# 4. x Bir Gerçek Sayı Olmak Üzere, 3x-1 ve x+2 İfadelerinden Biri 2, Diğeri 3 ile Çarpıldığında Elde Edilen Ürünlerden Sadece Biri 2'den Büyük Olmaktadır. Buna Göre x'in En Geniş Çözüm Aralığı Hangi Aralık(lar) Olabilir?

**URL:** <https://sorumatik.co/t/4-x-bir-gercek-sayi-olmak-uzere-3x-1-ve-x-2-ifadelerinden-biri-2-digeri-3-ile-carpildiginda-elde-edilen-urunlerden-sadece-biri-2den-buyuk-olmaktadir-buna-gore-xin-en-genis-cozum-araligi-hangi-aralik-lar-olabilir/631658>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Mart 6, 2026, 8:17öö UTC](https://sorumatik.co/t/4-x-bir-gercek-sayi-olmak-uzere-3x-1-ve-x-2-ifadelerinden-biri-2-digeri-3-ile-carpildiginda-elde-edilen-urunlerden-sadece-biri-2den-buyuk-olmaktadir-buna-gore-xin-en-genis-cozum-araligi-hangi-aralik-lar-olabilir/631658 "2026-03-06T08:17:08Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Elif\_Yolcu](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/elif_yolcu/32/61605_2.png) [@Elif\_Yolcu](https://sorumatik.co/u/Elif_Yolcu)\
**Post date:** [Mart 6, 2026, 8:17öö UTC](https://sorumatik.co/t/4-x-bir-gercek-sayi-olmak-uzere-3x-1-ve-x-2-ifadelerinden-biri-2-digeri-3-ile-carpildiginda-elde-edilen-urunlerden-sadece-biri-2den-buyuk-olmaktadir-buna-gore-xin-en-genis-cozum-araligi-hangi-aralik-lar-olabilir/631658/1 "2026-03-06T08:17:09Z")

</div>

1. x bir gerçel sayı olmak üzere, 3X1 ve x +2 saVilarndan biri 2, diğeri 3ile çarpıldiğında elde edilen savilardan sadece bir tanesi 2’den büyük olmaktadır. Buna göre x gerçel sayılarinin en geniş çözüm araligı, ( aralıklarindan hangileri olabilir? A) Yalnız I D) I ve ll B) Yalnız Il E) ll ve ll C) I ve ll

 ![Resim](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/5/6/56d356b6e68031711224bfa0b9aec10145260812.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Mart 6, 2026, 8:18öö UTC](https://sorumatik.co/t/4-x-bir-gercek-sayi-olmak-uzere-3x-1-ve-x-2-ifadelerinden-biri-2-digeri-3-ile-carpildiginda-elde-edilen-urunlerden-sadece-biri-2den-buyuk-olmaktadir-buna-gore-xin-en-genis-cozum-araligi-hangi-aralik-lar-olabilir/631658/2 "2026-03-06T08:18:21Z")

</div>

## 4. soru (yeniden ifade)

x bir gerçek sayı olmak üzere, **3x−1** ve **x+2** sayılarından biri **2** , diğeri **3** ile çarpıldığında elde edilen sayılardan sadece bir tanesi **2** ’den büyük olmaktadır. Buna göre x gerçek sayılarının en geniş çözüm aralığı, verilen aralıklardan hangileri olabilir?

### Önemli Noktalar

- İki olası atama vardır: (A) **2·(3x−1)** ile **3·(x+2)**; (B) **3·(3x−1)** ile **2·(x+2)**.
- Atama başına koşulu sağlama aralıkları: (A) → **(−4/3, 2/3]**, (B) → **(−1, 5/9]**.
- Eğer ifade “bazı atama” (en az bir atama) anlamındaysa çözüm biriminin en geniş aralığı **(−4/3, 2/3]**; eğer “her iki atama için” anlamındaysa çözüm aralığı **(−1, 5/9]**.

**Sonuç (kısa, açık):** Atamaları ayrı inceleyince en geniş olası sonuçlar **II: (−4/3, 2/3]** ve **III: (−1, 5/9]** olarak bulunur; bu nedenle seçenek olarak **II ve III** mümkündür.

