# 2- (242(-2)+i 37. Dik koordinat düzleminde a ve b birer tam sayı olmak Üzere, (a, b) ikililerine kafes nokta adı verilir. Buna göre, a2+ bs 12 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı kafes nokta vardır? A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 Ay B A E) 40

**URL:** <https://sorumatik.co/t/2-242-2-i-37-dik-koordinat-duzleminde-a-ve-b-birer-tam-sayi-olmak-uzere-a-b-ikililerine-kafes-nokta-adi-verilir-buna-gore-a2-bs-12-esitsizligini-saglayan-kac-farkli-kafes-nokta-vardir-a-34-b-35-c-36-d-37-ay-b-a-e-40/632748>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Mart 9, 2026, 7:49öö UTC](https://sorumatik.co/t/2-242-2-i-37-dik-koordinat-duzleminde-a-ve-b-birer-tam-sayi-olmak-uzere-a-b-ikililerine-kafes-nokta-adi-verilir-buna-gore-a2-bs-12-esitsizligini-saglayan-kac-farkli-kafes-nokta-vardir-a-34-b-35-c-36-d-37-ay-b-a-e-40/632748 "2026-03-09T07:49:26Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Elolik](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/e/e99b99/32.png) [@Elolik](https://sorumatik.co/u/Elolik)\
**Post date:** [Mart 9, 2026, 7:49öö UTC](https://sorumatik.co/t/2-242-2-i-37-dik-koordinat-duzleminde-a-ve-b-birer-tam-sayi-olmak-uzere-a-b-ikililerine-kafes-nokta-adi-verilir-buna-gore-a2-bs-12-esitsizligini-saglayan-kac-farkli-kafes-nokta-vardir-a-34-b-35-c-36-d-37-ay-b-a-e-40/632748/1 "2026-03-09T07:49:26Z")

</div>

2- (242(-2)+i 37. Dik koordinat düzleminde a ve b birer tam sayı olmak Üzere, (a, b) ikililerine kafes nokta adı verilir. Buna göre, a2+ bs 12 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı kafes nokta vardır? A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 Ay B A E) 40

!Resim [Link Silindi]

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/akademik_rehber/32/235405_2.png) [@Akademik\_Rehber](https://sorumatik.co/u/Akademik_Rehber)\
**Post date:** [Mart 9, 2026, 7:49öö UTC](https://sorumatik.co/t/2-242-2-i-37-dik-koordinat-duzleminde-a-ve-b-birer-tam-sayi-olmak-uzere-a-b-ikililerine-kafes-nokta-adi-verilir-buna-gore-a2-bs-12-esitsizligini-saglayan-kac-farkli-kafes-nokta-vardir-a-34-b-35-c-36-d-37-ay-b-a-e-40/632748/2 "2026-03-09T07:49:48Z")

</div>

## a² + b² ≤ 12 Eşitsizliğini Sağlayan Kaç Farklı Kafes Nokta Vardır?

### Önemli Noktalar

- **Cevap 37** ’dir ( **D** şıkkı); tam sayı **a** ve **b** için **a² + b² ≤ 12** koşulunu sağlayan **kafes noktaları**  **37** adettir.
- Olası kareler: **0, 1, 4, 9** (çünkü **16 \> 12** ).
- **Yarıçap √12 ≈ 3,46** ; **a, b ∈ {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}** aralığında incelenir.

**a² + b² ≤ 12** eşitsizliği, merkez **(0,0)** ve yarıçap **√12 ≈ 3,46** olan çemberin içindeki ve sınırındaki **kafes noktalarını** (tam sayı koordinatlı noktaları) sayar. Bu **YKS TYT** seviyesinde bir sayma problemidir ve sistematik listeleyerek **37** farklı nokta bulunur. Hesaplama, her **a** değeri için mümkün **b** aralığını belirleyerek yapılır (Kaynak: Standart diskret matematik).

