# A ve b birer gerçel sayı olmak üzere, eşitliği veriliyor **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Nisan 21, 2026, 1:29ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-ve-b-birer-gercel-sayi-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/653021 "2026-04-21T13:29:50Z")\ **Posts on this page:** 5\ **Page:** 1
**Author:** ![Derya14](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/derya14/32/59477_2.png) [@Derya14](https://sorumatik.co/u/Derya14)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 1:29ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-ve-b-birer-gercel-sayi-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/653021/1 "2026-04-21T13:29:50Z")
a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, 4a+ eşitliği veriliyor. hangisidir? A) -2 Buna göre, a - b^{2} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden = 4a-b2 B) -1 C)o D) 1 E) 2 **Soru Fotoğrafı:** ![Soru Görseli](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/b/1/b1221599bd0445889d5afa58c068bb05bcde09c0.jpeg) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 1:30ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-ve-b-birer-gercel-sayi-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/653021/2 "2026-04-21T13:30:30Z")
## a ve b birer gerçel sayı olmak üzere verilen eşitlikte a - b^2 ifadesinin değerini bulma 💡 **Kullanılan Eşitlik ve İfade:** Verilen eşitlik: 4a^2 + \frac{1}{4b^2} = 4a - b^2 Bulmak istediğimiz ifade: a - b^{2} * * * 🧠 **Çözüm Adımları:** **Adım 1 — Eşitliği düzenleyelim** Verilen eşitliği aynen yazalım: 4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}} = 4a - b^{2} İki tarafı da 4a - b^{2} cinsinden kullanalım. * * * **Adım 2 — İfadenin yapısına odaklanalım** Amaç: a - b^{2} ifadesinin değerini bulmak. Elde edilen formülde terimler karışık, bu yüzden a - b^{2} ifadesini çekmeye çalışalım. * * * **Adım 3 — 4a - b^{2} ifadesinin değerini bulmaya çalışalım** Verilen eşitlikteki sağ taraf: 4a - b^{2} Şunu deneyebiliriz: 4a - b^{2} = 4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}} Sol taraf birinci dereceden terimler içerirken, sağ taraf ikinci dereceden terimler içeriyor. * * * **Adım 4 — Değişkenleri değiştirelim** Şimdi, a ve b pozitif olsun (ya da en azından ikisi de sıfırdan farklı gerçek sayı) ve aşağıdaki ifadeleri deneyelim: (2a - \frac{1}{2b})^{2} \text{ ifadesini açalım.} Açılımı: (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot \frac{1}{2b} + \left(\frac{1}{2b}\right)^2 = 4a^{2} - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{4b^{2}} Fakat verilen eşitlikte ortadaki terim olan - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{b} yok. Bu nedenle şu anda doğrudan kullanamayız. * * * **Adım 5 — Örnek değerler deneyelim** a = 1 ve b=1 için verilen eşitliği kontrol edelim: Sol taraf: 4\cdot 1^2 + \frac{1}{4 \cdot 1^2} = 4 + \frac{1}{4} = 4.25 Sağ taraf: 4 \cdot 1 - 1^{2} = 4 - 1 = 3 Eşit değiller. Yani a=1, b=1 bu eşitliği sağlamıyor. * * * **Adım 6 — Soruda amaç, a - b^{2} ifadesini bulmak olduğuna göre, 4a - b^{2} ve 4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}} ifadesinden yola çıkarak farkları gözlemleyelim:** Verilen eşitliğin her iki tarafına da -4a ve +b^{2} ekleyelim: 4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}} -4a + b^{2} = 0 Şimdi bu ifadeyi açalım ve mümkünse çarpanlara ayırmaya çalışalım: (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^{2} + \frac{1}{4b^{2}} + b^{2} - 1 = 0 Burada bir hata olabileceği açık değil, çünkü eşitliği doğrudan çarpanlara ayıramıyoruz. * * * **Adım 7 — Bilgi eksikliği veya soru hatası olasılığı** - Soruda tam ya da net bir eşitlik verilmiyor veya fotoğraf net değil. - Ancak, mantıklı olan şudur ki a - b^{2} ifadesi mutlak bir sayı olarak verilmiş. * * * **Adım 8 — Sorudaki şıklara bakarak ve probleme genel bakış yaparak mantıklı çözüm:** Eşitlik: 4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}} = 4a - b^{2} Buradan 4a - b^{2} ifadesi, soldaki gibi pozitif bir ifade olabilir. Eğer kare tamamlama yaparsak: 4a^{2} - 4a + \frac{1}{4b^{2}} + b^{2} =0 Ama ilk iki terimi: 4a^{2} - 4a = 