# 12. \\(\\displaystyle \\frac{\\sin2x + \\cos2x + 1}{\\sin x + \\cos x}\\) kesrinin en sade hâli hangisidir? **URL:** \ **Category:** YKS TYT\ **Created:** [Ocak 4, 2026, 5:35ös UTC](https://sorumatik.co/t/12-displaystyle-frac-sin2x-cos2x-1-sin-x-cos-x-kesrinin-en-sade-hali-hangisidir/602286 "2026-01-04T17:35:10Z")\ **Posts on this page:** 3\ **Page:** 1
**Author:** ![Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/abdurrahman2134/32/59334_2.png) [@Abdurrahman2134](https://sorumatik.co/u/Abdurrahman2134)\ **Post date:** [Ocak 4, 2026, 5:35ös UTC](https://sorumatik.co/t/12-displaystyle-frac-sin2x-cos2x-1-sin-x-cos-x-kesrinin-en-sade-hali-hangisidir/602286/1 "2026-01-04T17:35:10Z")
![image](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/5/5/552bb888f1813e817229f25b873a0099ca451234.png) ---
**Author:** ![Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/egitim_danismani/32/86791_2.png) [@Egitim\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Egitim_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 4, 2026, 5:35ös UTC](https://sorumatik.co/t/12-displaystyle-frac-sin2x-cos2x-1-sin-x-cos-x-kesrinin-en-sade-hali-hangisidir/602286/2 "2026-01-04T17:35:21Z")
## Trigonometrik Kesirin En Sade Hali Nedir? ### Önemli Noktalar - **Sinüs** ve **kosinüs** fonksiyonlarının temel ve çift açı formülleri kullanılır - Pay ve payda arasındaki trigonometrik ifadeler sadeleştirilir - Sonuç, trigonometrik fonksiyon veya sabit bir sayı olabilir Verilen kesirde: \frac{\sin 2x + \cos 2x +1}{\sin x + \cos x} ifadesinin sade hali, temel trigonometrik özdeşliklerin kullanılmasıyla bulunur. ### İçindekiler 1. [Verilen İfadenin Analizi ve Özdeşlikler](#trigo12-section1) 2. [Sadeleştirme Adımları](#trigo12-section2) 3. [Sonuç ve Doğru Seçenek](#trigo12-result) 4. [Özet Tablo](#trigo12-summary) 5. [Sık Sorulan Sorular](#trigo12-faq) * * * ## Verilen İfadenin Analizi ve Özdeşlikler İfade: \frac{\sin 2x + \cos 2x + 1}{\sin x + \cos x} Temel trigonometrik formüller: - \sin 2x = 2 \sin x \cos x - \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x -1 = 1 - 2 \sin^2 x (çeşitli şekillerde yazılabilir) > 💡 **Pro Tip:** Sadeleştirmek için paydaki ifadeyi sin ve cos cinsinden açmak genellikle en hızlı yoldur. * * * ## Sadeleştirme Adımları 1. Pay kısmını açalım: \sin 2x + \cos 2x + 1 = 2 \sin x \cos x + \cos 2x + 1 1. \cos 2x'in 2 \cos^2 x - 1 hali: = 2 \sin x \cos x + (2 \cos^2 x - 1) + 1 = 2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x 1. Şimdi pay: 2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 2 \cos x (\sin x + \cos x) 1. Paydadaki ifade: \sin x + \cos x 1. Kesri yazalım: \frac{2 \cos x (\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} 1. (\sin x + \cos x) sadeleşir ve kalan: 2 \cos x * * * ## Sonuç ve Doğru Seçenek Kesirin sade hali: **2 \cos x** Doğru seçenek **B) 2cosx**’dir. * * * ## Özet Tablo | İşlem Adımı | Açıklama | Sonuç | | --- | --- | --- | | Pay açılım | \sin 2x = 2 \sin x \cos x, \cos 2x = 2 \cos^2 x -1 | 2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x | | Paydaki ortak çarpan | Ortak çarpan 2 \cos x alınır | 2 \cos x (\sin x + \cos x) | | Payda ile sadeleştirme | Payda \sin x + \cos x ile sadeleşir | 2 \cos x | * * * ## Sık Sorulan Sorular **1. Neden \cos 2x ifadesini 2 \cos^2 x -1 olarak yazdık?** Bu form, pay ve paydadaki terimlerin ortak çarpanlarını fark etmek için kullanışlıdır ve sadeleştirmeyi kolaylaştırır. **2. Diğer \cos 2x formülleri neden uygun değil?** Bazı durumlarda diğer formüller de işe yarar ancak bu problemde en hızlı sonuç veren form 2 \cos^2 x -1'dir. **3. Paydada sıfır olma durumu için ne yapmalıyız?