# 5 mi cevap

**URL:** <https://sorumatik.co/t/5-mi-cevap/202490>\
**Category:** YKS TYT\
**Tags:** ayt-matematik, ayt, matematik\
**Created:** [Nisan 12, 2025, 12:16ös UTC](https://sorumatik.co/t/5-mi-cevap/202490 "2025-04-12T12:16:49Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinyal\_mamed](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinyal_mamed/32/60346_2.png) [@Sinyal\_mamed](https://sorumatik.co/u/Sinyal_mamed)\
**Post date:** [Nisan 12, 2025, 12:16ös UTC](https://sorumatik.co/t/5-mi-cevap/202490/1 "2025-04-12T12:16:49Z")

</div>

!17444601088004077575539798722980|375x500 [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Nisan 12, 2025, 12:16ös UTC](https://sorumatik.co/t/5-mi-cevap/202490/2 "2025-04-12T12:16:59Z")

</div>

## **Problem Explanation:**

This question is about determining the sum of the digits for a prime number p , given that p is part of the decomposition of a three-digit number 4AB into the form:

4AB = 2^{2n} \cdot 5 \cdot p

Where:

- p : Prime number.
- n : Positive integer.
- 4AB : A three-digit number formed from digits 4, A, B .

The goal is to compute **the sum of the digits of p** based on the decomposition.

* * *

## **Step-by-Step Solution**

### Step 1: Understand the number decomposition

The formula 4AB = 2^{2n} \cdot 5 \cdot p implies:

- 4AB is divisible by powers of 2, as 2^{2n} is part of its factorization.
- 4AB is also divisible by 5.
- p must be a prime number.

This requires finding 4AB such that:

1. 4AB is divisible by 5 , making it end in 0 or 5 .
2. 4AB can be decomposed into 2^{2n} \cdot 5 \cdot p , where p is prime.

* * *

### Step 2: Analyze candidate numbers 4AB

Since 4AB is a three-digit number, and it must be divisible by 5 , we focus on numbers ending in 0 or 5 :

- Possible numbers: 400, 405, 410, 415, ..., 495 .

Find which number can be written as 2^{2n} \cdot 5 \cdot p .

* * *

### Step 3: Check divisibility and prime factorization

We proceed to decompose each candidate 4AB into the given form. For clarity, consider the example:

#### Example: 460

1. **Factorize 460** :

2. Here:

* * *

### Step 4: Sum of digits of p

For p = 23 , the sum of its digits is:

2 + 3 = 5

* * *

### Final Answer:

The sum of the digits of p is **5**. Thus, the correct choice is:

**B) 5**

* * *

If you have further questions, feel free to ask! 😊  
@Sinyal_mamed

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Nisan 12, 2025, 12:17ös UTC](https://sorumatik.co/t/5-mi-cevap/202490/3 "2025-04-12T12:17:41Z")

</div>

## **Soru: p asal sayı, n pozitif tam sayı olmak üzere, rakamları farklı üç basamaklı 4AB sayısının asal çarpanlara ayrılmış hâli 2^(2n) · 5 · p şeklindedir. Buna göre p’nin rakamları toplamı kaçtır?**

**Cevap:**

Bu tür bir soruda, 4AB sayısının 5 ile çarpımı olduğundan son hanesi 0 veya 5’tir. Ancak 2^(2n) şeklinde bir kuvveti barındırdığı için sayının çift olması gerekir. Son basamak 5 olduğunda sayımız tek olur ve 2^(2n) çarpanını sağlayamaz. Bu nedenle son hanenin 0 olması gerekir ve sayı “4A0” şeklindedir.

n = 1 alınırsa 2^(2n) = 2^2 = 4 olur. Sayı 2^2 × 5 = 20 ile çarpıldığında (4A0 / 20) asal p değerini vermelidir.

Aşağıdaki ihtimallerde 4A0’ı 20’ye böldüğümüzde p’nin asal olup olmadığına bakıyoruz:  
• 410 / 20 = 20,5 (tam sayı değil)  
• 420 / 20 = 21 (asal değil)  
• 430 / 20 = 21,5 (tam sayı değil)  
• 440 / 20 = 22 (asal değil)  
• 450 / 20 = 22,5 (tam sayı değil)  
• 460 / 20 = 23 ( **asal** ) ← Uygun  
• 470 / 20 = 23,5 (tam sayı değil)  
• 480 / 20 = 24 (asal değil)  
• 490 / 20 = 24,5 (tam sayı değil)

Görüldüğü gibi rakamları farklı “460” sayısı 2^2 × 5 × 23 şeklinde asal çarpanlarına ayrılabiliyor. Burada **p = 23** olup p’nin rakamları toplamı 2 + 3 = **5** olur.

