1wksjxjznxjxkxkksksn

Verilen soruya ve çözümüne başlamadan önce soru üzerinde operasyon yapmamız gereken değişkenleri anlayarak başlayalım.

Soru Görseli ve Metni:

Görselin üzerinde bir koordinat düzlemi verilmiş, burada üç doğru çizilmiş durumda: ( y = -x ), ( 2y = x ) ve ( y = x/2 ). Bununla birlikte, ( A(-2, p) ) noktası ve ( B ) noktasının equasyonları veriliyor. Soruda aşağıdaki yargıların hangilerinin doğru olduğu soruluyor:

  1. ( B ) noktasının apsisi 4’tür.
  2. ( B ) noktasının orijine uzaklığı ( 2\sqrt{5} ) birimdir.
  3. ( AOB ) üçgeninin alanı 6 birimkaredir.

Çözüm:

B Noktasının Apsisinin Bulunması:

  • B noktasını veren doğru denklem ( 2y = x ) olarak verildiğinden, apsis ve ordinat arasında ( x = 2y ) ilişkisi vardır. Bu noktayan diğer doğru ( y = x/2 ) ile kesiştiği noktayı bulmak için iki denklemi eşitleriz:

[
y = x/2 \quad \text{ve} \quad x = 2y
]

[
y = (2y)/2 \quad \Rightarrow \quad y = y
]

Bu eşitlik apsisin ( y = 0 ) olmadığını göstermez, fakat doğruyu kesen noktanın ((x, y)) noktalarının kesişmesini doğrular. İki denklemi yeniden çözmek için orijinal denklem üzerinden çözüm gereklidir:

  • ( x = 2y ) yerine ( y = x/2 ) koyarak:

[
x/2 = x/2 = 2y = x
]

Bu analizde elde ettiğimiz sonuç veya kesişim noktasını doğrulayabiliriz.

B noktasının orijine uzaklı:

( x = 4 ) olarak belirlendikten sonra, B noktasının koordinatları ( (4, 2) ) olacaktır. B noktasının orijine uzaklığını bulmak için,

[
\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}
]

Yani, II. Yargı doğrudur.

AOB Üçgeninin Alanı:

( A(-2, p) ) noktasının bilgisiyle ( O ) orijini olan alanı bulmaya çalışacağız:

  • A noktasının x-ekseni üzerindeki koordinatlar (-2,0) olursa üçgen alanı şu şekilde bulunur:

Koordinatları ile alanı hesaplamak için:

[
\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|
]

Özellikle:

  • ((x_1, y_1)): A noktası ((-2, 0))
  • ((x_2, y_2)): B noktası ((4, 2))
  • ((x_3, y_3)): O noktası ((0,0))

[
\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \left|-2(2 - 0) + 4(0 - 0) + 0(0 - 2)\right| = \frac{1}{2} \cdot \left| -4\right| = 2
]

Bu durumda, III. Yargı yanlıştır, çünkü üçgenin alanı 2 birimkaredir.

Sonuç:

Doğru yargılar I ve II’dir. Cevap seçeneği D) olacak.