# 54) D) y = (x 1) 3 eğrisi üzerindeki A(2 1) noktasından geçen yine eğriye başka bir B noktasında teğet olan doğrunun

**URL:** <https://sorumatik.co/t/54-d-y-x-1-3-egrisi-uzerindeki-a-2-1-noktasindan-gecen-yine-egriye-baska-bir-b-noktasinda-teget-olan-dogrunun/652087>\
**Category:** Maths Question\
**Created:** [Nisan 20, 2026, 3:02ös UTC](https://sorumatik.co/t/54-d-y-x-1-3-egrisi-uzerindeki-a-2-1-noktasindan-gecen-yine-egriye-baska-bir-b-noktasinda-teget-olan-dogrunun/652087 "2026-04-20T15:02:57Z")\
**Posts on this page:** 5\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Rio](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rio/32/210928_2.png) [@Rio](https://sorumatik.co/u/Rio)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 3:02ös UTC](https://sorumatik.co/t/54-d-y-x-1-3-egrisi-uzerindeki-a-2-1-noktasindan-gecen-yine-egriye-baska-bir-b-noktasinda-teget-olan-dogrunun/652087/1 "2026-04-20T15:02:57Z")

</div>

1. D) y = (x 1)^3 eğrisi üzerindeki A(2 1) noktasından geçen yine eğriye başka bir B noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?

**Soru Fotoğrafı:**

 ![Soru Görseli](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/6/c/6c0cef197c834c49bb32491b0e0791094766335c.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 3:03ös UTC](https://sorumatik.co/t/54-d-y-x-1-3-egrisi-uzerindeki-a-2-1-noktasindan-gecen-yine-egriye-baska-bir-b-noktasinda-teget-olan-dogrunun/652087/2 "2026-04-20T15:03:32Z")

</div>

## y = (x − 1)^3 eğrisi üzerindeki A(2,1) noktasından geçen ve yine eğriye başka bir B noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?

💡 **Kullanılan Formül:**

- Eğrinin türevi, teğetin eğimini verir:  
 y' = \frac{dy}{dx} 
- İki noktadan geçen doğrunun eğimi:  
 m = \frac{y\_2 - y\_1}{x\_2 - x\_1} 

* * *

🧠 **Çözüm Adımları:**

**Adım 1 — Eğrinin türevini bulma**  
 y = (x - 1)^3   
Türev alalım:  
 y' = 3(x - 1)^2

**Adım 2 — A noktasındaki türev değerini hesaplama**  
A(2,1) noktası için:  
 y'|\_{x=2} = 3(2 - 1)^2 = 3 \times 1^2 = 3   
Bu, A noktasındaki teğetin eğimi olur.

**Adım 3 — B noktasının koordinatlarını B(x, (x-1)^3) olarak ifade etme**  
B noktası da eğri üzerinde olduğu için y\_B = (x\_B - 1)^3   
Ancak B, A noktasından geçen ve eğriye teğet olan aynı doğru üzerindedir.

**Adım 4 — Doğrunun eğim ifadesini yazma**  
Doğrunun eğimi aynı zamanda türev eğimidir, yani:  
 m = \text{doğrunun eğimi} = \text{bir noktadaki türev}

A’dan B’ye geçen doğrunun eğimi:

m = \frac{y\_B - y\_A}{x\_B - x\_A} = \frac{(x\_B - 1)^3 - 1}{x\_B - 2}

Aynı zamanda B noktasındaki türev:

m = 3(x\_B - 1)^2

**Adım 5 — Eşitliği kurma**

3(x\_B - 1)^2 = \frac{(x\_B - 1)^3 - 1}{x\_B - 2}

**Adım 6 — Denklemi çözme**  
Her iki tarafı da payda ile çarparak:

3(x\_B - 1)^2 (x\_B - 2) = (x\_B - 1)^3 - 1

Solda açılım yapalım:

3(x\_B - 1)^2(x\_B - 2) = 3(x\_B - 1)^2 (x\_B - 2)

Sağ taraf zaten açık:

