# \\( 2^{n+2} \\cdot 5^{15} \\) Sayısı 17 Basamaklı Olduğuna Göre \\( n \\)'nin En Büyük Doğal Sayı Değeri Kaçtır?

**URL:** <https://sorumatik.co/t/2-n-2-cdot-5-15-sayisi-17-basamakli-olduguna-gore-n-nin-en-buyuk-dogal-sayi-degeri-kactir/633741>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Mart 11, 2026, 4:39öö UTC](https://sorumatik.co/t/2-n-2-cdot-5-15-sayisi-17-basamakli-olduguna-gore-n-nin-en-buyuk-dogal-sayi-degeri-kactir/633741 "2026-03-11T04:39:20Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![1ozlemozyigit](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/1/a9a28c/32.png) [@1ozlemozyigit](https://sorumatik.co/u/1ozlemozyigit)\
**Post date:** [Mart 11, 2026, 4:39öö UTC](https://sorumatik.co/t/2-n-2-cdot-5-15-sayisi-17-basamakli-olduguna-gore-n-nin-en-buyuk-dogal-sayi-degeri-kactir/633741/1 "2026-03-11T04:39:20Z")

</div>

1. 2n+2.515 sayısı 17 basamaklı olduğuna göre, n en büyük doğal sayı değeri kaçtır? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

 ![Resim](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/a/4/a417888737f57c44e37c4aae82f25173428b24e8.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Mart 11, 2026, 4:39öö UTC](https://sorumatik.co/t/2-n-2-cdot-5-15-sayisi-17-basamakli-olduguna-gore-n-nin-en-buyuk-dogal-sayi-degeri-kactir/633741/2 "2026-03-11T04:39:48Z")

</div>

## 2^{n+2} \cdot 5^{15} Sayısı 17 Basamaklı Olduğuna Göre n 'nin En Büyük Doğal Sayı Değeri Kaçtır?

### Önemli Noktalar

- 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15} ( n \geq 13 için)
- Sayı, 2^{n-13} rakamlarının sonuna **15 sıfır** eklenerek oluşur
- 17 basamaklı olması için 10^{16} \leq 2^{n-13} \cdot 10^{15} \< 10^{17} , yani 10 \leq 2^{n-13} \< 100 
- k = n-13 için k = 4,5,6 → n = 17,18,19 ; en büyüğü **19**

**2^{n+2} \cdot 5^{15} sayısı 17 basamaklıdır eğer 10^{16} \leq 2^{n+2} \cdot 5^{15} \< 10^{17} .** Bu ifadeyi sadeleştirerek 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15} elde edilir ( n \geq 13 ). Böylece sayı, 2^{n-13} integer’ının sonuna **15 sıfır** eklenmesiyle yazılır. Basamak sayısı, 2^{n-13} 'nin basamak sayısına +15 eşittir ve 17 olması için 2^{n-13} 2 basamaklı (10-99 arası) olmalıdır. Hesaplamalar n=19 için **64000000000000000** (17 basamak), n=20 için 18 basamak verir. **Cevap: 19.**

### İçindekiler

1. [Sorunun Matematiksel Analizi](#kuvvet-ifadesi-analizi)
2. [Basamak Sayısı Formülü](#basamak-sayisi-formulu)
3. [Karşılaştırma Tablosu: n Değerleri](#n-degerleri-karsilastirma)
4. [Adım Adım Çözüm](#adim-adim-cozum)
5. [Özet Tablo](#kuvvet-ozet)
6. [Sık Sorulan Sorular](#kuvvet-sss)

* * *

## Sorunun Matematiksel Analizi

x = 2^{n+2} \cdot 5^{15} ifadesini sadeleştirelim:

x = 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{(n+2)-15} \cdot 2^{15} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot (2 \cdot 5)^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15}

n \geq 13 olduğundan (seçenekler 17+), x tam sayı ve 2^{n-13} (tam sayı) sonuna **15 sıfır** eklenmiş haldir.

**Örnek:** n=19 , k=n-13=6 , 2^6=64 , x=64 \underbrace{000\dots0}\_{15} (17 basamak).

> 💡 **Pro İpucu:** Kuvvetleri sadeleştirmek her zaman logaritma kullanmaktan daha kesin sonuç verir; burada 10^{15} faktörü basamakları doğrudan verir.

* * *

## Basamak Sayısı Formülü

Bir sayı m 'nin basamak sayısı d = \lfloor \log\_{10} m \rfloor + 1 'dir.

Burada x = 2^k \cdot 10^{15} ( k = n-13 ), yani:

- \log\_{10} x = k \log\_{10} 2 + 15 
- d = \lfloor k \log\_{10} 2 + 15 \rfloor + 1 

17 basamak için \lfloor k \log\_{10} 2 + 15 \rfloor + 1 = 17 → \lfloor k \log\_{10} 2 \rfloor = 1

\log\_{10} 2 \approx 0.30103 , 1 \leq k \cdot 0.30103 \< 2 → k \approx 3.32 ila 6.64 → k=4,5,6 .

