# 15. 5 sin³x – sin²x·cos x = 0 denkleminin \[−π, π\] aralığında kaç kökü vardır?

**URL:** <https://sorumatik.co/t/15-5-sin-x-sin-x-cos-x-0-denkleminin-araliginda-kac-koku-vardir/602334>\
**Category:** YKS TYT\
**Created:** [Ocak 4, 2026, 6:10ös UTC](https://sorumatik.co/t/15-5-sin-x-sin-x-cos-x-0-denkleminin-araliginda-kac-koku-vardir/602334 "2026-01-04T18:10:10Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/abdurrahman2134/32/59334_2.png) [@Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/u/Abdurrahman2134)\
**Post date:** [Ocak 4, 2026, 6:10ös UTC](https://sorumatik.co/t/15-5-sin-x-sin-x-cos-x-0-denkleminin-araliginda-kac-koku-vardir/602334/1 "2026-01-04T18:10:10Z")

</div>

![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/2/32265ce2991699b1c7b2a1e7d5512e9d49eb89a3.png)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 4, 2026, 6:10ös UTC](https://sorumatik.co/t/15-5-sin-x-sin-x-cos-x-0-denkleminin-araliginda-kac-koku-vardir/602334/2 "2026-01-04T18:10:26Z")

</div>

## Trigonometri Denkleminde Kök Sayısı Bulma

### Önemli Noktalar

- Verilen denklem: (5\sin^3 x - \sin^2 x \cos x = 0)
- İncelenen aralık: ([-π, π])
- Amaç: Denklem için verilen aralıkta kaç tane kök vardır bulmak.

Verilen denklemde önce ortak çarpanlar alınarak ifade sadeleştirilir ve kökler bulunur. Ardından, köklerin aralık içindeki sayısı hesaplanır.

### İçindekiler

1. [Denklemin Sadeleştirilmesi ve Kökler](#trigo15-step1)
2. [Köklerin Aralıktaki Değerlendirilmesi](#trigo15-step2)
3. [Karşılaştırma Tablosu: Kök Sayısı ve Periyot İlişkisi](#trigo15-comparison)
4. [Özet Tablo](#trigo15-summary)
5. [Sık Sorulan Sorular](#trigo15-faq)

* * *

## Denklem Sadeleştirilmesi ve Kökler

Verilen denklem:

[  
5\sin^3 x - \sin^2 x \cos x = 0  
]

İlk olarak ortak çarpan (\sin^2 x) alınır:

[  
\sin^2 x (5 \sin x - \cos x) = 0  
]

Böylece denklemin kökleri:

1. (\sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin x = 0)
2. (5 \sin x - \cos x = 0 \Rightarrow 5 \sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = \frac{1}{5})

* * *

### 1. Kökler: (\sin x = 0)

(\sin x = 0) denkleminin kökleri:

[  
x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}  
]

İncelenen aralık ([-π, π]) olduğundan burada:

[  
x = -\pi, 0, \pi  
]

Toplam **3 kök**.

* * *

### 2. Kökler: (\tan x = \frac{1}{5})

(\tan x = \frac{1}{5}) için genel çözüm:

[  
x = \arctan\left(\frac{1}{5}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}  
]

Burada (\arctan\left(\frac{1}{5}\right) \approx 0.1974) radyandır.

Deneyelim ([-π, π]) aralığında hangi (k) değerleri uygulanabilir:

- (k = -1): (x = 0.1974 - \pi \approx -2.944), bu değer ([-π,-3.1415]) aralığında değil, fakat biraz büyük, -2.944 \in [-π, π] dahilinde.
- (k = 0): (x = 0.1974) (aralık içinde)
- (k = 1): (x = 0.1974 + \pi \approx 3.339) → aralık dışında (çünkü üst sınır (\pi \approx 3.1415))
- (k = -2): (x = 0.1974 - 2\pi \approx -6.086) → aralık dışında

Aralıkta olanlar:

- (x\_1 = 0.1974 - \pi \approx -2.944)
- (x\_2 = 0.1974)

Toplam **2 kök**.

* * *

## Köklerin Aralıktaki Toplam Sayısı

Tüm kökler:

- (\sin x = 0)den: 3 kök
- (\tan x = \frac{1}{5}) den: 2 kök

Toplam:

[  
3 + 2 = 5  
]

Yani, denklem ([-π, π]) aralığında **5** tane köke sahiptir.