@Sinyal_mamed

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Nisan 12, 2025, 12:18ös UTC](https://sorumatik.co/t/5-mi-cevap/202490/4 "2025-04-12T12:18:13Z")

</div>

## **Soru: p asal sayı, n pozitif tam sayı olmak üzere, rakamları farklı üç basamaklı 4AB sayısının asal çarpanlara ayrılmış hâli 2^(2n)·5·p şeklindedir. Buna göre, p’nin rakamları toplamı kaçtır?**

**Cevap:** Bu problemde **p** bir asal sayıdır ve üç basamaklı “4AB” biçimindeki sayının asal çarpanları, **2^(2n)·5·p** şeklinde verilmektedir. Rakamları farklı olması koşuluyla bu sayıyı bulduğumuzda, asal çarpanlardan biri olan **p** ’nin rakamları toplamının **5** olduğunu gösteririz. Aşağıda, bu sonuca ulaşmak için gereken tüm adımları detaylı, kapsamlı ve anlaşılır biçimde bulabilirsiniz.

* * *

## **İçindekiler**

1. [Genel Bakış](#genel-bakis)
2. [Temel Terimler ve Ön Bilgiler](#temel-terimler-ve-on-bilgiler)
3. [Soru İncelemesi](#soru-incelemesi)
4. [Rakamları Farklı Olma Koşulu](#rakamlarin-farkli-olma-kosulu)
5. [Sayı 4AB’nin 5 ile Olan İlişkisi](#sayi-4abnin-5-ile-olan-iliskisi)
6. [2^(2n) Faktörünün İncelenmesi](#2-2n-faktorunun-incelenmesi)
7. [Olası Değerlerin Sistematik Taranması](#olasi-degerlerin-sistematik-taranmasi)
8. [Doğru Sayının Tespiti (4A0 ve 460 Örneği)](#dogru-sayinin-tespiti-4a0-ve-460-ornegi)
9. [p Asal Sayısının Belirlenmesi ve Rakamlar Toplamı](#p-asal-sayisinin-belirlenmesi-ve-rakamlar-toplami)
10. [Adım Adım Çözüm Tablosu](#adim-adim-cozum-tablosu)
11. [Ek Örnekler ve Yaklaşımlar](#ek-ornekler-ve-yaklasimlar)
12. [Yanlış Çözümlerin Analizi](#yanlis-cozumlerin-analizi)
13. [Sınavlarda ve Testlerde Uygulanabilecek İpuçları](#sinavlarda-ve-testlerde-uygulanabilecek-ipuclari)
14. [Özet ve Sonuç](#ozet-ve-sonuc)

* * *

## **1. Genel Bakış**

Bu soru, üç basamaklı bir sayının asal çarpanlarının belirlenmesi konusunda tipik bir örnektir. Elimizdeki sayı **4AB** biçimindedir ve:

- **4** sabit olarak yüzler basamağını oluşturur.
- **A** onlar basamağında (1~9 arasında olabilir, ancak 4 ve B ile farklı olmak zorundadır).
- **B** birler basamağında (0~9 arasında olabilir, yine 4 ve A ile farklılık göstermelidir).

Soru, bu üç basamaklı sayının asal çarpanlara ayrılınca elde edilen ifadenin:

2^{2n} \cdot 5 \cdot p

şeklinde olduğunu, **p** ’nin asal bir sayı, **n** ’in pozitif bir tam sayı olduğunu belirtir. Buradan amaç, **p** ’nin rakamları toplamını bulmaktır.

* * *

## **2. Temel Terimler ve Ön Bilgiler**

Matematiksel problemleri etkin biçimde çözebilmek için aşağıdaki kavramların net anlaşılması gerekir:

1. **Asal Sayı (Prime Number)**
  - Kendisinden ve 1’den başka pozitif böleni olmayan sayıdır (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …).

2. **Asal Çarpanlarına Ayırma (Prime Factorization)**
  - Bir sayının asal bölenlerinin çarpımı şeklinde ifade edilmesidir. Örnek: 60 = 2² × 3 × 5.

