Verilen soruya ve çözümüne başlamadan önce soru üzerinde operasyon yapmamız gereken değişkenleri anlayarak başlayalım.
Soru Görseli ve Metni:
Görselin üzerinde bir koordinat düzlemi verilmiş, burada üç doğru çizilmiş durumda: ( y = -x ), ( 2y = x ) ve ( y = x/2 ). Bununla birlikte, ( A(-2, p) ) noktası ve ( B ) noktasının equasyonları veriliyor. Soruda aşağıdaki yargıların hangilerinin doğru olduğu soruluyor:
- ( B ) noktasının apsisi 4’tür.
- ( B ) noktasının orijine uzaklığı ( 2\sqrt{5} ) birimdir.
- ( AOB ) üçgeninin alanı 6 birimkaredir.
Çözüm:
B Noktasının Apsisinin Bulunması:
- B noktasını veren doğru denklem ( 2y = x ) olarak verildiğinden, apsis ve ordinat arasında ( x = 2y ) ilişkisi vardır. Bu noktayan diğer doğru ( y = x/2 ) ile kesiştiği noktayı bulmak için iki denklemi eşitleriz:
[
y = x/2 \quad \text{ve} \quad x = 2y
]
[
y = (2y)/2 \quad \Rightarrow \quad y = y
]
Bu eşitlik apsisin ( y = 0 ) olmadığını göstermez, fakat doğruyu kesen noktanın ((x, y)) noktalarının kesişmesini doğrular. İki denklemi yeniden çözmek için orijinal denklem üzerinden çözüm gereklidir:
- ( x = 2y ) yerine ( y = x/2 ) koyarak:
[
x/2 = x/2 = 2y = x
]
Bu analizde elde ettiğimiz sonuç veya kesişim noktasını doğrulayabiliriz.
B noktasının orijine uzaklı:
( x = 4 ) olarak belirlendikten sonra, B noktasının koordinatları ( (4, 2) ) olacaktır. B noktasının orijine uzaklığını bulmak için,
[
\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}
]
Yani, II. Yargı doğrudur.
AOB Üçgeninin Alanı:
( A(-2, p) ) noktasının bilgisiyle ( O ) orijini olan alanı bulmaya çalışacağız:
- A noktasının x-ekseni üzerindeki koordinatlar (-2,0) olursa üçgen alanı şu şekilde bulunur:
Koordinatları ile alanı hesaplamak için:
[
\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|
]
Özellikle:
- ((x_1, y_1)): A noktası ((-2, 0))
- ((x_2, y_2)): B noktası ((4, 2))
- ((x_3, y_3)): O noktası ((0,0))
[
\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \left|-2(2 - 0) + 4(0 - 0) + 0(0 - 2)\right| = \frac{1}{2} \cdot \left| -4\right| = 2
]
Bu durumda, III. Yargı yanlıştır, çünkü üçgenin alanı 2 birimkaredir.
Sonuç:
Doğru yargılar I ve II’dir. Cevap seçeneği D) olacak.