(x\_B - 1)^3 - 1^3

Sağ tarafı açalım:

(x\_B - 1)^3 - 1 = \text{biliriz ki} (a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Burada a = (x\_B - 1), b=1

= (x\_B - 2)((x\_B - 1)^2 + (x\_B - 1)\times 1 + 1^2) = (x\_B - 2)((x\_B - 1)^2 + (x\_B - 1) + 1)

Denklik:

3(x\_B - 1)^2 (x\_B - 2) = (x\_B - 2)((x\_B - 1)^2 + (x\_B - 1) + 1)

Her iki tarafta da (x\_B - 2) var, x\_B \neq 2 olduğu için sadeleştirebiliriz:

3 (x\_B - 1)^2 = (x\_B - 1)^2 + (x\_B - 1) + 1

Sağ tarafı toplayalım:

3 (x\_B - 1)^2 = (x\_B - 1)^2 + (x\_B - 1) + 1

Sağdaki terimleri sola alalım:

3 (x\_B - 1)^2 - (x\_B - 1)^2 - (x\_B - 1) - 1 = 0

Bu da:

2 (x\_B - 1)^2 - (x\_B - 1) - 1 = 0

Yeni değişken t = x\_B - 1 diyelim:

2 t^2 - t - 1 = 0

Bu ikinci dereceden denklemi çözelim:

t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}

İki çözüm:

- t\_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 
- t\_2 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} 

**Adım 7 — Çözümleri inceleyelim:**  
 t = x\_B - 1

- t\_1 = 1 \Rightarrow x\_B = 2   
Bu, A noktasının x değeri ve B noktası A ile aynı olur, farklı nokta istediğimiz için bunu atlıyoruz.
- t\_2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow x\_B = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} 

**Adım 8 — Eğimi bulalım:**  
 x\_B = \frac{1}{2} için eğim:

m = 3(x\_B - 1)^2 = 3 \left( \frac{1}{2} - 1 \right)^2 = 3 \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **Cevap:** \boxed{\frac{3}{4}} (D şıkkı)  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

🎯 **Temel Kavramlar:**

- **Türev** eğrinin teğetinin eğimini verir.
- Aynı eğime sahip, eğri üzerinde iki farklı noktadan geçen doğrular.
- İkinci dereceden denklemlerde çözüm kontrollü seçilir (aynı nokta olamaz).

Başka bir örnek ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 3:04ös UTC](https://sorumatik.co/t/54-d-y-x-1-3-egrisi-uzerindeki-a-2-1-noktasindan-gecen-yine-egriye-baska-bir-b-noktasinda-teget-olan-dogrunun/652087/3 "2026-04-20T15:04:54Z")

</div>

## y = (x - 1)^3 eğrisi üzerindeki A(2,1) noktasından geçen ve yine eğriye başka bir B noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?

**KULLANILAN KURAL / FORMÜL:**

- **Türev** : Bir noktadaki teğetin eğimi eğrinin türevidir.
- **Teğet denklemi** : Noktası (x\_0,y\_0) olan eğrinin m=y'(x\_0) eğimine sahip teğeti: y-y\_0=m(x-x\_0) .

**ÇÖZÜM ADIMLARI:**

**Adım 1 — Eğrinin türevini al**

Eğrinin denklemi: y=(x-1)^3

y'=\frac{d}{dx}(x-1)^3

y' = 3(x-1)^2\cdot\frac{d}{dx}(x-1)

\frac{d}{dx}(x-1)=1

y' = 3(x-1)^2\cdot 1

y' = 3(x-1)^2

**Adım 2 — B noktasını t ile göster ve teğet şartını kur**

**Tanım:** B noktasının x-koord.ını x\_B alalım ve t=x\_B-1 diyelim.

y\_B = t^3

m\_B = 3t^2

Teğet denklemi (B noktasında): y-y\_B = m\_B(x-x\_B)

Bu doğrunun A(2,1) noktasından geçtiği için:

1 - y\_B = m\_B(2 - x\_B)