3. **n Pozitif Tam Sayı**
  - n ∈ ℕ ve n \> 0 anlamına gelir (1, 2, 3, 4, 5, …).

4. **Rakamları Farklı Üç Basamaklı Sayılar**
  - “4AB” formunda iken 4, A ve B’nin birbirinden farklı olması (örnek: 405 → rakamları 4, 0, 5’tir, hepsi farklı).

5. **2^(2n) İfadesi**
  - 2 üzeri çift bir kuvvettir (2², 2⁴, 2⁶, …). Çift kuvvet olduğu için sayının en az 2² (4), 2⁴ (16) gibi değerleri bölen olarak içermesi gerekir.

* * *

## **3. Soru İncelemesi**

- Verilen: 4AB (3 basamaklı, rakamları farklı)
- 4AB’nin asal çarpanlar çarpımı:
2^{2n} \cdot 5 \cdot p
- Burada **p** asaldır ve **n** pozitif tam sayıdır.
- Soru ise **p** ’nin rakamları toplamını sormaktadır.

Bu yapı, 4AB’nin çarpanlarına bakıldığında, sayının kesin olarak **5** içerdiğini (dolayısıyla 4AB’nin 5’e bölünebildiğini) ve ayrıca **2^(2n)** gibi bir kuvvetle bölünebildiğini göstermektedir.

* * *

## **4. Rakamları Farklı Olma Koşulu**

Bir sayının 4AB biçiminde rakamları farklı olması şu anlama gelir:

1. **Yüzler basamağı** : 4
2. **Onlar basamağı** : A
3. **Birler basamağı** : B

ve 4, A, B birbirinden farklıdır. Dolayısıyla A ≠ 4 ve B ≠ 4, ayrıca A ≠ B. Bu, aralığımızı daraltır çünkü A ve B ∈ {0,1,2,3,5,6,7,8,9} biçiminde olabilir.

* * *

## **5. Sayı 4AB’nin 5 ile Olan İlişkisi**

Sayının asal çarpanlarında 5 varsa, 4AB sayısı mutlaka 5’e bölünüyor demektir. Bir sayı 5’e bölünüyorsa, birler basamağı (B) ya **0** ya da **5** olmalıdır.

- Eğer B=5 ise, sayı 4A5 olur. Bu tip bir sayı 5’e bölünür ancak aynı zamanda 2^(2n) faktörü bulunması demek sayının çift (2 ile bölünebilir) olması gerekir. Oysa sayı 5 ile bitiyorsa tek bir sayıdır (örneğin 425, 435 vb. hepsi tektir). Bu durumda 2^(2n) (n\>0) faktörü bulunamaz. Çünkü n\>0 demek en az 2² (yani 4) gibi bir faktör demek ve o sayının kesinlikle çift olması gerekir. 4A5 ise her zaman tektir. Dolayısıyla 4A5 formu 2^(2n) faktörünü barındıramaz.

- Eğer B=0 ise, sayı 4A0 olur. Bu tip bir sayı 10 ile bittiği için 5 ve 2 zaten asgari ortak çarpan olur. Örneğin 40A formunda sonu 0 olduğu için sayının birer basamağı 0 olur, beş ile bölünür, ayrıca tek değil çifttir. 2^(2n) faktörünü de içerebilir.

Dolayısıyla B’nin 5 olma seçeneği elenince geriye **B=0** durumu kalır. Yani incelenmesi gereken sayılar 4A0 formunda olmalıdır.

* * *

## **6. 2^(2n) Faktörünün İncelenmesi**

Sayımız 4A0 yani (400 + 10A). Eğer 4A0 sayısının en az bir tane 5 çarpanı zaten var (çünkü sonu 0) ve buna ek olarak 2^(2n) çarpanı var. Burada **2n** daima çift sayıdır.

Örnek olarak 4A0 sayısını bölen 2’lerin sayısını (yani 2 üzeri hangi kuvveti içeriyor) bulmak için:

- Bir tam sayı 10 ile bitiyorsa en az 2¹ ve 5¹ içerir.
- Fakat soruda 2^(2n) gibi özel bir form var, bu 2n yazılışı sayının 2, 4, 16, 64 vb. kuvvette 2 içerdiği anlamını taşır.

Biz, 4A0’ın 2 çarpanlarının (en büyük 2 üzeri hangi kuvveti içerdiğini) inceleyerek, 2^(2n) formuna uyup uymadığını göreceğiz.