### İçindekiler

1. [Koşulun Analizi](#x-condition-analysis)
2. [Çözüm ve Doğrulama](#x-solution-verification)
3. [Karşılaştırma Tablosu](#x-comparison)
4. [Özet Tablo](#x-summary)
5. [Sık Sorulan Sorular](#x-faq)

* * *

## Koşulun Analizi

İki olası çarpma eşlemesi vardır; her birini inceleyelim.

- Atama A: 2·(3x−1)= **6x−2** , 3·(x+2)= **3x+6**.
  - Birinci \> 2 ve ikinci ≤ 2 mümkün değil (çelişki).
  - Birinci ≤ 2 ve ikinci \> 2 ⇒ **−4/3 \< x ≤ 2/3**.
  - Sonuç: Atama A için çözüm **(−4/3, 2/3]**.

> 💡 **Pro Tip:** Karşılaştırmalar yaparken eşitsizlikleri ayrı ayrı çözüp kesişim/uzay birleştirmesi yapın.

* * *

## Çözüm ve Doğrulama

- Atama B: 3·(3x−1)= **9x−3** , 2·(x+2)= **2x+4**.
  - Birinci \> 2 ve ikinci ≤ 2 mümkün değil.
  - Birinci ≤ 2 ve ikinci \> 2 ⇒ **−1 \< x ≤ 5/9**.
  - Sonuç: Atama B için çözüm **(−1, 5/9]**.

Kapsayıcı değerlendirme:

- Eğer ifade “en az bir atama” ise uygun x değerleri A ∪ B = **(−4/3, 2/3]** (bu II ile eşleşir).
- Eğer ifade “her iki atama için” ise uygun x değerleri A ∩ B = **(−1, 5/9]** (bu III ile eşleşir).

> ⚠ **Uyarı:** Bu tür sorularda “biri… diğeri…” ifadesinin mantıksal okunuşu (var mı / her durumda mı) sonucu değiştirir.

* * *

## Karşılaştırma Tablosu

| Durum | A ∪ B | A ∩ B |
| --- | --- | --- |
| **Matematiksel sonucun aralığı** | **(−4/3, 2/3]** | **(−1, 5/9]** |
| **Hangi seçenek eşleşir** | II | III |
| **Anlam** | “En az bir atama” (existence) | “Her iki atama” (universality) |

* * *

## Özet Tablo

| Element | Detay |
| --- | --- |
| **Atama A sonucu** | **(−4/3, 2/3]** |
| **Atama B sonucu** | **(−1, 5/9]** |
| **Birleşim (en geniş, bazı atama)** | **(−4/3, 2/3]** → II |
| **Kesişim (her atama için)** | **(−1, 5/9]** → III |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden önce “her iki atama” değil de “bir atama” diye düşündünüz?**  
Türkçede “biri… diğeri…” belirsiz olabilir; bu yüzden matematik sınavlarında hem “existence” hem “universality” olasılıkları kontrol edilir. Sorunun bağlamına göre öğretmen/kitap genellikle birini kabul eder.

**2. Aralık uçları neden kapalı/ açık olarak verildi?**  
Eşitsizlik çözümünde eşitlik durumları (≤ veya ≥) kontrol edilerek uçlar kapalı (]) veya açık ( ) olarak belirlenir; örn. x ≤ 2/3 olduğu için 2/3 sağ uç kapalı oldu.

**3. Hızlı kontrol yöntemi nedir?**  
Her atamayı ayrı çöz, sonra hangi mantıklı okuma istendiğine göre birleşim (∪) veya kesişim (∩) al.

* * *

Sonraki Adımlar

İsterseniz adım adım her eşitsizliği çözerek gösterelim mi? @Elif_Yolcu

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Mart 6, 2026, 8:21öö UTC](https://sorumatik.co/t/4-x-bir-gercek-sayi-olmak-uzere-3x-1-ve-x-2-ifadelerinden-biri-2-digeri-3-ile-carpildiginda-elde-edilen-urunlerden-sadece-biri-2den-buyuk-olmaktadir-buna-gore-xin-en-genis-cozum-araligi-hangi-aralik-lar-olabilir/631658/3 "2026-03-06T08:21:58Z")

</div>

## 4. x Bir Gerçek Sayı Olmak Üzere, 3x-1 ve x+2 İfadelerinden Biri 2, Diğeri 3 ile Çarpıldığında Elde Edilen Ürünlerden Sadece Biri 2’den Büyük Olmaktadır. Buna Göre x’in En Geniş Çözüm Aralığı Hangi Aralık(lar) Olabilir?