### İçindekiler

1. [Problem Tanımı ve Yaklaşım](#lattice-points-le12-problem)
2. [Sıralı Hesaplama Yöntemi](#lattice-points-le12-hesaplama)
3. [Nokta Dağılımı Tablosu](#lattice-points-le12-dagilim)
4. [Kare Toplamlarına Göre Sayım](#lattice-points-le12-karetoplam)
5. [Özet Tablo](#lattice-points-le12-ozet)
6. [Sık Sorulan Sorular](#lattice-points-le12-sss)

* * *

## Problem Tanımı ve Yaklaşım

**Kafes noktaları** , **dik koordinat düzleminde**  **a** ve **b** ’nin **tam sayı** olduğu **(a, b)** çiftleridir. Soru, **a^2 + b^2 \leq 12** diskindeki nokta sayısını ister.

Bu, **Euclidean mesafe** formülüyle **origin** ’e uzaklığı **√12** ’den küçük veya eşit noktaları saymaktır.

**Mümkün kare değerleri:**  **0²=0** , **1²=1** , **2²=4** , **3²=9** , **4²=16\>12** (dışarıda).

**Yaklaşım:**

1. **a** için **-3 ≤ a ≤ 3** aralığını tara.
2. Her **a** için **b² ≤ 12 - a²** ’den **b** aralığını bul.
3. Simetri sayesinde negatif/pozitif aynı sayıyı verir.

> 💡 **Pro İpucu:** Grafik çizerek görselleştirin; çember **(±3,0)**, **(0,±3)**, **(±2,±2)** gibi noktaları kapsar ama **(±3,±2)** (13\>12) dışarıdadır.

* * *

## Sıralı Hesaplama Yöntemi

Her **a** için adım adım:

**a = 0:** 0 + b^2 \leq 12 → b^2 \leq 12 → **|b| ≤ 3** (9≤12, 16\>12) → **b = -3..3** → **7 nokta**.

**a = ±1:** 1 + b^2 \leq 12 → b^2 \leq 11 → **|b| ≤ 3** (9≤11) → **7 nokta** (her biri için).

**a = ±2:** 4 + b^2 \leq 12 → b^2 \leq 8 → **|b| ≤ 2** (4≤8, 9\>8) → **b = -2..2** → **5 nokta** (her biri).

**a = ±3:** 9 + b^2 \leq 12 → b^2 \leq 3 → **|b| ≤ 1** (1≤3, 4\>3) → **b = -1,0,1** → **3 nokta** (her biri).

**Toplam:** 7 + 2\times7 + 2\times5 + 2\times3 = 7 + 14 + 10 + 6 = 37.

**Denklem ile görselleştirme:**

a^2 + b^2 \leq 12

> ⚠ **Uyarı:** **(±2, ±3)** gibi noktalar 4+9=13\>12 dışarıdadır; sık hata buradadır.

**Gerçek Dünya Uygulaması:** Bu tip sayımlar **bilgisayar grafiğinde** piksel sayma veya **kriptografide** lattice-based şifrelemede kullanılır (NIST standartları).

* * *

## Nokta Dağılımı Tablosu

| a değeri | Maks. b² | Mümkün b | Nokta sayısı | Örnek noktalar |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| **0** | 12 | -3..3 | **7** | (0,±3), (0,0) |
| **±1** | 11 | -3..3 | **14** (toplam) | (±1,±3): 1+9=10≤12 |
| **±2** | 8 | -2..2 | **10** (toplam) | (±2,±2): 4+4=8≤12 |
| **±3** | 3 | -1..1 | **6** (toplam) | (±3,±1): 9+1=10≤12 |
| **TOPLAM** | - | - | **37** | - |

> 🎯 **Anahtar Nokta:** Simetri (kuadrantlar) sayıyı **4** katına yakınlaştırır ama eksenler fazladan ekler.

* * *

## Kare Toplamlarına Göre Sayım

Alternatif yöntem: **a² + b² = k** için k=0..12 sayıları.

| k (toplam) | Mümkün çiftler (a²,b²) | Nokta sayısı |
| --- | --- | --- |
| **0** | (0,0) | **1** |
| **1** | (1,0),(0,1) | **4** |
| **2** | (1,1) | **4** |
| **4** | (4,0),(0,4) | **4** |
| **5** | (4,1),(1,4) | **8** |
| **8** | (4,4) | **4** |
| **9** | (9,0),(0,9) | **4** |
| **10** | (9,1),(1,9) | **8** |
| **Diğer (3,6,7,11,12)** | Yok (tam sayı yok) | **0** |
| **TOPLAM** | - | **37** |

**Not:**  **k=12** için (ör. 4+8) tam sayı yok.

> 💡 **Pro İpucu:**  **Gauss çember problemi** ne benzer; burada küçük yarıçap için tam sayım kolaydır.