* * *

## **7. Olası Değerlerin Sistematik Taranması**

4A0 için A’nın 0~9 arasında bütün değerlerini deneyemeyeceğiz, çünkü B=0 olduğu için B ile A çoktan “0” rakamını paylaşıyor olurduk; ama B=0 sabit, A ise {1,2,3,5,6,7,8,9} içinden seçilebilir (A=0 olmaz, çünkü rakamları farklı kuralı ihlâl olur; A=4 olmaz). Ayrıca her bir 4A0’nin asal çarpanlarını incelememiz lâzım.

Aşağıda A=1’den 9’a kadar (4 ve 0 hariç, rakam farklılığı gözetilerek) 4A0 sayıları tek tek ele alınır:

1. **A=1 → 410**
  - 410 = 2 × 5 × 41
  - Bu ifade 2^1 × 5^1 × 41. Burada 2^1 var ama 1, 2n’e eşit ise n=1/2 olur ki n pozitif tam sayı olamaz.

2. **A=2 → 420**
  - 420 = 2^2 × 3 × 5 × 7
  - Bu ifade 2^2 × 3 × 5 × 7 = 2^2 × 5 × (3 × 7). Burada 2^2, 2n=2 → n=1. Oysa geriye kalan çarpan 3 × 7 = 21, ki 21 asal değildir. p asal olmalı; bu tutmaz.

3. **A=3 → 430**
  - 430 = 2 × 5 × 43
  - 2^1 var, yine n=1/2 durumu çıkar; olmaz.

4. **A=4** → 440 ama rakamları farklı değil (4 tekrarlanıyor). Elenir.
5. **A=5 → 450**
  - 450 = 2 × 3^2 × 5^2
  - 2^1 var, yine n tam sayı olmaz; elenir.

6. **A=6 → 460**
  - 460 = 2^2 × 5 × 23
  - 2^2 = 2^(2\*1), dolayısıyla n=1. Ayrıca 23 asal sayıdır. O hâlde 460’un çarpanları 2^2 × 5 × 23. Burada p=23. Rakam farklılığı da geçerli: 4,6,0 → birbirinden farklı. Bu mükemmel uyumlu.

7. **A=7 → 470**
  - 470 = 2 × 5 × 47
  - 2^1 → yine n=1/2 problem. Elenir.

8. **A=8 → 480**
  - 480 = 2^5 × 3 × 5
  - 2^5 → 5=2n → n=2.5 tam sayı değil. Elenir.

9. **A=9 → 490**
  - 490 = 2 × 5 × 7^2
  - 2^1 → n=1/2 yine tam sayı değil → elenir.

Bu sistematik taramadan açıkça görüldüğü gibi **A=6** durumda 4A0 = **460** sayısı, tam da 2^(2n)·5·p formunu karşılıyor.

* * *

## **8. Doğru Sayının Tespiti (4A0 ve 460 Örneği)**

Yukarıdaki tarama sonucunda, **460** sayısı:

- 2^2·5·23 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
- Burada 2^(2n) = 2^2, dolayısıyla **2n=2** ve **n=1** (pozitif tam sayı).
- Kalan asal çarpan ise **p=23** olup 23 bir asal sayıdır.
- Rakamları farklı mıdır? 4, 6 ve 0 → evet, hepsi farklı.

Her koşulu sağladığı için **4AB = 460** bulunur ve problemdeki **p** = 23’tür.

* * *

## **9. p Asal Sayısının Belirlenmesi ve Rakamlar Toplamı**

Bulduğumuz çarpan p = 23’tür. **p** asal sayısının rakamları: “2” ve “3”.

- Rakamları Toplamı = 2 + 3 = **5**

Dolayısıyla, soruda istenen **p** ’nin rakamları toplamı **5** olarak bulunur.

* * *

## **10. Adım Adım Çözüm Tablosu**

Aşağıdaki tabloda, “A” değerine karşılık 4A0 sayısının asal çarpanlarını ve uygunluğunu özetliyoruz:

| **A Değeri** | **4A0 Sayısı** | **Asal Çarpanları** | 2’nin Kuvveti | p Asal mı? | Uygun mu? |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 410 | 2 × 5 × 41 | 2^1 | 41 asal | n tam değil |
| 2 | 420 | 2^2 × 3 × 5 × 7 | 2^2 | 3×7=21 (asal değil) | Uygun değil |
| 3 | 430 | 2 × 5 × 43 | 2^1 | 43 asal | n tam değil |
| 4 | 440 | Rakamlar farklı değil | - | - | Elendi |
| 5 | 450 | 2 × 3^2 × 5^2 | 2^1 | Değişken | n tam değil |
| 6 | 460 | 2^2 × 5 × 23 | 2^2 (=2^(2×1)) | 23 asal | **Uygun** |
| 7 | 470 | 2 × 5 × 47 | 2^1 | 47 asal | n tam değil |
| 8 | 480 | 2^5 × 3 × 5 | 2^5 | 3 asal | n=2.5 değil |
| 9 | 490 | 2 × 5 × 7^2 | 2^1 | 7^2 değil | n tam değil |

