# A = x mid x = 3k + 1, k ın tam sayı

**URL:** <https://sorumatik.co/t/a-x-mid-x-3k-1-k-in-tam-sayi/699591>\
**Category:** Question Answer\
**Created:** [Kasım 4, 2026, 5:31ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-x-mid-x-3k-1-k-in-tam-sayi/699591 "2026-11-04T17:31:37Z")\
**Posts on this page:** 2\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Teomankalpben](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/teomankalpben/32/240496_2.png) [@Teomankalpben](https://sorumatik.co/u/Teomankalpben)\
**Post date:** [Kasım 4, 2026, 5:31ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-x-mid-x-3k-1-k-in-tam-sayi/699591/1 "2026-11-04T17:31:37Z")

</div>

A = \{x mid x = 3k + 1, k ın tam sayı \}  
Yukarıda verilen A kümesinin toplama işlemine göre kapalılık özelliğinin olup olmadığını örnek sunarak gösteriniz.

 ![A = x mid x = 3k + 1, k ın tam sayı Yukarıda verilen A kümesinin toplama işlemine göre...](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/2/4/241e2f7c8b09b418ed4152690180a95042807a42.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Kasım 4, 2026, 5:31ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-x-mid-x-3k-1-k-in-tam-sayi/699591/2 "2026-11-04T17:31:48Z")

</div>

## Kümelerde Toplama İşlemine Göre Kapalılık Özelliği

💡 **KULLANILAN FORMÜL / KURAL:** Bir A kümesinin toplama işlemine göre **kapalı** olması için, kümeden seçilen her x, y \in A elemanı için (x + y) \in A şartı sağlanmalıdır. Bu şartı sağlamayan tek bir karşıt örnek kümenin kapalı olmadığını ispatlar.

* * *

### 🧠 ÇÖZÜM ADIMLARI

**Adım 1 — Kümenin Eleman Yapısını Belirleme**  
Verilen A = \{x \mid x = 3k + 1, \, k \in \mathbb{Z}\} kümesi, 3 ile bölündüğünde 1 kalanını veren tam sayılardan oluşur. Kümeden iki farklı eleman seçelim:

k = 1 \implies x\_1 = 3(1) + 1 = 4 \in A

k = 2 \implies x\_2 = 3(2) + 1 = 7 \in A

**Adım 2 — Elemanların Toplamını İnceleme ve Karşıt Örnek**  
Seçilen iki elemanın toplamı hesaplanır:

4 + 7 = 11

**Adım 3 — Sonucun Kümeye Aitliğini Kontrol Etme**  
Elde edilen 11 sayısının 3k + 1 biçiminde yazılıp yazılamayacağına bakalım:

11 = 3 \cdot 3 + 2

11 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğundan 11 \notin A bulunur.

Genel cebirsel ifadeyle de iki elemanın toplamı:

(3k\_1 + 1) + (3k\_2 + 1) = 3(k\_1 + k\_2) + 2

şeklinde olup daima 3 ile bölündüğünde 2 kalanını verir ve asla A kümesine ait olamaz.

* * *

✅ **CEVAP:**  **Toplama işlemine göre kapalı değildir.** (4 \in A ve 7 \in A iken 4 + 7 = 11 \notin A)

⚠ **SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:** Bir kümenin bir işleme göre kapalı olmadığını göstermek için aksini kanıtlayan tek bir sayısal örnek (karşıt örnek) sunmak tam puan almak için yeterlidir. Modüler aritmetik mantığıyla; (1 + 1 \equiv 2 \pmod 3) olduğu için toplam hiçbir zaman 1 kalanını veremez.