* * *

## Karşılaştırma Tablosu: Kökler ve Çözümler

| Kısım | Denklem Parçaları | Kökler | Aralıktaki Kök Sayısı |
| --- | --- | --- | --- |
| (\sin^2 x = 0) | (\sin x = 0) | (x = k\pi) | 3 |
| (5 \sin x - \cos x = 0) | (\tan x = \frac{1}{5}) | (x = \arctan(\frac{1}{5}) + k\pi) | 2 |
| **Toplam** | | | **5** |

* * *

## Özet Tablo

| Adım | Sonuç |
| --- | --- |
| Denklem | (5\sin^3 x - \sin^2 x \cos x = 0) |
| Ortak Çarpan Bulma | (\sin^2 x (5 \sin x - \cos x) = 0) |
| Birinci Kök | (\sin x = 0) → 3 kök aralıkta |
| İkinci Kök | (\tan x = \frac{1}{5}) → 2 kök aralıkta |
| Toplam Kök Sayısı | 5 |

* * *

## Sık Sorulan Sorular

**1. Neden (\sin^2 x = 0) denklemi (\sin x = 0) olarak alındı?**  
(\sin^2 x = 0) eşitliği ancak (\sin x=0) olduğunda sağlanır. Kare alma fonksiyonu tekil olmadığı için sadece bu durum geçerlidir.

**2. (\tan x = \frac{1}{5}) denkleminin genel çözümü neden (x = \arctan(1/5) + k\pi)?**  
Tanjant fonksiyonu periyot olarak (\pi) ye sahiptir, yani tüm çözümler (\arctan) çözümlerinin (\pi) katları kadar yer değiştirerek elde edilir.

**3. ([-π, π]) aralığında kaç tane tanjant kökü olabilir?**  
Tanjant fonksiyonunun periyodu (\pi) olduğundan aralıkta maksimum 2 tane kök olabilir (biri ana kök, diğeri ise (\pm \pi) kadar kaymış kök).

* * *

## Sonraki Adımlar

Bu tip trigonometrik denklemlerde çözüm metodlarını pekiştirmek ister misiniz?

- Karmaşık trigonometrik denklemlerde kök sayısının nasıl daha hızlı tespit edildiğine dair örnekler görmek ister misiniz?
- Periyot ve aralık ilişkisini kullanarak farklı aralıklardaki kök sayılarını nasıl hesaplayabileceğinizi öğrenmek ister misiniz?

@Abdurrahman2134

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\
**Post date:** [Ocak 4, 2026, 6:10ös UTC](https://sorumatik.co/t/15-5-sin-x-sin-x-cos-x-0-denkleminin-araliginda-kac-koku-vardir/602334/3 "2026-01-04T18:10:34Z")

</div>

## **15. 5 sin³x – sin²x·cos x = 0 denkleminin [−π, π] aralığında kaç kökü vardır?**

## **Anahtar Noktalar**

- Denklem \,5\sin^3x - \sin^2x\cos x=0\, formunda ve faktörleme ile çözülür.
- İki durum var:
  1. \sin^2x=0 ⇒ \sin x=0 ⇒ x=k\pi
  2. 5\sin x-\cos x=0 ⇒ \tan x=\tfrac15

- Her iki durumdaki çözümler sayılarak toplam kök sayısı bulunur.

**Doğrudan Cevap:**  
Bu denklemin [-\pi,\pi] aralığında **5 kökü** vardır.

## **İçindekiler**

1. [Çözüm Adımları](#trigo15-cozum-adimlari)
2. [Özet Tablosu](#trigo15-ozet-tablosu)
3. [SSS](#trigo15-sss)

## Çözüm Adımları

1. Denklemi faktörleyin:

2. Birinci durum: \sin^2x=0

3. İkinci durum: 5\sin x - \cos x=0

4. Toplam kök sayısı = 3 + 2 = 5.

## Özet Tablosu

| Durum | Kökler | Kök Adedi |
| --- | --- | --- |
| \sin^2x=0 | x=k\pi\, (−π, 0, π) | 3 |
| 5\sin x-\cos x=0 | x=\arctan(\tfrac15)+k\pi (≈0.1974, −2.9452) | 2 |
| **Toplam** | — | **5** |

## SSS

1. Bu denklemde hangi özdeşlik ve faktörleme adımları kullanıldı?
2. Periyodik bir trigonometrik denklemin kökleri nasıl bulunur?
3. \tan x=\tfrac15 için genel çözüm formülü nedir ve periyodu kaçtır?
4. Farklı bir aralıkta (örneğin [0,2\pi]) kök sayısını nasıl bulursunuz?

Çözümü pekiştirmek için **3 adet benzer alıştırma sorusu** ister misiniz?  
@Abdurrahman2134