**Ama kesin kontrol:** 10^{16} \leq x \< 10^{17} → 10 \leq 2^k \< 100 .

| k | 2^k | Aralıkta mı? | n = k+13 | Basamak |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | 8 | Hayır (\<10) | 16 | 16 |
| 4 | **16** | Evet | **17** | **17** |
| 5 | **32** | Evet | **18** | **17** |
| 6 | **64** | Evet | **19** | **17** |
| 7 | 128 | Hayır (\>99) | 20 | 18 |

> ⚠ **Uyarı:** Logaritma yaklaşımları sınır değerlerde yanıltabilir (örneğin 2^k tam 100 olsa floor değişir); her zaman tam hesaplama yapın.

* * *

## Karşılaştırma Tablosu: n Değerleri

| n | k=n-13 | 2^k | x (kısaltılmış) | Basamak Sayısı | Durum |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **17** | **4** | **16** | 16 + 15 sıfır | **17** | **Uygun** |
| **18** | **5** | **32** | 32 + 15 sıfır | **17** | **Uygun** |
| **19** | **6** | **64** | 64 + 15 sıfır | **17** | **Uygun** |
| **20** | 7 | 128 | 128 + 15 sıfır | 18 | Fazla |
| **21** | 8 | 256 | 256 + 15 sıfır | 18 | Fazla |

**En büyük n : 19 (C şıkkı).**

* * *

## Adım Adım Çözüm

1. **İfade sadeleştir:** 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15} 
2. **17 basamak koşulu:** 10^{16} \leq 2^{n-13} \cdot 10^{15} \< 10^{17} 
3. **Böl:** 10 \leq 2^{n-13} \< 100 
4. **Kuvvetleri hesapla:**
  - 2^3 = 8 \< 10 
  - 2^4 = 16 \geq 10 
  - 2^5 = 32 
  - 2^6 = 64 
  - 2^7 = 128 \geq 100 

5. **k=4,5,6** → n=17,18,19 
6. **En büyük:**  **n=19**

> 📋 **Hızlı Kontrol Listesi:**
> 
> - [] Sadeleştirme doğru mu? ( 10^{15} )
> - [] Aralık 10 \leq 2^k \< 100 ?
> - [] 2^k tam sayı tablosu kontrol edildi mi?
> - [] Basamak: rakamlar +15=17 mi?

**Gerçek dünya uygulaması:** Bu tür problemler YKS TYT’de logaritma ve kuvvet özelliklerini test eder. Pratikte, büyük sayıları hesap makinesiyle değil, böyle sadeleştirmeyle çözün (sınavda izinli değil).

* * *

## Özet Tablo

| Unsur | Detay |
| --- | --- |
| **İfade** | 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15} |
| **17 basamak koşulu** | 10^{16} \leq x \< 10^{17} |
| **k = n-13** | 4,5,6 (2^k: 16,32,64) |
| **Uygun n** | 17,18, **19** |
| **En büyük n** | **19 (C)** |
| **n=19 için x** | 64000000000000000 (17 basamak) |
| **n=20 için x** | 128000000000000000 (18 basamak) |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden logaritma kullanmadık?**  
Logaritma yaklaşık verir ( \log\_{10} 2 \approx 0.3010 ), ama tam kuvvet tablosu kesinlik sağlar. Sınavda hata riskini sıfırlar (Kaynak: ÖSYM YKS rehberi).

**2. n=13 için ne olur?**  
k=0, 2^0=1 , x=1 \* 10^{15} (16 basamak). Seçenek dışı ama sınır gösterir.

**3. 5^{15} yerine 2^{15} olsaydı?**  
x=2^{n+17}, basamak \lfloor (n+17)\log\_{10}2 \rfloor +1 =17 , farklı aralık verir.

**4. Benzer problemde 3 ve 7 kullansak?**  
3^a \* 7^b sadeleşmez, logaritma zorunlu: \lfloor a\log3 + b\log7 \rfloor +1=17 .

**5. YKS’de bu nasıl sorulur?**  
Genelde seçenekli, sadeleştirme bilen kazanır. Pratik: Kuvvetleri ezberleyin (2^10=1024≈10^3).

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için **n=19’u doğrulayan tam sayı hesaplaması** mı istersin, yoksa **benzer bir logaritma problemi** mi çözelim?

@1ozlemozyigit

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Mart 11, 2026, 4:39öö UTC](https://sorumatik.co/t/2-n-2-cdot-5-15-sayisi-17-basamakli-olduguna-gore-n-nin-en-buyuk-dogal-sayi-degeri-kactir/633741/3 "2026-03-11T04:39:51Z")

</div>

## 10. 2^{n+2}·5^{15} sayısı 17 basamaklı olduğuna göre, n’nin en büyük doğal sayı değeri kaçtır?

### Önemli Noktalar

- İfade: **2^{n+2}·5^{15}**
- 17 basamaklı sayılar aralığı: **10^{16} ≤ sayı \< 10^{17}**
- Sonuç: en büyük n değeri **19** (Doğru şık: **C** )

**2^{n+2}·5^{15}** sayısı **17** basamaklı ise n’nin en büyük doğal değeri **19** ’dur. İfade **10^{15}·2^{n-13}** biçimine dönüşür; 17 basamaklı olması için **10 ≤ 2^{n-13} \< 100** olmalı. En büyük uygun kuvvet **2^6=64** olduğundan n‑13=6 ⇒ n=19. Dolayısıyla doğru seçenek **C) 19**.

