# A= x x= Vn, ne N Kümesi veriliyor

**URL:** <https://sorumatik.co/t/a-x-x-vn-ne-n-kumesi-veriliyor/691169>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Eylül 9, 2026, 2:39ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-x-x-vn-ne-n-kumesi-veriliyor/691169 "2026-09-09T14:39:57Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Melisa15](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/melisa15/32/59801_2.png) [@Melisa15](https://sorumatik.co/u/Melisa15)\
**Post date:** [Eylül 9, 2026, 2:39ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-x-x-vn-ne-n-kumesi-veriliyor/691169/1 "2026-09-09T14:39:57Z")

</div>

A

= {x x= Vn, ne N}

Kümesi veriliyor.  
Bu küme ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle  
doğrudur?  
A) A künmesi toplama işlemine göre kapalıdır.  
B) A kümesinden alinan herhangi iki farkli elemanin  
çarpimıIher zaman bir rasyonel saydır.  
C) x, y E Avex \<y ise x ile yarasında A kümesine ait  
olmayan en az bir gerçek sayı vardır.  
D) A kümesi bölme işlemine göre kapalidır.  
E)A kümesinin her elemanı ayni zamanda irasyonel  
sayılar kümesinin bir elemanıdır.  
D)

 ![A = x x= Vn, ne N Kümesi veriliyor.](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/8/c/8cc6b13827de6e30e8678007c7403481136697a7.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Eylül 9, 2026, 2:40ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-x-x-vn-ne-n-kumesi-veriliyor/691169/2 "2026-09-09T14:40:08Z")

</div>

## A = \{x \mid x = \sqrt{n}, \; n \in \mathbb{N}\} Kümesi ve Özellikleri

Verilen küme A = \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \dots\} şeklinde doğal sayıların kareköklerinden oluşan sonsuz elemanlı ve sayılabilir bir kümedir.

🧠 **ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — A Seçeneğini İnceleyelim (Toplama İşlemine Göre Kapalılık)**  
Bir kümenin toplama işlemine göre kapalı olması için kümeden alınan herhangi iki elemanın toplamının da yine bu kümede olması gerekir.

- 1 \in A ve \sqrt{2} \in A elemanlarını seçelim.
- Toplamları 1 + \sqrt{2} olur.
- Bir sayının A kümesine ait olması için karesinin bir doğal sayı olması gerekir: (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} \notin \mathbb{N}.
- Dolayısıyla 1 + \sqrt{2} \notin A olduğundan A kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir. _(A seçeneği yanlıştır.)_

**Adım 2 — B Seçeneğini İnceleyelim (Çarpımın Her Zaman Rasyonel Olması)**

- \sqrt{2} \in A ve \sqrt{3} \in A iki farklı elemandır.
- Çarpımları: \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} olur.
- \sqrt{6} sayısı bir irrasyonel sayıdır (rasyonel değildir). _(B seçeneği yanlıştır.)_

**Adım 3 — C Seçeneğini İnceleyelim (Elemanlar Arasında A Kümesine Ait Olmayan Gerçek Sayı Varlığı)**

- x, y \in A ve x \< y olduğunda, (x, y) açık aralığında sayılamaz sonsuzlukta gerçek sayı (\mathbb{R}) bulunur.
- A kümesi sayılabilir bir kümedir ve ardışık iki elemanı olan \sqrt{n} ile \sqrt{n+1} arasında A kümesine ait hiçbir eleman yoktur.
- Örneğin; x = 0 = \sqrt{0} \in A ve y = 1 = \sqrt{1} \in A seçildiğinde, aralarındaki \frac{1}{2} gerçek sayısı A kümesine ait değildir (\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \notin \mathbb{N}).
- Dolayısıyla x ile y arasında A kümesine ait olmayan en az bir (hatta sonsuz sayıda) gerçek sayı kesinlikle vardır. _(C seçeneği kesinlikle doğrudur.)_

**Adım 4 — D Seçeneğini İnceleyelim (Bölme İşlemine Göre Kapalılık)**

- 1 \in A ve 2 \in A elemanlarını alalım.
- \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4}} sayısı için \frac{1}{4} \notin \mathbb{N} olduğundan \frac{1}{2} \notin A’dır. Ayrıca 0 \in A olduğundan sıfıra bölme tanımsızlık oluşturur. _(D seçeneği yanlıştır.)_

**Adım 5 — E Seçeneğini İnceleyelim (Her Elemanın İrrasyonel Olması)**

- n = 0, 1, 4, 9, \dots gibi tam kare doğal sayılar için:
\sqrt{0} = 0 \in \mathbb{Q}, \quad \sqrt{1} = 1 \in \mathbb{Q}, \quad \sqrt{4} = 2 \in \mathbb{Q}
- Bu elemanlar rasyonel sayıdır, irrasyonel değildir. _(E seçeneği yanlıştır.)_

**Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması**  
❌ **A.** 1+\sqrt{2} \notin A olduğundan toplama işlemine göre kapalı değildir.  
❌ **B.** \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} irrasyoneldir.  
✅ **C.** Reel sayılar yoğun ve sayılamaz olduğundan x \< y şartında aralarında A kümesine ait olmayan sonsuz sayıda gerçek sayı bulunur.  
❌ **D.** \frac{1}{2} \notin A olduğundan bölme işlemine göre kapalı değildir.  
❌ **E.** \sqrt{4} = 2 rasyonel bir sayıdır.

