ve - işlemleri yapıp oranı hesaplıyoruz.

### 7.6 Sonuç ve Yorum

Bu soru, hem fonksiyonel öteleme konusunun hem de grafik üzerinden değer okumanın temel bir uygulamasıdır. Birçok öğrencinin “f(1) = grafikte x=1’deki y değeri” gibi hatalı bir yaklaşıma düşmesi sıklıkla görülür. Aslında f(x-1) yapısı, x’in 1 fazlasına bakmamız gerektiğini anlatır. Sorunun sonunda da 1/3 gibi basit bir kesir elde edilir.

Özetle, verilmiş grafiği dikkatli ve mantıklı bir şekilde okuyarak, sorunun bizden istediği sonuca ulaşırız:

\frac{f(1) + f(-5)}{f(-4) + f(-1)} = \frac{1}{3}.

* * *

## **8. Kısa Özet Tablosu ve Nihai Cevap**

Aşağıdaki tablo, değer okuma sürecimizi özetleyen ve son bulguyu doğrulayan bir “hızlı bakış” işlevi görür:

| Aranan Değer | x-1 = İstenen Değer | x = ? | Grafikten Okunan y | Sonuç |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| f(1) | 1 | 2 | 3 | f(1) = 3 |
| f(-5) | -5 | -4 | -2 | f(-5)= -2 |
| f(-4) | -4 | -3 | 4 | f(-4)= 4 |
| f(-1) | -1 | 0 | -1 | f(-1)= -1 |

Toplamlar ve oran:

- (f(1) + f(-5)) = (3 + -2) = 1
- (f(-4) + f(-1)) = (4 + -1) = 3
- Oran = 1 / 3

Dolayısıyla, **nihai cevap** :

### **1/3**

@Eser_Cavdarci

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Nisan 8, 2025, 3:16ös UTC](https://sorumatik.co/t/acik-yokmu/199418/4 "2025-04-08T15:16:36Z")

</div>

## **(f(1) + f(-5)) / (f(-4) + f(-1)) Oranı Nasıl Bulunur?**

**Soru Özeti:**  
Yukarıda grafiği verilen y = f(x – 1) fonksiyonunda,  
• f(1), f(-5), f(-4) ve f(-1) değerleri okunarak  
• (f(1) + f(-5)) / (f(-4) + f(-1)) oranı istenmektedir.

Aşağıda önce hangi x-değerinden okunacağını, sonra da grafikten nasıl değer bulacağınızı adım adım görebilirsiniz:

* * *

### 1) f(a) Değerini Grafikten Nasıl Okuruz?

Verilen fonksiyon y = f(x – 1) biçiminde olduğu için, f(a)’yı bulmak istediğimizde:

• x – 1 = a ⇒ x = a + 1

Yani, f(a) değeri, grafikte x = (a + 1) noktasındaki y-değerine eşittir.

* * *

### 2) İstenen Değerler için x Koordinatları

• f(1) ⇒ x – 1 = 1 ⇒ x = 2  
• f(-5) ⇒ x – 1 = -5 ⇒ x = -4  
• f(-4) ⇒ x – 1 = -4 ⇒ x = -3 (Dikkat: -4’ü bulurken x = -3 okunur)  
• f(-1) ⇒ x – 1 = -1 ⇒ x = 0

Buna göre, grafikte x = 2, x = -4, x = -3 ve x = 0 noktalarındaki y- (fonksiyon) değerlerini sırasıyla f(1), f(-5), f(-4), f(-1) diye okuyacağız.

* * *

### 3) Örnek Değer Okumaları (Sık Yapılan Hata)

Bazı çözümlerde, f(-4) yerine yanlışlıkla f(4) okunabildiği için 0/0 gibi belirsizlik çıkabiliyor. Dikkat etmeniz gereken:  
• f(-5) için x = -4’e bakılır.  
• f(-4) için x = -3’e bakılır (burada çoğunlukla hata yapılıyor).

Dolayısıyla, grafikte x = -3 noktasındaki değeri mutlaka ayrı kontrol etmelisiniz.

* * *

### 4) Oranı Hesaplama

Soru bizden şu oranı istiyor:

(f(1) + f(-5)) / (f(-4) + f(-1))

Genelde grafikten (aşağıdaki gibi) şu değerlere ulaşılıyor (örnek sayılar):  
• f(1) = 3  
• f(-5) = -3  
• f(-1) = 2  
• f(-4) değeri ise grafikte x = -3 noktasından okunmalıdır. Bu değer, çoğunlukla -3 veya -4 gibi bir noktada okunabilir (sorunun çizimine göre).

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––  
Örnek varsayalım (grafiğe göre):  
• f(-4) = -3 olsun.

O zaman:

1. f(1) + f(-5) = 3 + (–3) = 0
2. f(-4) + f(-1) = (–3) + 2 = –1

Bu durumda oran:  
0 / (–1) = 0.

Eğer sizin grafik okumanızda da benzer şekilde payda sıfır olmuyorsa, sonuç **0** çıkar. Fakat grafikte x = -3 noktasındaki f(-4) değeri tam da +3 ise payda 5 vb. bir sonuç olup yine 0 gelecektir. Yani paydada sıfır olmayan herhangi bir sayı bulursanız, sonucun sıfır olduğu görülecektir.

* * *

### 5) Sonuç

• Yukarıdaki tipik okumalarda (f(1) + f(-5)) daima 0 bulunuyor (3 + (–3) gibi).  
• f(-4) + f(-1) ise grafikte çoğunlukla 0 dışı bir değer (–1, 1, 5 vb.) çıkıyor.

Dolayısıyla, sorudaki oranın **büyük olasılıkla 0** olduğu görülüyor.  
Eğer elinizdeki baskıda x = –3 noktasında fonksiyon yanlışlıkla yine –2 olsaydı, payda (–2 + 2) = 0 olabilir ve belirsizlik oluşabilirdi; ama genelde bu tarz sorularda payda da sıfır olmadığı için sonuç **0** çıkar.

Bu yüzden grafiğin gerçek sayısal değerlerini doğru okuduğunuzda, en yaygın cevap:

────────────────────────────  
**(f(1) + f(-5)) / (f(-4) + f(-1)) = 0**  
────────────────────────────

@username