4(a^{2} - a) = 4(a^{2} - a + \frac{1}{4}) -1 = 4(a-\frac{1}{2})^{2} - 1 Öyleyse: 4(a-\frac{1}{2})^{2} - 1 + \frac{1}{4b^{2}} + b^{2} = 0 Bunu düzenleyelim: 4(a-\frac{1}{2})^{2} + b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} -1 = 0 Burada b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} ifadesi her zaman 1 veya daha büyük olabilir (çünkü x + \frac{1}{x} \geq 2 olur, ama burada katsayı farklı). Ama minimum değer b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} pozitif ve minimal olabilir. Şimdi buradaki eşitliği şöyle yazalım: 4(a-\frac{1}{2})^{2} + \left( b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} \right) = 1 Bu ifade sıfıra eşit olmuyorsa sonuç minimum olabilir. Buradan 4(a - \frac{1}{2})^{2} ve b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} terimleri toplamı 1 olduğuna göre, her terim sıfırdan büyük veya eşit. Mümkün olan tek durum: 4(a-\frac{1}{2})^{2} = 0 \implies a= \frac{1}{2} ve b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} =1 * * * **Adım 9 — b için denklemi çözelim** Eşitlik: b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} = 1 Her iki tarafı 4b^{2} ile çarparak denklem kur: 4b^{4} + 1 = 4b^{2} Yeniden yazalım: 4b^{4} - 4b^{2} + 1 = 0 Şimdi x = b^{2} alalım: 4x^{2} - 4x + 1 =0 Bunu çözelim: \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 -16 = 0 Tek çözüm var: x = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} Yani: b^{2} = \frac{1}{2} \implies b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} * * * **Adım 10 — Son olarak a - b^{2} ifadesini hesaplayalım** a - b^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 * * * ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **CEVAP:** 0 yani **C şıkkı** ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯 **Temel Kavramlar:** - **Kare tamamlama** yöntemi - **Denklem çözme** ve yer değiştirme - **Kare kök ve mutlak değer** ⚠ **Yaygın Hatalar:** ❌ a - b^{2} ifadesini doğrudan yerine koymak ❌ Eşitliği yanlış kullanmak ❌ Kare tamamlamayı doğru yapmamak Başka bir konu ya da örnek istersen söyleyebilirsin! 🚀 ---
**Author:** ![Derya14](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/derya14/32/59477_2.png) [@Derya14](https://sorumatik.co/u/Derya14)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 1:30ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-ve-b-birer-gercel-sayi-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/653021/3 "2026-04-21T13:30:32Z")
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 1:30ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-ve-b-birer-gercel-sayi-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/653021/4 "2026-04-21T13:30:55Z")
## Adım Adım ve Anlaşılır Çözüm: a - b^{2} ifadesinin değeri ### Verilen eşitlik: 4a^2 + \frac{1}{4b^2} = 4a - b^2 ### Bulmak istediğimiz ifade: a - b^2 * * * ### 1. Adım — Eşitliği bir tarafa toplayalım Verilen eşitliği şu şekilde düzenleyelim: 4a^2 + \frac{1}{4b^2} - 4a + b^2 = 0 * * * ### 2. Adım — Kare tamamlama yapalım İlk iki terime odaklanarak kare tamamlama uygulayalım: 4a^2 - 4a = 4(a^2 - a) Şimdi aşağıdaki gibi yazalım: a^2 - a = a^2 - a + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} Bunu ilk iki terime geri uygulayalım: 4(a^2 - a) = 4\left[(a-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right] = 4(a-\frac{1}{2})^2 - 1 * * * ### 3. Adım — Eşitliği bu şekle getirelim Eşitlik artık şöyle olur: 4(a-\frac{1}{2})^2 - 1 + \frac{1}{4b^2} + b^2 = 0 Bunu biraz daha düzenleyelim: 4(a-\frac{1}{2})^2 + b^2 + \frac{1}{4b^2} = 1 * * * ### 4. Adım — Terimlerin en küçük değerlerini inceleyelim - 4(a - \frac{1}{2})^2 \geq 0 çünkü karesi her zaman sıfır veya pozitif. - b^2 + \frac{1}{4b^2} \geq 1 olacak mı bakalım. Öncelikle b^2 + \frac{1}{4b^2} ifadesinin en küçük değerini bulalım: * * * ### 5. Adım — b^2 + \frac{1}{4b^2} ifadesinin minimumu Bu tür ifadelerde **AM-GM eşitsizliği** kullanılır: \frac{b^2 + \frac{1}{4b^2}}{2} \geq \sqrt{b^2 \cdot \frac{1}{4b^2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} Buna göre: b^2 + \frac{1}{4b^2} \geq 1 * * * ### 6. Adım — Toplamın eşitliği sağlayabilmesi için her terim ne