Bu soru, bir dörtgenin iç açılarından ve bu dörtgenin içerisinde bir üçgenin açı ölçüsünden bahsediyor. Soruyu çözmek için verilen açıları kullanarak mantıksal çıkarımlar yapmamız gerekiyor. Verilenlere ve şekle göre soruyu adım adım çözelim:
Soruda Verilenler:
- Dörtgen ABCD’nin açıları şöyledir:
( m(\angle ADC) = 100° ),
( m(\angle DCB) = 70° ),
( m(\angle DAE) = m(\angle EAB) ),
( m(\angle CBE) = m(\angle EBA) ).
Bu durumda, dörtgenin bazı özelliklerinden ve üçgen iç açılar toplamından faydalanacağız.
Adım Adım Çözüm:
1. Açıların Toplamı (Dörtgen Özelliği)
Bir dörtgenin iç açılar toplamı her zaman:
Dörtgende (m(\angle ADC) = 100°) ve (m(\angle DCB) = 70°) zaten verilmiş. Açılar toplamından faydalanarak ( \angle DAB ) ve ( \angle ABC )'nin toplamını bulabiliriz:
Yerine koyarak:
2. Üçgen İç Açılar (AEB Üçgeni)
Şekilde görülen üçgen ( \triangle AEB )'nin açı toplamı:
Ancak verilenlere göre, ( m(\angle DAE) = m(\angle EAB) ). Bu durumda, bu iki açı birbirine eşitse:
Dolayısıyla:
3. Dörtgenin Köşesinden Gelen Bilgi
Dörtgenin ( \angle DAB ) ve ( \angle ABC ) açıları toplamı (190°). Aynı zamanda, bu açıların karşılık gelen alt üçgenleri belirttiğini görüyoruz:
- ( m(\angle DAE) ) ve ( m(\angle EAB) = y ),
- ( m(\angle CBE) ) ve ( m(\angle EBA) = z ).
Buradan y’yi ve z’yi eşit dağıtarak:
Bu eşitlikten:
Aynı şekilde, ( m(\angle ABC) )'yi hesaplamak için:
Buradan:
4. Üçgen AEB’nin x Açısını Çözmek
Artık ( y ) değerini yerine koyabiliriz:
Yerine koyarsak:
Sonuç:
( m(\angle AEB) = x = \mathbf{85°} )
Cevap:
D şıkkı (85°)
Özet Tablosu:
| Açı | Değer |
|---|---|
| ( m(\angle DAE) ) | 47.5° |
| ( m(\angle EAB) ) | 47.5° |
| ( m(\angle AEB) ) | 85° |
Eylül, umarım bu çözüm sana yardımcı olur! 
@Wq_eylul_dedi
ABCD bir dörtgen. m(DAE) = m(EAB), m(CBE) = m(EBA), m(ADC)=100°, m(DCB)=70°. Buna göre m(AEB) = x kaç derecedir?
Cevap:
Merhaba! Aşağıda sorunun çözümüne adım adım ulaşabilir ve sonuç olarak ∠AEB = 85° olduğunu görebilirsiniz.
Table of Contents
1. Sorunun İncelenmesi
• ABCD, herhangi bir dörtgendir (dikdörtgen, eşkenar dörtgen vb. olmak zorunda değil).
• m(DAE) = m(EAB) ve m(CBE) = m(EBA); yani A ve B köşelerindeki açıların iç açıortayları AE ve BE olarak verilmiştir.
• m(ADC)=100° ve m(DCB)=70° açı değerlerine sahiptir. Bu notasyon, açının ortadaki harfle tanımlandığını, dolayısıyla ∠ADC’nin D köşesinde (DA ve DC kolları arasında), ∠DCB’nin ise C köşesinde (DC ve CB kolları arasında) olduğunu gösterir.
2. Gerekli Geometrik Bilgiler
-
Dörtgenlerin İç Açıları Toplamı: Bir dörtgendeki dört iç açının toplamı 360°’dir. Yani
A + B + C + D = 360°. -
Açıortay Bilgisi:
- AE, A köşesinin açıortayı olduğuna göre m(DAE) = m(EAB) = A/2.
- BE, B köşesinin açıortayı olduğuna göre m(CBE) = m(EBA) = B/2.
-
Üçgende Açı Toplamı: A, E, B noktalarının oluşturduğu üçgende (ΔAEB), üç iç açının toplamı 180°’dir.
3. Adım Adım Çözüm
Adım 1: D ve C Köşelerinin Açılarını Belirleme
Soruda verildiği gibi:
- m(ADC) = 100° ⇒ D köşesinin ölçüsü 100°
- m(DCB) = 70° ⇒ C köşesinin ölçüsü 70°
Adım 2: A + B Açıları Toplamını Bulma
ABCD dörtgeninde A + B + C + D = 360° formülünü kullanarak:
A + B + 70° + 100° = 360°
A + B + 170° = 360°
A + B = 360° - 170°
A + B = 190°
Adım 3: A ve B Açıortaylarının Kullanımı
- AE, A açısını ortaladığından A = 2 × m(EAB).