### İçindekiler

1. [Çözüm Mantığı ve Kısa Yöntem](#power-of-two-intro)
2. [Basamak Sayısı Kuralı ile Doğrulama](#digit-count-method)
3. [Karşılaştırma Tablosu](#powers10-vs-2)
4. [Özet Tablo](#problem-summary)
5. [Sık Sorulan Sorular](#problem-faq)

* * *

## Çözüm Mantığı ve Kısa Yöntem

İfadeyi faktörleyin:  
**2^{n+2}·5^{15} = 2^{n+2-15}·(2^{15}·5^{15}) = 10^{15}·2^{n-13}.**

17 basamaklı olması için sayı en az **10^{16}** olmalı; yani  
10^{15}·2^{n-13} ≥ 10^{16} ⇒ 2^{n-13} ≥ 10.  
Ayrıca sayı 10^{17}’den küçük olmalı:  
2^{n-13} \< 100.  
Bunları sağlayan en büyük tamsayı k = n-13 için 2^k \< 100 olan en büyük k = **6** (çünkü 2^6=64, 2^7=128).  
Dolayısıyla n = 6 + 13 = **19**.

> 💡 **Pro Tip:** 2 ve 5 üsleri çarpılırken ortak kısımlar 10^k yapar; böylece basamak hesabı kolaylaşır.

* * *

## Basamak Sayısı Kuralı ile Doğrulama

Genel kural: bir pozitif tamın basamak sayısı floor(log10(sayı)) + 1’dir.  
Burada kullanırsak:  
log10(2^{n+2}·5^{15}) = (n+2)log10 2 + 15 log10 5.  
log10 2 ≈ 0.30103, log10 5 ≈ 0.69897 (ve log10 2 + log10 5 = 1).  
Hesap, faktörlemeyle elde edilen koşulla tutarlıdır ve n=19 sonucu basamak sayısını 17 yapar (kontrol için yerine koyup log hesaplanabilir).

> ⚠ **Uyarı:** Faktörleme yapılmadan doğrudan log hesabı daha fazla hata yapmaya açıktır; 10 tabanına indirgeme genellikle daha sade ve güvenlidir.

* * *

## Karşılaştırma Tablosu

| Aspect | 2^{n+2}·5^{15} (orijinal) | 10^{k} (kolaylaştırılmış) |
| --- | --- | --- |
| **Faktörleme** | **10^{15}·2^{n-13}** | Doğrudan **10^{k}** formu |
| **Basamak hesabı** | 10^{15} çarpanı sabit, geriye 2^{n-13} kontrolü | k doğrudan basamakları belirler |
| **Gerekli koşul** | **10 ≤ 2^{n-13} \< 100** (17 basamak için) | **10^{16} ≤ 10^{15}·… \< 10^{17}** eşdeğer koşul |
| **En büyük n** | **19** | k=16 durumuna karşılık gelir (sayı ≥10^{16}) |

* * *

## Özet Tablo

| Adım | Açıklama |
| --- | --- |
| **İfade** | **2^{n+2}·5^{15}** |
| **Faktörleme** | **10^{15}·2^{n-13}** |
| **Basamak koşulu** | **10^{16} ≤ 10^{15}·2^{n-13} \< 10^{17}** ⇒ **10 ≤ 2^{n-13} \< 100** |
| **Uygun k = n-13** | k = 4,5,6 (2^4=16, 2^5=32, 2^6=64) |
| **En büyük n** | **n = 13 + 6 = 19** |
| **Doğru şık** | **C) 19** |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

1. Bu soruda n negatif olabilir mi?  
Hayır; soru “doğal sayı” dediği için n ≥ 0 kabul edilir. Ayrıca faktörleme sonucu n‑13 negatifse 2^{n-13} kesir olur ve toplam 10^{15} çarpanı nedeniyle sayı 17 basamaklı olamaz.

2. Eğer üsler farklı olsaydı nasıl yaklaşırım?  
Genel yöntem: ortak 2 ve 5 kuvvetlerini 10^k şeklinde birleştir, kalan 2^a veya 5^b’yi inceleyerek basamak aralığını kontrol et.

3. 17 basamak şartı yerine “en az 17 basamak” deseydi ne değişirdi?  
“En az 17 basamak” demek 10^{16} ≤ sayı koşulunu gerektirir; üst sınır kaldırılırsa n daha büyük olabilir—örneğin 2^{n-13} ≥ 10 koşulu yeterli olur ve n için üst bound kalkar.

* * *

Sonraki Adımlar

Bu çözümü adım adım bir video anlatımı veya log10 kullanarak doğrulama ile görmek ister misiniz? @1ozlemozyigit