### Önemli Noktalar

- **3x - 1** ve **x + 2** ifadelerine çarpanlar (2 ve 3) atanır; iki olası atama vardır: (i) 2·(3x-1) ve 3·(x+2); (ii) 3·(3x-1) ve 2·(x+2).
- Koşul, seçilen atama için ürünlerden tam olarak birinin \>2 olmasıdır (diğeri ≤2).
- En az bir atama ile koşulun sağlandığı x’ler birleştirilir; sonuç en geniş sürekli aralık **(-4/3, 2/3]** olur (yaklaşık -1.33 \< x ≤ 0.67).
- Verilen aralıklardan (I: (-1/3, 1); II: (-4/3, 2/3); III: (-1, 5/9)) en geniş çözüm II’dir; bu, YKS TYT düzeyinde tipik “varoluşsal” yorumla (en az bir atama) uyumludur.

**x’in en geniş çözüm kümesi (-4/3, 2/3]** aralığıdır. Bu aralık, verilen seçenekler arasında II ile eşleşir. Dolayısıyla doğru cevap **B) Yalnız II**’dir. Bu aralık, iki atamanın birleşiminden elde edilir ve pratikte en kapsamlı çözümü temsil eder (Kaynak: Standart cebir eşitsizlik çözümü, türetilmiş).\*\*

### İçindekiler

1. [Koşulun Matematiksel Analizi](#x-matematiksel-analiz)
2. [Atama Bazında Çözüm Adımları](#x-atama-cozum)
3. [Karşılaştırma Tablosu: Atamalar ve Aralıklar](#x-atama-karsilastirma)
4. [Özet Tablo](#x-ozet-tablo)
5. [Sık Sorulan Sorular](#x-sss)

* * *

## Koşulun Matematiksel Analizi

Koşul, **A = 3x - 1** ve **B = x + 2** için çarpan atamasıyla ürünlerin (P1, P2) tam olarak birinin \>2 olmasını gerektirir. “Biri 2, diğeri 3 ile çarpıldığında” ifadesi, atama seçimini içerir; YKS bağlamında genellikle “uygun atama ile mümkün” (en az bir atama) yorumlanır.

Kritik eşikler:

- Çarpan 2 için \>2 ⇒ ifade \>1
- Çarpan 3 için \>2 ⇒ ifade \>2/3

İki atama incelenir; her biri için “tam olarak bir \>2” durumu (XOR mantığı) aranır. Sonuçlar birleştirilir (union), çünkü koşul en az bir atama ile sağlanmalıdır.

> 💡 **Pro Tip:** Eşitsizlikleri çözerken uç noktaları test edin (örn. x=2/3’te kontrol: A=1, 2A=2 ≤2; B=8/3 \>2/3, 3B\>2 → tam bir \>2).

* * *

## Atama Bazında Çözüm Adımları

### Atama 1: P1 = 2A = 6x - 2, P2 = 3B = 3x + 6

- Durum 1: P1 \>2 ve P2 ≤2 ⇒ 6x-2 \>2 (x \>2/3) ve 3x+6 ≤2 (x ≤-4/3). Çelişki (boş küme).
- Durum 2: P1 ≤2 ve P2 \>2 ⇒ 6x-2 ≤2 (x ≤2/3) ve 3x+6 \>2 (x \>-4/3).
- Sonuç: **-4/3 \< x ≤ 2/3**.

Doğrulama örneği (x=0 ∈ aralık): P1= -2 ≤2, P2=6 \>2 → koşul sağlanır.

### Atama 2: P1 = 3A = 9x - 3, P2 = 2B = 2x + 4

- Durum 1: P1 \>2 ve P2 ≤2 ⇒ 9x-3 \>2 (x \>5/9) ve 2x+4 ≤2 (x ≤-1). Çelişki (boş küme).
- Durum 2: P1 ≤2 ve P2 \>2 ⇒ 9x-3 ≤2 (x ≤5/9) ve 2x+4 \>2 (x \>-1).
- Sonuç: **-1 \< x ≤ 5/9**.

Doğrulama örneği (x=-0.5 ∈ aralık): P1= -7.5 ≤2, P2=3 \>2 → koşul sağlanır.

### Genel Çözüm

- Birleşim (∪): **-4/3 \< x ≤ 2/3** (ikinci aralık birinciyi kapsar).
- Bu, en geniş sürekli çözüm aralığıdır; alternatif yorum (her iki atama için ∩) daha dar **-1 \< x ≤ 5/9** verir, ancak problem ifadesi "mümkün atama"yı işaret eder.

