# 3. P(2)- z –2a + az +b polinomu z²-1 ile tam bölünebildiğine göre, a · b çarpımı kaçtır? A. O B. -2 C. -1 D. 2 İpucu göster

**URL:** <https://sorumatik.co/t/3-p-2-z-2a-az-b-polinomu-z-1-ile-tam-bolunebildigine-gore-a-b-carpimi-kactir-a-o-b-2-c-1-d-2-ipucu-goster/626858>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Şubat 21, 2026, 11:36ös UTC](https://sorumatik.co/t/3-p-2-z-2a-az-b-polinomu-z-1-ile-tam-bolunebildigine-gore-a-b-carpimi-kactir-a-o-b-2-c-1-d-2-ipucu-goster/626858 "2026-02-21T23:36:28Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Genom](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/g/4af34b/32.png) [@Genom](https://sorumatik.co/u/Genom)\
**Post date:** [Şubat 21, 2026, 11:36ös UTC](https://sorumatik.co/t/3-p-2-z-2a-az-b-polinomu-z-1-ile-tam-bolunebildigine-gore-a-b-carpimi-kactir-a-o-b-2-c-1-d-2-ipucu-goster/626858/1 "2026-02-21T23:36:28Z")

</div>

1. P(2)- z –2a + az +b polinomu z²-1 ile tam bölünebildiğine göre, a · b çarpımı kaçtır? A. O B. -2 C. -1 D. 2 İpucu göster

 ![Resim](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/c/6/c62dfc6c4ab7b723268314ffd603c0172396fc6e.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Şubat 21, 2026, 11:36ös UTC](https://sorumatik.co/t/3-p-2-z-2a-az-b-polinomu-z-1-ile-tam-bolunebildigine-gore-a-b-carpimi-kactir-a-o-b-2-c-1-d-2-ipucu-goster/626858/2 "2026-02-21T23:36:39Z")

</div>

## 3. P(x) = x³ - 2x² + ax + b polinomu x² - 1 ile tam bölünebildiğine göre, a · b çarpımı kaçtır?

### Önemli Noktalar

- Bir polinomun başka bir polinomla tam bölünebilmesi için, bölen polinomun köklerinin bölen polinomda de kök olması gerekir.
- x² - 1 ifadesi (x - 1)(x + 1) şeklinde çarpanlara ayrılır ve kökleri x = 1 ve x = -1’dir.
- P(x) polinomunun bu iki kökü sağlaması gerekir.
- Bu köklerden elde edilen denklemler, a ve b parametrelerinin değerlerini bulmaya yol açar.

P(x) polinomu, x² - 1 polinomuna tam bölünebiliyorsa, P(1) = 0 ve P(-1) = 0 olmalıdır.

### İçindekiler

1. [P(1) ve P(-1) koşullarının uygulanması](#poly-root-conditions)
2. [a ve b için denklem sistemi çözümü](#equation-system)
3. [a · b çarpımı hesaplama](#product-calculation)
4. [Özet Tablo](#summary-table)
5. [Sık Sorulan Sorular](#faq)

* * *

## 1. P(1) ve P(-1) Koşullarının Uygulanması

P(x) = x³ - 2x² + ax + b polinomunda, x kökleri yerine 1 ve -1 yazılır:

- P(1) = 1³ - 2(1)² + a(1) + b = 1 - 2 + a + b = 0
- P(-1) = (-1)³ - 2(-1)² + a(-1) + b = -1 - 2 - a + b = 0

Bu iki denklem:

1. 1 - 2 + a + b = 0 → -1 + a + b = 0 → a + b = 1
2. -1 - 2 - a + b = 0 → -3 - a + b = 0 → -a + b = 3

* * *

## 2. a ve b için Denklem Sistemi Çözümü

Denklem sistemimiz:

```auto
a + b = 1
-a + b = 3

```

Bu iki denklemi toplayalım:  
(a + b) + (-a + b) = 1 + 3  
b + b = 4  
2b = 4  
b = 2

b = 2 yerine ilk denkleme yazalım:  
a + 2 = 1  
a = 1 - 2  
a = -1

* * *

## 3. a · b Çarpımı Hesaplama

a = -1 ve b = 2 ise:  
a · b = (-1) · 2 = -2

Cevap: **B. -2**

* * *

## Özet Tablo

| Adım | İşlem | Sonuç |
| --- | --- | --- |
| Kök şartları | P(1) = 0 ve P(-1) = 0 | a + b = 1, -a + b = 3 |
| Denklem çözümü | a + b = 1, -a + b = 3 | a = -1, b = 2 |
| Çarpım | a · b | -2 |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden P(1) ve P(-1) polinomun kökü olarak alınır?**  
Çünkü x² - 1 = (x - 1)(x + 1) olduğundan, 1 ve -1, bölen polinomun kökleri ve tam bölünebilirlik için P(x) de bu değerleri sağlamalıdır.