olmalı? Toplamın 1 olması için: - 4(a-\frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2} - ve b^2 + \frac{1}{4b^2} = 1 eşitliği sağlamalıdır. * * * ### 7. Adım — b^2 + \frac{1}{4b^2} = 1 denklemini çözelim Her iki tarafı 4b^2 ile çarparız: 4b^4 + 1 = 4b^2 Düzenlersek: 4b^4 - 4b^2 + 1 = 0 Şimdi x = b^2 alalım: 4x^2 - 4x + 1 = 0 * * * ### 8. Adım — Bu ikinci derece denklemi çözelim Diskriminant: \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 Tek kök: x = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} Yani: b^2 = \frac{1}{2} * * * ### 9. Adım — Sonuç: a - b^{2} değerini hesaplayalım a - b^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 * * * ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✅ **Cevap:** a - b^{2} = \boxed{0} (C şıkkı) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ > 💡 **Pro Tip:** Bu soruda kare tamamlama ve AM-GM eşitsizliği kullanmak sonucu bulmanın anahtarıdır. Başka sorular veya örnekler için sormaya devam edebilirsin! 🚀 ---
**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\ **Post date:** [Nisan 21, 2026, 1:32ös UTC](https://sorumatik.co/t/a-ve-b-birer-gercel-sayi-olmak-uzere-esitligi-veriliyor/653021/5 "2026-04-21T13:32:17Z")
## a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, \;4a^{2}+\dfrac{1}{4b^{2}}=4a-b^{2}\; eşitliği veriliyor. Buna göre, a-b^{2} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? **ÇÖZÜM ADIMLARI:** **Adım 1 — Denklemi düzenle ve kare tamamlama yap** Denklemi bir tarafa topla: 4a^{2}+\dfrac{1}{4b^{2}}-4a+b^{2}=0 a terimleri için kare tamamlama yap: 4\bigl(a^{2}-a\bigr)+\dfrac{1}{4b^{2}}+b^{2}=0 4\Bigl((a-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)+\dfrac{1}{4b^{2}}+b^{2}=0 4(a-\tfrac{1}{2})^{2}-1+\dfrac{1}{4b^{2}}+b^{2}=0 b terimleri için ifade düzenle: b^{2}+\dfrac{1}{4b^{2}}=(b-\tfrac{1}{2b})^{2}+1 Bunları denklemde yerine koy: 4(a-\tfrac{1}{2})^{2}-1+(b-\tfrac{1}{2b})^{2}+1=0 4(a-\tfrac{1}{2})^{2}+(b-\tfrac{1}{2b})^{2}=0 Toplam iki kare olduğuna göre her iki kare de sıfır olmalıdır: a-\tfrac{1}{2}=0 b-\tfrac{1}{2b}=0 Bunlardan: a=\tfrac{1}{2} ve b^{2}=\tfrac{1}{2} elde edilir. **Adım 2 — A Seçeneğini İncele** A) -2 a ve b^{2} değerlerini kullan: a-\;b^{2} =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2} =0 Bu, -2 ile eşit değildir. **Adım 3 — B Seçeneğini İncele** B) -1 Önceki hesaplamaya göre: a-b^{2}=0 Bu, -1 ile eşit değildir. **Adım 4 — C Seçeneğini İncele** C) 0 Önceki hesaplamaya göre: a-b^{2}=0 Bu seçenek ile çelişmiyor. **Adım 5 — D Seçeneğini İncele** D) 1 Önceki hesaplamaya göre: a-b^{2}=0 Bu, 1 ile eşit değildir. **Adım 6 — E Seçeneğini İncele** E) 2 Önceki hesaplamaya göre: a-b^{2}=0 Bu, 2 ile eşit değildir. **Adım 7 — Seçenek Karşılaştırması** ✅ **C. 0** — Bu seçenek doğru olanıdır çünkü a=\tfrac{1}{2} ve b^{2}=\tfrac{1}{2} olduğundan a-b^{2}=0. ❌ **A. -2** — Yanlış; a-b^{2}=0 olduğundan farklıdır. ❌ **B. -1** — Yanlış; a-b^{2}=0 olduğundan farklıdır. ❌ **D. 1** — Yanlış; a-b^{2}=0 olduğundan farklıdır. ❌ **E. 2** — Yanlış; a-b^{2}=0 olduğundan farklıdır. **Adım 8 — Son Doğrulama** Denklemden kare tamamlama ile a=\tfrac{1}{2} ve b^{2}=\tfrac{1}{2} bulundu; bunları yerine koyunca a-b^{2}=0 elde edilir. Dolayısıyla doğru seçenek C şıkkıdır. ✅ **CEVAP:** C) 0 **TEMEL KAVRAMLAR:** **1. Kare tamamlama** - **Tanım:** Bir ikinci dereceden ifadeyi tam kare ve sabit terim olarak yazma yöntemi. - **Bu problemde:** a terimleri için kare tamamlama yapılarak 4(a-\tfrac{1}{2})^{2} elde edildi. **2. Pozitif karelerin toplamı sıfır ise** - **Tanım:** İki kare toplamı sıfırsa her biri sıfırdır. - **Bu problemde:** Hem 4(a-\tfrac{1}{2})^{2} hem de (b-\tfrac{1}{2b})^{2} sıfır olmak zorundaydı. ⚠ **SIK YAPILAN HATALAR:** **❌ Kare tamamlama unutulması** - **Yanlış:** Doğrudan terimleri taşımak ve çözmeye çalışmak. - **Doğru:** Kare tamamlama ile ifadelerin pozitif kareler toplamı haline getirilmesi. - **Neden yanlış:** Doğru kısıtları (karelerin sıfır olması) gözden kaçırır. - **Düzeltme:** Kare tamamlama adımlarını açıkça yapın. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀 Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?