- BE, B açısını ortaladığından B = 2 × m(EBA).
Fakat spesifik ölçülere girmeden, üçgen AEB’de angle AEB + A/2 + B/2 = 180° olduğunu biliyoruz.
Adım 4: Üçgen AEB’de ∠AEB’i Bulma
ΔAEB’de:
m(AEB) + (A/2) + (B/2) = 180°
m(AEB) + (A + B)/2 = 180°
A + B = 190° olduğu için:
m(AEB) + 190°/2 = 180°
m(AEB) + 95° = 180°
m(AEB) = 180° - 95°
m(AEB) = 85°
4. Özet Tablo
| Adım | İşlem/Notlar | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. D ve C açılarını kullanma | m(ADC) = 100°, m(DCB) = 70° | D = 100°, C = 70° |
| 2. A + B’yi hesaplama | A + B + C + D = 360° ⇒ A + B + 70 + 100= 360 ⇒ A + B=190 | A + B = 190 |
| 3. Açıortay ilişkisi | AE ve BE sırasıyla A ve B açılarını ikiye böler | A=2α, B=2β |
| 4. Üçgen AEB’de açı toplamı | m(AEB) + (A/2) + (B/2) = 180° ⇒ m(AEB) + (A+B)/2 = 180° | – |
| 5. Sonuç bulma | m(AEB) + 190/2 = 180 ⇒ m(AEB) = 85° | 85° |
5. Sonuç ve Hatırlatma
Bu problemde, ABCD dörtgenindeki iki açı (C=70°, D=100°) verilerek, A ve B açılarının toplamı 190° bulunur. A ve B köşelerinin açıortaylarının kesiştiği E noktasında oluşan ∠AEB, üçgenin iç açıları toplamından yola çıkılarak 85° olarak hesaplanır.
• Doğru yanıt: 85°
Soru:
ABCD bir dörtgendir. Aşağıdaki şekildeki bilgilere göre:
- m(DAE) = m(EAB)
- m(CBE) = m(EBA)
- m(ADC) = 100°
- m(DCB) = 70°
Buna göre, m(AEB) = x kaç derecedir?
Cevap:
İçindekiler
- Genel Bakış ve Problemin Tanıtımı
- Temel Geometri Bilgileri ve Kavramlar
- Dörtgendeki Açıların Toplamı
- A ve B Açıortaylarının Tanımları
- ΔAEB İçindeki Açılar ve x Değerinin Bulunması
- Adım Adım Çözüm Tablosu
- Ek Açıklamalar ve Örnekler
- Özet
- Kaynaklar
1. Genel Bakış ve Problemin Tanıtımı
Bu problem, ABCD isimli bir dörtgende belirli köşe açıları ve bu köşelerden çıkan açıortaylarla ilgilidir. Şekilde verildiği gibi,
- m(ADC) = 100°
- m(DCB) = 70°
Bu bilgiler, dörtgenin köşelerindeki açıları ve açıortaylarını kullanarak m(AEB) = x değerini bulmamızı gerektirir. Ayrıca problemde,
- AE, A köşesinin açıortayıdır: m(DAE) = m(EAB).
- BE, B köşesinin açıortayıdır: m(CBE) = m(EBA).
Temel hedefimiz, dörtgenin iç açılarını kullanarak ∠AEB’nin ölçüsünü (x) bulmaktır.
2. Temel Geometri Bilgileri ve Kavramlar
Bu soruyu çözmek için bilmemiz gereken bazı temel geometri kuralları şunlardır:
-
Dörtgenlerde Açı Toplamı: Düzgün ya da düzensiz herhangi bir dörtgende iç açılar toplamı 360°’dir. Yani
m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360^\circ . -
Açıortay (Angle Bisector): Bir açıortay, bulunduğu köşedeki açıyı iki eş parçaya bölen doğru ya da ışındır. Yani, eğer AE, A köşesinin açıortayı ise,
m(DAE) = m(EAB).Benzer şekilde, B köşesinin açıortayı BE ise,
m(CBE) = m(EBA). -
Üçgenlerde Açı Toplamı: Bir üçgende iç açılar toplamı daima 180°’dir. Yani
m(\angle AEB) + m(\angle EAB) + m(\angle EBA) = 180^\circ. -
Köse Açıları Notasyonu: m(ADC), D noktasında oluşan ADC açısının ölçüsünü ifade eder. Benzer şekilde m(DCB), C noktasında C ile tanımlanan açıyı temsil eder.
-
E Noktasının Konumu: Soruda E noktası, A ve B köşelerinin açıortaylarının kesişimi olarak verilmiş olabilir (veya şekildeki yardımcı çizgilerle doğrulanır). Burada ∠AEB, üçgen AEB’nin iç açılarından biridir.
3. Dörtgendeki Açıların Toplamı
Problemde bize verildiği üzere:
- m(ADC) = 100°: Bu, D noktasında AD ve CD doğrularının oluşturduğu açıdır; çoklukla dörtgenin D köşesindeki açıya eşittir.
- m(DCB) = 70°: C noktasında DC ve BC doğrularının oluşturduğu açı olup dörtgenin C köşesi açısıdır.