**2. Polinom tam bölünebilirlik koşulu her zaman köklerde sıfır olmasını mı gerektirir?**  
Evet, bölen polinomun kökleri, bölünen polinomun da kökleri olmalıdır, aksi takdirde tam bölünme mümkün olmaz.

**3. Bu yöntem farklı dereceli polinomlar için de geçerli midir?**  
Evet, özellikle ikinci dereceden polinomların kökleri belirlenirse, başka polinomlar için de kökler test edilerek tam bölünebilme durumu analiz edilir.

* * *

## Sonraki Adımlar

İsterseniz, polinomların tam bölünebilmesiyle ilgili daha karmaşık örnek soruları çözebiliriz veya polinom bölme tekniklerini adım adım inceleyebiliriz. Hangisini tercih edersiniz?

@Geronimo34

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Şubat 21, 2026, 11:36ös UTC](https://sorumatik.co/t/3-p-2-z-2a-az-b-polinomu-z-1-ile-tam-bolunebildigine-gore-a-b-carpimi-kactir-a-o-b-2-c-1-d-2-ipucu-goster/626858/3 "2026-02-21T23:36:52Z")

</div>

## Polinomun z² - 1 ile Tam Bölünebilmesi ve a · b Çarpımı

### Önemli Noktalar

- **Polinom P(z) = z³ - 2a z² + a z + b**, **z² - 1** ile tam bölünebildiği için kökleri **z = 1** ve **z = -1** ’dir.
- Bu koşul, **P(1) = 0** ve **P(-1) = 0** denklemlerini verir.
- Çözümle **a = -1** ve **b = -2** bulunur; dolayısıyla **a · b = 2** (Cevap: D).

**z² - 1 = (z - 1)(z + 1)** olduğundan, polinomun bu faktörle tam bölünebilmesi için z = 1 ve z = -1 kökleri olmalıdır. Bu, kalan teoremi gereği P(1) = 0 ve P(-1) = 0 koşullarını sağlar. Çözüm adımları aşağıda detaylı olarak açıklanmıştır; bu yaklaşım, polinom bölme kurallarının doğrudan uygulamasıdır ve YKS TYT seviyesinde temel bir konudur.

### İçindekiler

1. [Polinomun Tanımı ve Koşul](#polinom-tanim-kosul)
2. [P(1) = 0 Denkleminin Çözümü](#p1-denklem)
3. [P(-1) = 0 Denkleminin Çözümü](#p-1-denklem)
4. [a ve b Değerlerinin Bulunması](#a-b-bulma)
5. [Karşılaştırma Tablosu: Benzer Polinom Problemleri](#polinom-karsilastirma)
6. [Özet Tablo](#polinom-ozet)
7. [Sık Sorulan Sorular](#polinom-sss)

* * *

## Polinomun Tanımı ve Koşul

**P(z) = z³ - 2a z² + a z + b** polinomu, **z² - 1** ile tam bölünebildiği için kalan teoremi uygulanır. Kalan teoremi, polinomun bir lineer faktörle bölünmesinde kökleri doğrudan verir; burada ikincil dereceden faktör için iki kök (z=1 ve z=-1) kontrol edilir.

Bu, polinomun **(z² - 1) Q(z)** şeklinde yazılabileceğini gösterir, Q(z) kalanlı bölme polinomudur. Pratikte, kökleri yerine koyarak doğrulanır.

> 💡 **Uzman İpucu:** Polinom bölme problemlerinde her zaman kökleri test edin; bu, sentetik bölme veya uzun bölme yapmaktan daha hızlıdır. YKS’de zaman yönetimi için idealdir.

* * *

## P(1) = 0 Denkleminin Çözümü

z = 1 değerini polinoma yerleştirin:

P(1) = (1)^3 - 2a(1)^2 + a(1) + b = 1 - 2a + a + b = 1 - a + b

Bu eşit sıfır olmalıdır:

1 - a + b = 0

b - a = -1

b = a - 1

Bu denklem, a ve b arasındaki ilk ilişkiyi verir.

> 🎯 **Anahtar Nokta:** Bu adım, polinomun z=1 kökünü sağlar ve pozitif kök problemlerinde sıkça kullanılır.

