“a survey of a random sample of 210 male teens and 228 female teens, ages 13 years to 17 years, found that 122 of the male teens and 160 of the female teens brush their teeth at least twice a day. if there is no difference between the proportions in the population of all male and female teens ages 13 years to 17 years who brush their teeth at least twice a day, approximately how many males and females in the sample would be expected to brush their teeth at least twice a day?”
Bu soruda beklenen sayı, iki örneklemdeki toplam oran kullanılarak bulunur. Erkeklerde 122/210, kızlarda 160/228 oranları göz önüne alınır; “fark yok” varsayımı altında beklenen değerler, birleştirilmiş oran ile hesaplanır. Sonuçta yaklaşık olarak 122 erkek ve 132 kız öğrencinin günde en az iki kez diş fırçalaması beklenir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Toplam sayıları bulalım
-
Erkek sayısı: 210
-
Kız sayısı: 228
-
Toplam örneklem: 210 + 228 = 438
-
Dişini günde en az iki kez fırçalayan toplam öğrenci sayısı:
122 + 160 = 282
Adım 2 — Birleştirilmiş oranı bulalım
p=\frac{282}{438}\approx 0.6438
Bu, tüm örneklem için tahmini ortak orandır.
Adım 3 — Erkekler için beklenen sayı
210 \times 0.6438 \approx 135.2
Adım 4 — Kızlar için beklenen sayı
228 \times 0.6438 \approx 146.8
Adım 5 — Yuvarlayalım
- Erkekler için beklenen sayı: 135
- Kızlar için beklenen sayı: 147
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: Yaklaşık 135 erkek ve 147 kız öğrencinin günde en az iki kez diş fırçalaması beklenir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Birleştirilmiş oran
- Tanım: İki grup arasında fark olmadığı varsayıldığında kullanılan ortak orandır.
- Bu soruda: Erkek ve kız öğrencilerin oranları tek bir oran gibi alınmıştır.
2. Beklenen değer
- Tanım: Varsayılan modele göre bir grupta görülmesi beklenen sayı.
- Bu soruda: Her grup örneklem büyüklüğü ile ortak oran çarpılmıştır.
Sık Yapılan Hatalar:
Her grubun kendi oranını beklenen değer gibi kullanmak
- Yanlış: 122 ve 160 sayılarını doğrudan beklenen değer sanmak.
- Doğru: “Fark yok” varsayımında ortak oran kullanılmalıdır.
- Neden yanlış: Beklenen değer, gözlenen değer değil; null hipotez altındaki değerdir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Survey: Expected Males and Females Brushing Teeth Twice Daily (No Proportion Difference)
FORMULA USED:
Under the null hypothesis of equal proportions, the expected number for each group is:
E = n \times \hat{p}
where n is the group sample size and \hat{p} = \frac{\text{total brushing}}{\text{total sample}} is the overall sample proportion.
SOLUTION STEPS:
Step 1 — Calculate total sample and total brushing
Total teens: 210 males + 228 females = 438
Total brushing twice daily: 122 males + 160 females = 282
\hat{p} = \frac{282}{438} = \frac{47}{73} \approx 0.6438
Step 2 — Expected for males
E_{\text{males}} = 210 \times \frac{47}{73}
First, 210 \times 47 = 9870
9870 \div 73 = 135 + \frac{15}{73} \approx 135.21
Approximate expected males: 135
Step 3 — Expected for females
E_{\text{females}} = 228 \times \frac{47}{73}
First, 228 \times 47 = 10716
10716 \div 73 = 146 + \frac{58}{73} \approx 146.79
Approximate expected females: 147
Step 4 — Verify totals
135 + 147 = 282 (matches total brushing)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ANSWER: Approximately 135 males and 147 females
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
KEY CONCEPTS:
1. Null Hypothesis in Proportions
- Definition: Assumes p_{\text{males}} = p_{\text{females}} = p (no difference).
- In this problem: Used overall \hat{p} = \frac{47}{73} to find group expectations for chi-square goodness-of-fit test.
2. Expected Frequencies
- Definition: E_i = n_i \times \hat{p} ensures totals match observed successes.
- In this problem: Ensures E_{\text{males}} + E_{\text{females}} = 282.
COMMON MISTAKES:
Using individual proportions
- Wrong: Expect males as 210 \times \frac{122}{210} = 122 (ignores null).
- Right: Use pooled \hat{p}.
- Why it’s wrong: Null assumes equality, not sample-specific rates.
Rounding too early
- Wrong: \hat{p} \approx 0.64, then 210 \times 0.64 = 134.4.
- Right: Exact fraction \frac{47}{73} before multiplying.
- Why it’s wrong: Early rounding loses precision in expectations.
Feel free to ask if you have more questions!
Would you like a step-by-step chi-square test for this data or another practice problem?