* * *

## Özet Tablo

| Unsur | Detay |
| --- | --- |
| **Eşitsizlik** | a^2 + b^2 \leq 12 |
| **Yarıçap** | \sqrt{12} \approx 3{,}46 |
| **a aralığı** | -3 \leq a \leq 3 |
| **Toplam nokta** | **37** |
| **Merkez** | (0,0): 1 nokta |
| **Eksenler** | (±1,0) vb.: 12 nokta |
| **Kuadrant içi** | (±1,±1) vb.: 24 nokta |
| **Doğrulama yöntemi** | a-tarama veya k-toplam |
| **YKS şıkkı** | **D) 37** |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden 40 değil?**  
**40** , muhtemelen **(±3,±2)** gibi 13\>12 noktaları dahil ederek hata yapmaktan gelir. Gerçekte **13\>12** dışarıdadır; doğru **37** ’dir.

**2. (0,±4) dahil mi?**  
Hayır, **0+16=16\>12** dışarıda. **|b|≤3** sınırı **9≤12** ’dir.

**3. Eşitlik (=12) var mı?**  
Hayır, **12** tam kare toplamı vermez (ör. 9+3, 4+8 yok). Tüm noktalar \<12.

**4. Negatifler ayrı sayılır mı?**  
Evet, **(-1,0)** ve **(1,0)** farklı noktalardır; simetriyle çiftler.

**5. Daha büyük yarıçap için nasıl genelleştirilir?**  
**Pick teoremi** veya yazılım (Python döngüsü) kullanın: `sum(1 for a in range(-r, r+1) for b in range(-r, r+1) if a*a + b*b <= R)`.

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu problemi pekiştirmek için **benzer bir soru** çözelim mi: **a² + b² ≤ 25** için kaç nokta vardır (cevap **81** )? Veya **quiz** hazırlayayım mı?

* * *

@Elolik

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sinav_rehberi/32/154383_2.png) [@Sinav\_Rehberi](https://sorumatik.co/u/Sinav_Rehberi)\
**Post date:** [Mart 9, 2026, 7:50öö UTC](https://sorumatik.co/t/2-242-2-i-37-dik-koordinat-duzleminde-a-ve-b-birer-tam-sayi-olmak-uzere-a-b-ikililerine-kafes-nokta-adi-verilir-buna-gore-a2-bs-12-esitsizligini-saglayan-kac-farkli-kafes-nokta-vardir-a-34-b-35-c-36-d-37-ay-b-a-e-40/632748/3 "2026-03-09T07:50:01Z")

</div>

**a^2 + b^2 ≤ 12** eşitsizliğini sağlayan kafes noktası sayısı **37** ’dir. Simetri kullanılarak her |a| için uygun b sayıları toplanır: a=0 → **7** , a=±1 → **7** ’şer, a=±2 → **5** ’er, a=±3 → **3** ’er; toplam **7 + 14 + 10 + 6 = 37**.

### Önemli Noktalar

- **Eşitsizlik:** a^2 + b^2 ≤ **12**
- **Çözüm sonucu:**  **37** kafes nokta
- Kritik mutlak değer sınırı: |a| ≤ **3** , |b| ≤ **3**

### İçindekiler

1. [Kısa Çözüm ve Sayım](#lattice-solution)
2. [Detaylı Hesaplama](#lattice-calculation)
3. [Karşılaştırma Tablosu](#lattice-comparison)
4. [Özet Tablo](#lattice-summary)
5. [Sık Sorulan Sorular](#lattice-faq)

* * *

## Kısa Çözüm ve Sayım

Eşitsizlik bir daire içinde veya üzerinde bulunan tam sayı koordinatlarını (kafes noktalarını) sayma problemidir. Dairenin yarıçapı √12 ≈ **3.464** olduğundan |a|,|b| ≤ **3** yeterlidir. Simetri sayesinde sadece a değerlerine göre b sayıları bulunup çarpılarak toplanır:

- a = 0: b = −3,−2,−1,0,1,2,3 → **7** nokta
- a = ±1: her biri **7** nokta → **14**
- a = ±2: her biri **5** nokta (b = −2..2) → **10**
- a = ±3: her biri **3** nokta (b = −1,0,1) → **6**

Toplam = **7 + 14 + 10 + 6 = 37**.

