# 9. Sınıf Matematik Ders Kitabı 1. Kitap Sayfa 64 Cevapları ve Çözümleri (2025-2026) **URL:** \ **Category:** 9. Sınıf\ **Tags:** dk-donem-2025-2026, dk-materyal-ders-kit, dk-ders-matematik, dk-yayinevi-meb\ **Created:** [Ağustos 5, 2026, 11:02öö UTC](https://sorumatik.co/t/9-sinif-matematik-ders-kitabi-1-kitap-sayfa-64-cevaplari-ve-cozumleri-2025-2026/676507 "2026-08-05T11:02:56Z")\ **Posts on this page:** 1\ **Page:** 1
**Author:** ![Dersnotu](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/dersnotu/32/3037_2.png) [@Dersnotu](https://sorumatik.co/u/Dersnotu)\ **Post date:** [Ağustos 5, 2026, 11:02öö UTC](https://sorumatik.co/t/9-sinif-matematik-ders-kitabi-1-kitap-sayfa-64-cevaplari-ve-cozumleri-2025-2026/676507/1 "2026-08-05T11:02:56Z")
## Soru 1 ### Örnek cevap / çözüm yolu - **Toplama ve Çarpma:** \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} ve \mathbb{R} kümelerinin tamamında iki elemanın toplamı ve çarpımı yine aynı kümenin elemanıdır. Dolayısıyla bu kümelerin toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olduğu varsayılabilir. - **Çıkarma:** Doğal sayılarda küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığında sonuç doğal sayı olmadığından (örneğin 4-7=-3 \notin \mathbb{N}) \mathbb{N} kapalı değildir. \mathbb{Z}, \mathbb{Q} ve \mathbb{R} kümeleri ise çıkarma işlemine göre kapalıdır. - **Bölme:** Sıfıra bölme işlemi tanımsızdır. Sıfır hariç tutulsa bile iki doğal sayının veya iki tam sayının bölümü her zaman tam sayı veya doğal sayı vermez (örneğin \frac{4}{7} \notin \mathbb{N} ve \frac{-3}{5} \notin \mathbb{Z}). Sıfır dışındaki elemanlar için \mathbb{Q} ve \mathbb{R} bölmeye göre kapalıyken, \mathbb{N} ve \mathbb{Z} kapalı değildir. ## Soru 2 ### Örnek cevap / çözüm yolu **Tablo Doldurma:** - **\mathbb{N} (Doğal Sayılar):** Elemanlar: 4 ve 7 | Toplama: 4 + 7 = 11 \in \mathbb{N} | Çıkarma: 4 - 7 = -3 \notin \mathbb{N} | Çarpma: 4 \cdot 7 = 28 \in \mathbb{N} | Bölme: \frac{4}{7} \notin \mathbb{N} - **\mathbb{Z} (Tam Sayılar):** Elemanlar: -3 ve 5 | Toplama: (-3) + 5 = 2 \in \mathbb{Z} | Çıkarma: (-3) - 5 = -8 \in \mathbb{Z} | Çarpma: (-3) \cdot 5 = -15 \in \mathbb{Z} | Bölme: \frac{-3}{5} \notin \mathbb{Z} - **\mathbb{Q} (Rasyonel Sayılar):** Elemanlar: \frac{1}{2} ve \frac{3}{4} | Toplama: \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \in \mathbb{Q} | Çıkarma: \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} \in \mathbb{Q} | Çarpma: \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \in \mathbb{Q} | Bölme: \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \in \mathbb{Q} - **\mathbb{R} (Gerçek Sayılar):** Elemanlar: \sqrt{2} ve \sqrt{3} | Toplama: \sqrt{2} + \sqrt{3} \in \mathbb{R} | Çıkarma: \sqrt{2} - \sqrt{3} \in \mathbb{R} | Çarpma: \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} \in \mathbb{R} | Bölme: \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \in \mathbb{R} **Alt Soruların Cevapları:** a) Herhangi iki doğal sayının toplamı her zaman bir doğal sayıdır. Bu nedenle doğal sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. Bu özellik tam sayılar (\mathbb{Z}), rasyonel sayılar (\mathbb{Q}) ve gerçek sayılar (\mathbb{R}) kümelerinde de geçerlidir. b) Herhangi iki tam sayının farkı her zaman bir tam sayıdır. Bu nedenle tam sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır. Bu özellik rasyonel sayılar (\mathbb{Q}) ve gerçek sayılar (\mathbb{R}) kümelerinde de geçerlidir; fakat doğal sayılar (\mathbb{N}) kümesinde geçerli değildir. ## Soru 3 ### Örnek cevap / çözüm