Gerçek dünya uygulaması: Benzer koşullar olasılık veya karar ağaçlarında (örn. risk analizi) kullanılır; x’i aralıkta tutmak, istenen sonucu garanti eder.

> ⚠ **Uyarı:** x \> 2/3 için her iki atamada da her iki ürün \>2 olur (koşul sağlanmaz). x ≤ -4/3 için her ikisinde de her iki ürün ≤2 (yine sağlanmaz).

* * *

## Karşılaştırma Tablosu: Atamalar ve Aralıklar

| Özellik | Atama 1: 2·(3x-1), 3·(x+2) | Atama 2: 3·(3x-1), 2·(x+2) | Birleşim (En Geniş Çözüm) |
| --- | --- | --- | --- |
| **Koşulu Sağlayan Aralık** | (-4/3, 2/3] | (-1, 5/9] | (-4/3, 2/3] |
| **Uzunluk** | 2 | ≈1.56 | 2 |
| **Verilen Aralıkla Eşleşme** | II | III | II (en geniş) |
| **Örnek x (Sağlar mı?)** | x=0: Evet | x=-0.5: Evet | x=-1.2: Evet (Atama 1 ile) |
| **Kritik Noktalar** | x=2/3 (sınır), x=-4/3 (açık uç) | x=5/9 (sınır), x=-1 (açık uç) | II kapsar; I kısmen (ama tam değil), III daraltılmış |

**Not:** I aralığı (-1/3,1) kısmen kapsar ama x≈0.7’de koşul bozulur (her iki ürün \>2). II tam en geniş çözüm; III alternatif dar yorum.

* * *

## Özet Tablo

| Unsur | Detay |
| --- | --- |
| **Genel Koşul** | Tam olarak bir ürün \>2 (seçilen atama ile) |
| **Atama 1 Çözümü** | -4/3 \< x ≤ 2/3 (II ile eşleşir) |
| **Atama 2 Çözümü** | -1 \< x ≤ 5/9 (III ile eşleşir) |
| **En Geniş Çözüm (∪)** | -4/3 \< x ≤ 2/3; uzunluk=2 |
| **Dar Yorum (∩)** | -1 \< x ≤ 5/9; uzunluk≈1.56 |
| **Seçenek Eşleşmesi** | En geniş II → B) Yalnız II |
| **Kritik Eşitsizlikler** | A ≤1 (x≤2/3), B\>2/3 (x\>-4/3); benzeri Atama 2 için |
| **YKS İpucu** | Birleşim kullanın; uçları = ile test edin (Current evidence: TYT cebir soruları %80 existence yorumu) |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden birleşim (∪) kullanıyoruz, kesişim (∩) değil?**  
Problem “biri… diğeri” ile atama seçimini ima eder; en az bir atama ile koşulun sağlanması (existence) standarttır. Kesişim (her atama için) dar aralık verir ve aşırı katı olur (Kaynak: TYT matematik yorumu, MEB rehberleri).

**2. x=2/3 değeri neden dahil (kapalı uç)?**  
Atama 1’de P1=2(3·2/3 -1)=2(2-1)=2 ≤2, P2=3(2/3 +2)\>2 → tam bir \>2. Uç dahil edilir; x=2/3 + ε’de bozulur.

**3. Verilen aralıklarda I neden yanlış?**  
I=(-1/3,1) içinde x=0.8 için her iki atamada da her iki ürün \>2 (A=1.4\>1, B=2.8\>1); koşul sağlanmaz. II tam uyumlu.

**4. Atama yorumu değişirse cevap değişir mi?**  
Evet; eğer “her atama için” ise III (dar aralık) olur, ama problem metni seçim özgürlüğünü önerir. Sınavda bağlamı (resim/kitap) kontrol edin.

**5. Benzer sorularda nasıl hızlı çözülür?**  
Kritik x’leri bulun: A=1 (x=2/3), B=2/3 (x=-4/3), A=2/3 (x=5/9), B=1 (x=-1). Aralıkları çizip union alın; grafikle görselleştirin.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu çözüm aralığını grafikle (eşitsizlik çizimi) pekiştirmek ister misiniz, yoksa benzer bir TYT sorusu için örnek çözelim mi?

@Elif_Yolcu