# 02ayttya314159

**URL:** <https://sorumatik.co/t/02ayttya314159/197773>\
**Category:** YKS TYT\
**Tags:** ayt-matematik\
**Created:** [Nisan 6, 2025, 12:20ös UTC](https://sorumatik.co/t/02ayttya314159/197773 "2025-04-06T12:20:57Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![MasterMind](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/mastermind/32/69942_2.png) [@MasterMind](https://sorumatik.co/u/MasterMind)\
**Post date:** [Nisan 6, 2025, 12:20ös UTC](https://sorumatik.co/t/02ayttya314159/197773/1 "2025-04-06T12:20:57Z")

</div>

@sorumatikbot

 ![27](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/3/9/395aff016732a40dd80bc56202c6da178e140ea5.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Nisan 6, 2025, 12:21ös UTC](https://sorumatik.co/t/02ayttya314159/197773/2 "2025-04-06T12:21:07Z")

</div>

## **Sorunun Çözümü**

Soruda, sec𝑥 = −2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki çözümünü bulmaya çalışan Duygu’nun adımlarında yaptığı hata sorulmaktadır. Şimdi Duygu’nun her adımını analiz edelim:

* * *

### **Adım I**

Duygu, sec𝑥 = −2 denkleminden \frac{1}{\cos x} = -2 sonucunu yazmış.  
Bu ifade **doğrudur** , çünkü \sec{x} tanımı gereği \frac{1}{\cos{x}} şeklindedir. İlk adımda hata yapılmamıştır.

* * *

### **Adım II**

Birinci adımı \cos{x} = \frac{-1}{2} olarak yeniden yazmış.  
Bu ifade **doğrudur** , çünkü \frac{1}{\cos{x}} = -2 denkleminden \cos{x} = \frac{-1}{2} sonucu elde edilir. Duygu burada da hata yapmamıştır.

* * *

### **Adım III**

Duygu, \cos{x} = \cos{\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)} ifadesini yazmış.  
Bu ifade **doğrudur** , çünkü \cos{x} = \frac{-1}{2} denklemine uygun çözümler \pi - \frac{\pi}{3} (yani \frac{2\pi}{3}) ve diğer simetrik çözümler olacaktır.

* * *

### **Adım IV**

Çözüm kümesini \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ve -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi olarak ifade etmiş.  
Burada bir **hata yapılmıştır** , çünkü [0, 2π] aralığında çözüm aranırken genel çözüm kümesinin dışına çıkılmış ve negatif çözüme yönelinmiştir. Negatif açıların çalışma aralığında olmadığı görülmektedir. **Hata IV. Adımda yapılmıştır.**

* * *

### **Adım V**

Bu adımda çözüm kümesi \left\{n\pi + (-1)^{2n+1}\cdot\frac{2\pi}{3} , n \in \mathbb{Z}\right\} olarak yazılmış. Ancak IV. adımda hata yapıldığı için buradaki çözüm kümesi de yanlıştır.

* * *

### **Sonuç**

Duygu’nun **ilk hatayı IV. adımda** yaptığı belirlenmiştir. **Doğru cevap: D) IV**

* * *

Eğer başka sorularınız varsa memnuniyetle yardımcı olurum!  
@sorumatikbot

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Nisan 6, 2025, 12:21ös UTC](https://sorumatik.co/t/02ayttya314159/197773/3 "2025-04-06T12:21:57Z")

</div>

## **secx = −2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki çözümünde ilk hatalı adım hangisidir?**

**Answer:**

Bu denklemde adımlar aşağıdaki gibidir:

I. 1/cosx = −2  
II. cosx = −1/2  
III. cosx = cos(π − π/3) (yani cosx = cos(2π/3))  
IV. x = 2π/3 + 2kπ veya x = −2π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ  
V. x = {n·π + (−1)^(2n+1)·(2π/3), n ∈ ℤ}

İlk dört adımda hata yoktur; secx = −2 ⇒ cosx = −1/2’den, 2π/3 ile 4π/3 (veya eşdeğer biçimde ±2π/3 + 2kπ) köklerinin elde edilmesi doğrudur. Ancak **V. adımda** yazılan genel çözüm, +2π/3 (yani 2π/3) değerini veren terimi düzgün şekilde içermediğinden yanlış bir biçime dönüşmektedir. Dolayısıyla, çözüme 2π/3 yerine π/3 vb. değerler de eklenebildiği için bu ifade doğru sonuçları vermez. Bu yüzden **ilk hatalı adım V. adımdır.**

@username

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Nisan 6, 2025, 12:22ös UTC](https://sorumatik.co/t/02ayttya314159/197773/4 "2025-04-06T12:22:22Z")

</div>

## **sec x = -2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki değerini bulmak isteyen Duygu, ilk hangi adımda hata yapmıştır?**

**Cevap:**  
Aşağıdaki çözüm sürecinde Duygu’nun sıraladığı adımları tek tek inceleyebiliriz. Yapılan incelemede görülecektir ki I. adım (sec x = −2 → cos x = −1/2), II. adım (cos x = −1/2’nin belirlenmesi) ve III.-IV. adımlar (cos x = −1/2’nin genel ve özel çözümlerinin yazılması) doğrudur. Ancak V. adımda verilen tek formülle tüm kökleri ifade etme girişimi hatalı bir genelleme içermektedir. Dolayısıyla **Duygu’nun ilk hatası V. adımda** ortaya çıkmıştır. Yani doğru seçenek **E) V** olur.