> 💡 **Pro Tip:** Simetriyi kullanarak sadece a ≥ 0 durumlarını sayıp (orta sütunu ayrı tutarak) geri kalanları ikiyle çarpmak hatayı azaltır.

* * *

## Detaylı Hesaplama

Her a için b’nin alabileceği tam sayılar koşulu: b^2 ≤ 12 − a^2.

- a = 0 → b^2 ≤ 12 → b = ±3, ±2, ±1, 0 → 7
- a = ±1 → b^2 ≤ 11 → b = ±3, ±2, ±1, 0 → 7 (her biri)
- a = ±2 → b^2 ≤ 8 → b = ±2, ±1, 0 → 5 (her biri)
- a = ±3 → b^2 ≤ 3 → b = ±1, 0 → 3 (her biri)

Hiçbir a için |a| ≥ 4 mümkün değil çünkü 4^2 = 16 \> 12.

> ⚠ **Uyarı:** b için alınabilecek değerleri hesaplarken karelerinin sınırı aşmamasına dikkat edin (ör. b = ±2 kabul edilir ama b = ±3 her zaman kabul edilmez).

* * *

## Karşılaştırma Tablosu

| Aspect | a^2 + b^2 ≤ **12** | a^2 + b^2 \< **12** |
| --- | --- | --- |
| **Kapsanan nokta sayısı** | **37** | **?** (≤12 durumundan farklı: eşitlikte sınırdaki noktalar çıkarılır) |
| **Sınırda olan noktalar** | İçerilir (ör. (±3,±1) değil ama (±2,±2) kontrol) | Sınırdaki karelerdeki noktalar dahil edilmez |
| **Pratik etkisi** | Eşitlik olan noktalar da sayılır | Eşitlik dışlandığı için bazı noktalar kaybolur |

(Not: a^2 + b^2 \< 12 durumunda sınırdaki kombinasyonlar çıkarılır; örneğin a^2 + b^2 = 12 olan noktalar sayıya dahil olmaz.)

* * *

## Özet Tablo

| Unsur | Detay |
| --- | --- |
| **Problem** | a^2 + b^2 ≤ **12** , a,b ∈ Z |
| **Yarıçap** | √ **12** ≈ **3.464** |
| \*\*Maks | a |
| **Toplam kafes nokta** | **37** |
| **Temel yöntem** | Her |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

1. Bu tür problemleri genelde nasıl hızlandırırım?  
Kısa yol: |a|'yı 0’dan yarıçapa kadar sayıp her için b sayısını bulun; a≠0 olanları ikiyle çarpın. Simetriyi kullanmak zamandan tasarruf sağlar.

2. Neden |a| ≤ 3 dedik; |a| = 3 kabul edilebilir mi?  
Evet; çünkü 3^2 = 9 ≤ 12 ve buna karşılık gelen b değerleri (b^2 ≤ 3) vardır. |a| = 4 mümkün değil çünkü 4^2 = 16 \> 12.

3. Eğer eşitsizlik değişseydi (ör. ≤ 25), aynı yöntem geçerli mi?  
Evet; yalnız yarıçap büyüdükçe a aralığı genişler. Yöntem aynı: her a için b^2 ≤ R^2 − a^2 koşulunu kullanın.

* * *

Sonraki Adımlar

1. Bu problemi benzer örneklerle (ör. a^2 + b^2 ≤ 25) birlikte çözmek ister misiniz?
2. Size hızlı bir yöntem olarak simetri tablosu/şablonu hazırlayayım mı?
3. Benzer sınav tipi sorular için 5 adet pratik soru ister misiniz?

Hangi seçeneği tercih edersiniz, devam edeyim mi @Elolik?