yolu - **Doğal Sayılar (\mathbb{N}):** Toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; çıkarma ve bölme işlemlerine göre kapalı değildir. - **Tam Sayılar (\mathbb{Z}):** Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; bölme işlemine göre kapalı değildir. - **Rasyonel Sayılar (\mathbb{Q}):** Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; bölen sıfır olmamak şartıyla bölme işlemine göre kapalıdır. - **Gerçek Sayılar (\mathbb{R}):** Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; bölen sıfır olmamak şartıyla bölme işlemine göre kapalıdır. ## Soru 4 ### Örnek cevap / çözüm yolu - **Önerme 1:** Her a, b \in \mathbb{N} için (a + b) \in \mathbb{N} ve (a \cdot b) \in \mathbb{N}'dir. - **Önerme 2:** Her a, b \in \mathbb{Z} için (a + b) \in \mathbb{Z}, (a - b) \in \mathbb{Z} ve (a \cdot b) \in \mathbb{Z}'dir. - **Önerme 3:** Her a, b \in \mathbb{Q} için (a + b) \in \mathbb{Q}, (a - b) \in \mathbb{Q}, (a \cdot b) \in \mathbb{Q} ve b \neq 0 için \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}'dir. - **Önerme 4:** Her a, b \in \mathbb{R} için (a + b) \in \mathbb{R}, (a - b) \in \mathbb{R}, (a \cdot b) \in \mathbb{R} ve b \neq 0 için \frac{a}{b} \in \mathbb{R}'dir. ## Soru 5 ### Örnek cevap / çözüm yolu **Örnek A Kümesi İncelemesi:** A = \{-1, 0, 1\} \subset \mathbb{R} kümesini ele alalım. - **Toplama:** 1 + 1 = 2 \notin A olduğundan A kümesi toplama işlemine göre **kapalı değildir**. - **Çıkarma:** 1 - (-1) = 2 \notin A olduğundan A kümesi çıkarma işlemine göre **kapalı değildir**. - **Çarpma:** A kümesindeki her a, b \in A için a \cdot b \in A elde edilir (örneğin (-1) \cdot (-1) = 1 \in A, (-1) \cdot 1 = -1 \in A). Dolayısıyla A kümesi çarpma işlemine göre **kapalıdır**. - **Bölme:** 1 \div 0 tanımsızdır ve 1 \div 2 gibi sonuçlar kümede olmadığından A kümesi bölme işlemine göre **kapalı değildir**. **Sağladığı Kolaylıklar ve Kullanım Alanları:** Kapalılık önermeleri, bir işlem yapıldığında sonucun belirlenen kümenin içinde kalıp kalmayacağını önceden anlamamızı sağlar. Bu özellik denklem çözümlerinde çözüm kümesinin sınırlarını belirlemede, cebirsel yapılarda ve bilgisayar yazılımlarında veri tiplerinin taşma (overflow) durumlarını önlemede kullanılır. ## Soru 6 ### Örnek cevap / çözüm yolu - **Doğrulama Yöntemleri:** - **Aksiyomatik Doğrudan İspat:** Rasyonel sayılarda iki elemanın toplamının \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} şeklinde yazılması ve pay ile paydanın tam sayı olmasından dolayı sonucun yine rasyonel sayı olduğunu göstermek genel bir doğrulamadır. - **Karşıt Örnek Verme Yöntemi:** Kapalı olunmadığını doğrulamak için tek bir aksi örnek yeterlidir. Örneğin 4, 7 \in \mathbb{N} iken 4 - 7 = -3 \notin \mathbb{N} olması doğal sayıların çıkarmaya göre kapalı olmadığını kesin olarak doğrular. - **Kullanışlılık Değerlendirmesi:** Doğrudan cebirsel ispat genel geçerliliği sağladığı için en güçlü yöntemdir. Karşıt örnek bulma yöntemi ise bir iddianın geçersizliğini hızlı ve pratik şekilde kanıtlamak açısından son derece kullanışlıdır. * * * ### Kitapta kolayca gezin [← **Önceki sayfa: 63**](https://sorumatik.co/t/9-sinif-matematik-ders-kitabi-1-kitap-sayfa-63-cevaplari-ve-cozumleri-2025-2026/676506) · [📘 **Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları**](https://sorumatik.co/t/9-sinif-matematik-ders-kitabi-1-kitap-cevaplari-sayfa-sayfa-cozumler-2025-2026/675264) · [**Sonraki sayfa: 65** →](https://sorumatik.co/t/9-sinif-matematik-ders-kitabi-1-kitap-sayfa-65-cevaplari-ve-cozumleri-2025-2026/676508)