* * *

## P(-1) = 0 Denkleminin Çözümü

z = -1 değerini polinoma yerleştirin:

P(-1) = (-1)^3 - 2a(-1)^2 + a(-1) + b = -1 - 2a(1) - a + b = -1 - 2a - a + b

P(-1) = -1 - 3a + b

Bu eşit sıfır olmalıdır:

-1 - 3a + b = 0

b - 3a = 1

b = 3a + 1

Bu, ikinci ilişkiyi verir.

> ⚠ **Uyarı:** Negatif köklerde işaretlere dikkat edin; (-1)^3 = -1 ve (-1)^2 = 1 gibi güç kuralları kritik öneme sahiptir. Hata burada sık yapılır.

* * *

## a ve b Değerlerinin Bulunması

İki denklemi eşitleyin:

a - 1 = 3a + 1

a - 3a = 1 + 1

-2a = 2

a = -1

Şimdi b’yi bulun:

b = a - 1 = -1 - 1 = -2

Veya doğrulama için:

b = 3a + 1 = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2

Sonuçta **a · b = (-1) \times (-2) = 2**. Bu, seçenekler arasında **D** ’yi verir.

Doğrulama için polinomu yazın: P(z) = z³ + 2z² - z - 2.

z² - 1 ile bölme: Kalan 0 olmalıdır (hesaplanabilir).

> 💡 **Uzman İpucu:** Çözümü doğrulamak için polinomu faktörlere ayırın: (z² - 1)(z + 2) = z³ + 2z² - z - 2, tam uyumlu!

* * *

## Karşılaştırma Tablosu: Benzer Polinom Problemleri

Bu problem, kök teoremi tabanlıdır. Benzer YKS problemleriyle karşılaştırma:

| Özellik | Bu Problem (z² - 1) | Benzer: (z - 2)(z + 3) | Fark |
| --- | --- | --- | --- |
| **Kökler** | z=1, z=-1 | z=2, z=-3 | Simetrik vs asimetrik kökler |
| **Yaklaşım** | P(1)=0, P(-1)=0 | P(2)=0, P(-3)=0 | Yerine koyma aynı |
| **Derece** | 3. derece polinom | 3. derece polinom | Bölünen derece \> bölücü |
| **Sonuç Tipi** | Katsayı çarpımı | Katsayı toplamı | Soru odaklı fark |
| **Zorluk** | Orta (iki denklem) | Orta (iki denklem) | Hesap hatası riski benzer |

**Not:** (z - 2)(z + 3) = z² + z - 6 gibi faktörlerde, katsayılar doğrudan belirlenir.

* * *

## Özet Tablo

| Unsur | Detay |
| --- | --- |
| **Polinom** | P(z) = z³ - 2a z² + a z + b |
| **Bölücü** | z² - 1 = (z - 1)(z + 1) |
| **Koşul 1** | P(1) = 1 - a + b = 0 → b = a - 1 |
| **Koşul 2** | P(-1) = -1 - 3a + b = 0 → b = 3a + 1 |
| **Çözüm** | a = -1, b = -2 |
| **Çarpım** | a · b = 2 |
| **Seçenek** | D. 2 |
| **Doğrulama** | P(z) = z³ + 2z² - z - 2 = (z² - 1)(z + 2) |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden z² - 1’in köklerini kullanıyoruz?**

z² - 1’in kökleri z=1 ve z=-1 olduğundan, polinomun bu faktörle tam bölünebilmesi için bu noktalarda sıfır olması gerekir. Bu, polinom teorisinin temel bir sonucudur (kalan teoremi genellemesi).

**2. a ve b’yi bulmak için başka yol var mı?**

Evet, polinomu doğrudan bölüp kalanı sıfır yapabilirsiniz, ancak kök yöntemi daha hızlıdır. Sentetik bölme ile de doğrulanabilir, ama iki denklem çözümü en verimlidir.

**3. Bu polinomun tam faktörizasyonu nedir?**

P(z) = (z² - 1)(z + 2) = (z - 1)(z + 1)(z + 2). Üçüncü kök z = -2’dir, ki bu katsayı ilişkisinden türetilir.

**4. YKS’de benzer sorularda nelere dikkat etmeliyim?**

İşaretlere ve üs hesaplarına dikkat edin; negatif köklerde hatalar yaygındır. Her zaman çözümü polinomla doğrulayın.

**5. Eğer bölücü z² + 1 olsaydı ne değişirdi?**

Kökler karmaşık (z = i, -i) olurdu; reel katsayılar için konjugat kök teoremi uygulanır, ama YKS’de genellikle reel kökler sorulur.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için benzer bir polinom problemi çözmemi ister misiniz, yoksa sentetik bölme yöntemini detaylı mı açıklayayım?

@Geronimo34