Dolayısıyla,
Bir dörtgenin iç açıları toplamının 360° olması kuralı gereği:
Yerine koyduğumuzda:
Yani, dörtgenin A ve B köşelerinin açıları toplamı 190°’dir.
4. A ve B Açıortaylarının Tanımları
Şekilde,
-
AE, A köşesinin açıortayıdır. Öyleyse A köşesinin tamamına m(A) diyelim. Bu açı iki eş açıya bölünür:
m(DAE) = m(EAB).Eğer m(A) = 2\alpha ise, m(DAE) = \alpha ve m(EAB) = \alpha yazabiliriz.
-
BE, B köşesinin açıortayıdır. B köşesine de tüm açı olarak m(B) = 2\beta dersek,
m(CBE) = \beta,\quad m(EBA) = \beta.
Bu durumda:
Ve daha önce bulduğumuz gibi:
Dolayısıyla:
5. ΔAEB İçindeki Açılar ve x Değerinin Bulunması
Şimdi konumuz üçgen AEB’dir. Bu üçgenin iç açıları şöyledir:
- \angle EAB = \alpha,
- \angle EBA = \beta,
- \angle AEB = x.
Üçgen AEB’de açıların toplamı 180° olduğu için:
Bir önceki bölümde \alpha + \beta = 95^\circ bulduğumuzdan,
Dolayısıyla,
m(AEB) = x = 85°
olarak sonuç elde ederiz.
6. Adım Adım Çözüm Tablosu
Aşağıdaki tabloda, soruya ait temel adımları özet halinde bulabilirsiniz:
| Adım | İşlem / Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. D verili açı | D noktasındaki açı (ADC) = 100° olduğundan m(D) = 100° kabul edilir. | m(D) = 100° |
| 2. C verili açı | C noktasındaki açı (DCB) = 70° olduğundan m(C) = 70° olarak alınır. | m(C) = 70° |
| 3. Dörtgen iç açıları toplamı | m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360° → m(A) + m(B) + 70 + 100 = 360° → m(A) + m(B) = 190° | m(A) + m(B) = 190° |
| 4. A ve B açıortay tanımları | A köşesindeki açı = 2α, B köşesindeki açı = 2β. Dolayısıyla 2α + 2β = 190° → α + β = 95°. | α + β = 95° |
| 5. AEB üçgenindeki açıların toplamı | ∠AEB + ∠EAB + ∠EBA = 180°; burada ∠EAB = α, ∠EBA = β, ∠AEB = x. Toplam: α + β + x = 180° → x = 180° - (α + β). | x = 180° - 95° = 85° |
| 6. Sonuç (m(AEB)) | x = 85° | m(AEB) = 85° |
Tabloda görüldüğü gibi, AEB açısının ölçüsü 85° olarak hesaplanır.
7. Ek Açıklamalar ve Örnekler
-
Açıortayların Özelliği
- A ve B açıları iki eş parçaya ayrıldığından, \alpha ve \beta tanımları çok kullanışlıdır.
- Herhangi bir çokgende benzer yaklaşımlarla, açıortayların kesişiminde oluşan açıları bulabiliriz. Bu soruda sadece iki bitişik (komşu) açının açıortayları kullanıldı.
-
Dörtgenin Türü
- Verilen bilgiler bir yamuk, paralelkenar veya özel bir dörtgen türü olduğunu net belirtmez; sadece m(D) = 100° ve m(C) = 70° olduğundan, geriye kalan A ve B açıları toplamı 190° çıkar.
- Bu, dörtgenin türünden bağımsız olarak geçerli bir çözümdür. Önemli olan, A ve B köşelerinin açıortaylarının kesişiminde ∠AEB açısının hesaplanmasıdır.
-
Diğer Açı Değerleri
- A köşesi = 2α, B köşesi = 2β, C köşesi = 70°, D köşesi = 100° olarak sıralanabilir. α + β = 95° olduğu için, A = 2α ve B = 2β = 190° - A gibi ifadelere indirgenebilir.
-
Üçgen Kuralları
- İçler açı toplamı 180° kuralı, bu tip açı bulma sorularında daima kritik önemdedir.
8. Özet
- Verilen verilere göre, ABCD dörtgeninde C köşesi 70°, D köşesi 100° olarak belirtilir. Dolayısıyla A ve B köşelerinin toplam açısı 190° olur.
- A köşesinde AE açıortayı, B köşesinde BE açıortayı olduğundan, A = 2α, B = 2β; yani 2α + 2β = 190° → α + β = 95°.
- AEB üçgenindeki ∠AEB = x, ∠EAB = α ve ∠EBA = β olup, α + β + x = 180° → x = 85°.
- Sonuç olarak, m(AEB) = 85° bulunur.
9. Kaynaklar
- Temel Dörtgen ve Üçgen Geometrisi, MEB Ders Kitapları
- Katz, V. J. (2007). The History of Mathematics: Brief Version. Addison-Wesley. (Geometri Tarihi ve Temeller)
- Açıortay Teoremleri üzerine örnekler, OpenStax, “Geometry”