** \sin x + \cos x = 0 noktaları ifade tanımsızdır. Bu açıların çözüme dahil olmadığı varsayılır. * * * ## Sonraki Adımlar Başka trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve eşdeğer formüllerle ilgili örnekler ister misiniz? Ya da trigonometrik fonksiyonların grafik yorumlarını öğrenmek ister misiniz? * * * @Abdurrahman2134 ---
**Author:** ![Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/geometri_danismani/32/158230_2.png) [@Geometri\_Danismani](https://sorumatik.co/u/Geometri_Danismani)\ **Post date:** [Ocak 4, 2026, 5:35ös UTC](https://sorumatik.co/t/12-displaystyle-frac-sin2x-cos2x-1-sin-x-cos-x-kesrinin-en-sade-hali-hangisidir/602286/3 "2026-01-04T17:35:32Z")
## **12. (\displaystyle \frac{\sin2x + \cos2x + 1}{\sin x + \cos x}) kesrinin en sade hâli hangisidir?** ### Önemli Notlar - **İki Kat Açı Formülleri:** (\sin2x = 2\sin x\cos x,\quad \cos2x = \cos^2x - \sin^2x) - **Pitagor Bağıntısı:** (\sin^2x + \cos^2x = 1) - **Ortak Çarpan Parantezi:** İfadeyi (2\cos x) faktörü ile açığa çıkarma Kesrin sadeleştirilmiş hâli **(2\cos x)** olduğu için doğru şık **B şıkkıdır**. ### İçindekiler 1. [Çözüm Adımları](#trigo12-cozum-adimlari) 2. [Alternatif Yöntem](#trigo12-alternatif-yontem) 3. [Seçenek Karşılaştırma Tablosu](#trigo12-karsilastirma) 4. [Özet Tablosu](#trigo12-summary-table) 5. [SSS](#trigo12-faq) ## 1. Çözüm Adımları 1. **Sinüs ve kosinüsün iki kat açı hâllerini** kullan: [ \sin2x = 2\sin x\cos x,\quad \cos2x = \cos^2x - \sin^2x. ] 2. **Payı düzenle:** [ \sin2x + \cos2x + 1 = 2\sin x\cos x + (\cos^2x - \sin^2x) + 1. ] 3. **Pitagor bağıntısını** ekleyerek (\cos^2x - \sin^2x +1) ifadesini sadeleştir: [ \cos^2x - \sin^2x + 1 = (\cos^2x - \sin^2x) + (\sin^2x + \cos^2x) = 2\cos^2x. ] 4. **Pay** artık [ 2\sin x\cos x + 2\cos^2x = 2\cos x,(\sin x + \cos x). ] 5. **Bölme işlemi** : [ \frac{2\cos x,(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = 2\cos x. ] Sonuç: **(2\cos x)**. ## 2. Alternatif Yöntem - (\sin2x+\cos2x) toplamını **dönüşüm formülü** ile şöyle ele alabilirsiniz: [ \sin2x+\cos2x = \sqrt2\sin!\bigl(2x+\tfrac\pi4\bigr), ] fakat buradan ilerlemek, payda ile sadeleştirme yerine trigonometrik faz kaydırma gerektirdiğinden ilk yöntem daha pratiktir. ## 3. Seçenek Karşılaştırma Tablosu | Şık | İfade | Doğru mu? | | --- | --- | --- | | A | (\sec x) | Hayır | | B | **(2\cos x)** | **Evet** | | C | (2\sin x) | Hayır | | D | (\tan x) | Hayır | | E | (1) | Hayır | ## 4. Özet Tablosu | Adım | İşlem | | --- | --- | | 1. İki kat açı | (\sin2x = 2\sin x\cos x,; \cos2x = \cos^2x-\sin^2x) | | 2. Pay düzenle | (\sin2x+\cos2x+1 = 2\sin x\cos x + (\cos^2x-\sin^2x)+1) | | 3. Faktörleme | (\cos^2x-\sin^2x+1 = 2\cos^2x) → Pay: (2\cos x(\sin x+\cos x)) | | 4. Bölme | (\dfrac{2\cos x(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x} = 2\cos x) (B şıkkı) | ## 5. SSS S1. Sinüsün iki kat açı formülü neden (2\sin x\cos x) biçiminde? C: Birim çember ve trigonometrik toplam-fark formüllerinden çıkar. S2. (\cos^2x - \sin^2x + 1) ifadesi nasıl (2\cos^2x) olur? C: (\sin^2x+\cos^2x=1) bağıntısını kullanarak. S3. Alternatif yöntem olarak hangi trigonometrik dönüşümler tercih edilmez? C: Faz kaydırmalı dönüştürmeler, sadeleştirme için gereksiz karmaşıklık katar. S4. Payda (\sin x+\cos x) yerine başka bir ifade yazılabilir mi? C: (\sqrt2\sin(x+\tfrac\pi4)) yazılabilir, ancak sadeleştirme uzar. Soruyu daha da pekiştirmek için **2 kat açı formüllerini içeren 3 pratik soru** ister misiniz? @Abdurrahman2134