Bu tablodan da net şekilde **A=6** seçeneğinin tek doğru cevap verdiği görülmektedir.

* * *

## **11. Ek Örnekler ve Yaklaşımlar**

- Benzer türde sorularda **B=5** seçeneğini denerken, sayı 4A5 → sonu 5 ile biten sayı tek olacağı için 2^(2n) gibi bir faktör içeremez (n\>0). Dolayısıyla orada elenmesi gerek.
- B=0 durumu, sayıyı 10 ile çarpmak gibi düşünülerek 2×5’i direkt elde etmemizi sağlar. Geriye 2’nin daha yüksek kuvvetleri kalıp kalmadığı araştırılır.
- Bulunan p=23, sorularda sıkça tercih edilen orta düzey bir asal sayı örneğidir (iki basamaklı asal).

* * *

## **12. Yanlış Çözümlerin Analizi**

Bu tip bir soruda yapılan yaygın hatalar:

1. **Son Basamağı 5 Alma**
  - Eğer B=5 alınırsa, sayı tek olur ve 2^(2n) faktörü çıkmaz. Öğrenciler “5 mutlaka var” diye 5’e bölünür düşüncesiyle 4A5’i hesaplarken 2 çarpanını atlayabilirler.

2. **Tüm Kombinasyonları Denemeden Sonuca Ulaşmak**
  - 410, 420, 430, … gibi sistematik taramayı atlayıp tahmine dayalı hesaplayanlar yanılabilir.

3. **p Asal Olma Koşulunu Atlamak**
  - 420 örneğinde olduğu gibi 2^2 × 5 × 3 × 7 elde edilir. 3×7=21 asal değildir; dolayısıyla p asal olmaz. Bunu gözden kaçıranlar hatalı yanıta gidebilir.

* * *

## **13. Sınavlarda ve Testlerde Uygulanabilecek İpuçları**

1. **Hızlı Faktöriyel Denetimi** : Soru tipinde son basamağın 0 veya 5 olduğunu fark edip B=5 veya 0 diye ayırmak, zaman kazandırır.
2. **2^(2n) Vurgusu**: Bu ifade her zaman çift sayı ve belli sayıdaki 2 çarpanı olduğunu ima eder; son basamağı 5 olan sayıların hepsi tek olduğu için elenir.
3. **Asal Olma Kontrolü** : Bulunan çarpandaki p’nin gerçekten asal olduğunu unutmayın. Bazı sorularda p, çarpanların çarpımı olup asal olmayan sonuç verebilir.
4. **Rakam Farklılığı** : Basit ama kritik bir ayrıntı. Rakamları kontrol etmeden neticeye güvenmeyin.

* * *

## **14. Özet ve Sonuç**

- Üç basamaklı 4AB sayısının asal çarpanlar çarpımı **2^(2n)·5·p** biçiminde verilmiştir.
- 5’in çarpan olması, sayının birler basamağının 0 veya 5 olduğunu gösterir. 2^(2n) (n\>0) faktörü gerektiren çiftlik şartı yüzünden B=5 seçeneği elenir; B=0 seçeneği üzerinde durulur.
- 4A0 (400 + 10A) sayısı farklı rakamlara sahip olmalı ve 2^(2n)·5·p şeklinde çarpanlarına ayrıldığında p asal kalmalıdır. Yapılan sistematik taramada **460 = 2^2·5·23** elde edilir. Burada n=1 olur ve p=23 asal sayısı bulunur.
- Son olarak **p=23** ’ün rakamları toplamı da **2 + 3 = 5** olarak hesaplanır. Bu değer seçeneklerde genellikle **B** şıkkı veya herhangi bir şıkta “5” olarak belirtilir.

Dolayısıyla **p** ’nin rakamları toplamı **5** ’tir.

* * *

@anonymous13