Yerine koy:

1 - t^3 = 3t^2\big(2-(t+1)\big)

2-(t+1)=1-t

1 - t^3 = 3t^2(1-t)

Sağ tarafı aç:

3t^2(1-t)=3t^2-3t^3

Soldan sağa getir:

1 - t^3 - 3t^2 + 3t^3 = 0

1 + 2t^3 - 3t^2 = 0

2t^3 - 3t^2 + 1 = 0

t=1 için kontrol:

2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 0

Böylece (t-1) çarpanı var:

2t^3 - 3t^2 + 1 = (t-1)(2t^2 - t - 1)

Kalan ikinci dereceyi çöz:

2t^2 - t - 1 = 0

\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-1)

\Delta = 1 + 8

\Delta = 9

t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}

t = \frac{1 \pm 3}{4}

t = \frac{1+3}{4} = 1

t = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}

t=1 A noktasına karşılık geldiği için diğer çözüm t=-\tfrac{1}{2} alınır.

**Adım 3 — Eğimi hesapla**

m = 3t^2

m = 3\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2

m = 3\cdot\tfrac{1}{4}

m = \tfrac{3}{4}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **CEVAP:** \displaystyle \frac{3}{4}   
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

**TEMEL KAVRAMLAR:**

1. **Türev**

- **Tanım:** Bir fonksiyonun anlık değişim oranıdır; teğetin eğimidir.
- **Bu problemde:** Teğetin eğimini y'=3(x-1)^2 ile hesapladık.

1. **Teğetin nokta-slope formu**

- **Tanım:** y-y\_0=m(x-x\_0) 
- **Bu problemde:** A noktasının denklemde sağlanmasıyla x\_B için denklemi kurduk.

**SIK YAPILAN HATALAR:**

**❌ Ayni noktayı ikinci çözüm sanmak**

- **Yanlış:** Elde edilen t=1 kökünü diğer B noktası zannetmek.
- **Doğru:** t=1 A noktasına karşılık gelir; diğer kök t=-\tfrac{1}{2} farklı B’dir.
- **Neden yanlış:** Denklemi tam çözmeden tekrar eden kökü atlamak.
- **Düzeltme:** Tüm kökleri bulun ve A noktasından farklı olanı seçin.

**❌ Teğet eğimini A noktasının türevi sanmak**

- **Yanlış:** Doğrunun eğimini direkt A noktasındaki türev sanmak.
- **Doğru:** Aranılan doğru B noktasında teğet olduğu için eğim y'(x\_B) olmalıdır.
- **Neden yanlış:** Soru A’dan geçen ama B’de teğet olan doğru diyor; A’daki türev yalnızca A’da teğeti verir.
- **Düzeltme:** Teğet şartını B noktası için kurun ve A noktasının doğruda olma şartını kullanın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀  
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Rio](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/rio/32/210928_2.png) [@Rio](https://sorumatik.co/u/Rio)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 3:07ös UTC](https://sorumatik.co/t/54-d-y-x-1-3-egrisi-uzerindeki-a-2-1-noktasindan-gecen-yine-egriye-baska-bir-b-noktasinda-teget-olan-dogrunun/652087/4 "2026-04-20T15:07:36Z")

</div>

Write the answer briefly instead of long

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Nisan 20, 2026, 3:07ös UTC](https://sorumatik.co/t/54-d-y-x-1-3-egrisi-uzerindeki-a-2-1-noktasindan-gecen-yine-egriye-baska-bir-b-noktasinda-teget-olan-dogrunun/652087/5 "2026-04-20T15:07:44Z")

</div>

## Kısa Çözüm:

1. Eğrinin türevi:  
 y' = 3(x - 1)^2 

2. A(2,1) noktasından geçen ve eğriye B noktasında teğet olan doğrunun eğimi:

3. Doğru eğimi aynı zamanda:

4. Eşitlik:

5. Çözümden x\_B = \frac{1}{2} ve

━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
✅ **Cevap:** \frac{3}{4} (D şıkkı)  
━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 🚀