**Adım 7 — Son Doğrulama**  
Herhangi iki farklı x = \sqrt{n} ve y = \sqrt{m} (n \< m) reel sayısı arasında A kümesinde yer almayan (örneğin \frac{x+y}{2} gibi karesi tam sayı olmayan) sonsuz sayıda gerçek sayı yer alır. Bu nedenle **C** önermesi kesinlikle doğrudur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:**  **C şıkkı** (x, y \in A \text{ ve } x \< y \text{ ise } x \text{ ile } y \text{ arasında } A \text{ kümesine ait olmayan en az bir gerçek sayı vardır.})  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Kümelerde kapalılık veya sayı kümelerinin yoğunluğu ile ilgili benzer bir soru çözmemi ister misin?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Melisa15](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/melisa15/32/59801_2.png) [@Melisa15](https://sorumatik.co/u/Melisa15)\
**Post date:** [Eylül 9, 2026, 2:41ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-x-x-vn-ne-n-kumesi-veriliyor/691169/3 "2026-09-09T14:41:25Z")

</div>

@Egitim_Danismani baslangictaki gosterimin ne ifade ettigini anlamadim

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Eylül 9, 2026, 2:41ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-x-x-vn-ne-n-kumesi-veriliyor/691169/4 "2026-09-09T14:41:33Z")

</div>

## A = \{x \mid x = \sqrt{n}, \; n \in \mathbb{N}\} Gösteriminin Anlamı

**Ortak özellik yöntemi (set-builder notation)**, bir kümenin elemanlarını tek tek yazmak yerine, o elemanların sağladığı ortak kural veya matematiksel koşulu ifade eden gösterim biçimidir. Bu gösterim, kümenin hangi elemanları içerdiğini adım adım tanımlar.

**Parçaların Anlamları:**

- **A = \{ … \}:** Tanımlanan kümenin adının A olduğunu ve parantez içindeki şartları sağlayan tüm elemanları kapsadığını belirtir.
- **x \mid (veya x :):** “ **Öyle x değerleri vardır ki…** ” anlamına gelir. Çizgiden önceki x, kümenin elemanlarını temsil eden semboldür.
- **x = \sqrt{n}:** Kümedeki her elemanın, bir n sayısının kareköküne eşit olduğunu söyler.
- **n \in \mathbb{N}:** n değerlerinin yalnızca **doğal sayılar** (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}) kümesinden seçileceğini gösterir.

* * *

### İçindekiler

1. [Kümeyi Adım Adım Oluşturma](#kumeyi-olusturma)
2. [Sık Yapılan Kavram Yanılgıları](#kavram-yanilgilari)
3. [Özet Tablosu](#ozet-tablosu)

* * *

### Kümeyi Adım Adım Oluşturma

Bu tanıma göre n yerine sırasıyla doğal sayıları (0, 1, 2, 3, \dots) koyarak kümenin elemanları elde edilir:

- n = 0 \implies x = \sqrt{0} = 0
- n = 1 \implies x = \sqrt{1} = 1
- n = 2 \implies x = \sqrt{2}
- n = 3 \implies x = \sqrt{3}
- n = 4 \implies x = \sqrt{4} = 2
- n = 5 \implies x = \sqrt{5}

Bu işlem sonsuza kadar devam eder. Dolayısıyla bu küme liste yöntemiyle yazıldığında şu şekilde görünür:

A = \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, 3, \dots\}

> 💡 **Pratik İpucu:** Ortak özellik yönteminde düşey çizgi (\mid) veya iki nokta (:) sembolünü gördüğünde cümleyi içinden **“öyle ki”** veya **“şartını sağlayan”** şeklinde okuyabilirsin: _“Doğal sayı olan n’lerin karekökü biçimindeki x sayıları.”_

* * *

### Sık Yapılan Kavram Yanılgıları

⚠ **Doğal Sayı ile Küme Elemanını Karıştırmak:**

- n bir doğal sayıdır; ancak kümenin elemanı n değil, x = \sqrt{n} değeridir.
- Örneğin n = 2 \in \mathbb{N} bir doğal sayıdır; fakat kümenin elemanı olan \sqrt{2} bir irrasyonel sayıdır.

⚠ **Sadece Tam Kare Sayıları Düşünmek:**

- n tüm doğal sayıları kapsadığı için küme sadece 0, 1, 2, 3 gibi tam çıkan sayıları değil; \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} gibi kökten çıkamayan irrasyonel sayıları da içerir.

* * *

### Özet Tablosu

| Sembol / İfade | Türkçe Karşılığı | Bu Soru İçin Anlamı |
| --- | --- | --- |
| **x \mid** | Öyle x elemanları ki | Kümenin temsilci elemanı x’tir |
| **x = \sqrt{n}** | Elemanın formülü | Her eleman bir sayının kareköküdür |
| **n \in \mathbb{N}** | Değişkenin ait olduğu küme | Kök içindeki sayı bir doğal sayıdır (0, 1, 2, \dots) |
| **A Kümesi** | Sonuç kümesi | Doğal sayıların kareköklerinden oluşan kümedir |

* * *

Ortak özellik yöntemiyle yazılmış farklı bir küme gösterimini liste biçimine çevirme alıştırması yapmak ister misin?