Aşağıda bu sonuca nasıl ulaştığımızı ayrıntılı biçimde ele alacağız.

* * *

## İçindekiler

1. [Temel Kavramların İncelenmesi](#temel-kavramlar)
2. 
  - 

3. [Adım I: sec x = −2 → cos x = −1/2](#adim1)
4. [Adım II: cos x = −1/2 Eşitliği](#adim2)
5. [Adım III: cos x = cos(π − π/3)](#adim3)
6. [Adım IV: x = 2π/3 + 2kπ veya x = −2π/3 + 2kπ](#adim4)
7. [Adım V: Genel Tek Formülle İfade Girişimi ve Hata](#adim5)
8. [Çözümdeki Adımları Özetleyen Tablo](#ozet-tablo)
9. [Doğru Kökler ve [0, 2π] Aralığındaki Çözümler](#dogru-kokler)
10. [Sık Yapılan Hatalar ve Bu Soruda Ortaya Çıkan Yanlışlık](#sik-hatalar)
11. [Sonuç ve Genel Değerlendirme](#sonuc)

* * *

## 1. Temel Kavramların İncelenmesi

Trigonometrik fonksiyonları daha iyi anlamak için önce bazı temel kavramlara değinelim:

1. **Trigonometri** : Üçgenlerin açı ve kenar ilişkilerini, ayrıca daire ve periyodik sinyalleri inceleyen matematik dalıdır.
2. **cos x (kosinüs)**: Bir açının birim çember üzerinde yatay koordinatını temsil eden trigonometrik fonksiyondur.
3. **sec x (sekant)**: cos x’in çarpmaya göre tersi, yani \sec x = \frac{1}{\cos x} şeklinde tanımlanır. cos x = 0 noktalarda sec x tanımsızdır.
4. **Denklem Çözümü** : Trigonometrik fonksiyonlarda, örneğin cos x = c, sin x = c gibi eşitlikler, özel ve genel çözüm formülleriyle ele alınır.

Bu soru özelinde **sec x = −2** eşitliğini çözmek, aslında **cos x = −1/2** ’yi çözmek demektir. cos x = −1/2 değerine eşit açıları doğru yazabilmek ve ardından [0, 2π] aralığındaki kökleri bulmak, en önemli adımdır.

* * *

## 2. sec x = −2 Denkleminin Anlamı

Denklem:

\sec x = -2

Şu anlama gelir:

\frac{1}{\cos x} = -2 \quad \Longrightarrow \quad \cos x = -\frac{1}{2}.

Burada cos x = -1/2 olduğunda, x’in hangi değerlere sahip olacağı sorgulanır. Temel olarak cos fonksiyonunun grafiğine, trigonometrik dairedeki konumlara ya da ezbere bilinen özel açılara bakarak sonuç bulunur.

* * *

## 3. Adım I: sec x = −2 → cos x = −1/2

Soru metninde Duygu’nun ilk adımı:  
1.

\frac{1}{\cos x} = -2

yazıp sonrasında **cos x = -1/2** elde etmesidir.

- **Değerlendirme** : sec x = 1/cos x olduğundan, sec x = -2 ise cos x = -1/2 ifadesi **doğrudur**. Burada herhangi bir hata yoktur.

* * *

## 4. Adım II: cos x = −1/2 Eşitliği

Duygu’nun ikinci adımı, ilk adımdan elde edilen cos x = -1/2’yi aynen tekrar etmektir. Metinde şöyle geçiyor:

- **II.** cos x = -1/2.

- **Değerlendirme** : Bu da doğrudur ve ilk adımın doğal devamıdır. İkinci adımda da bir problem görünmemektedir.

* * *

## 5. Adım III: cos x = cos(π − π/3)

Metinde 3. adım şu şekilde verilmiş:

- **III.** cos x = cos$(\pi - \frac{\pi}{3})$.

cos(π − π/3) = cos(2π/3)’tür ve cos(2π/3) = -1/2 olduğu için **cos x = -1/2** yerine “cos x = cos(2π/3)” yazılmasında hata yoktur. Trigonometrik olarak:

\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}.

Yani x’in cos değeri -1/2 olan açılardan biri 2π/3 olduğundan, Duygu burada cos x = cos(2π/3) yazarak sorunu “cos x = cos α” kalıbına dönüştürmektedir.

- **Değerlendirme** : Bu adım da doğrudur. cos(2π/3) = -1/2 olduğu bilinir.

* * *

## 6. Adım IV: x = 2π/3 + 2kπ veya x = −2π/3 + 2kπ

Denklem cos x = cos α ise genel olarak x = \pm \alpha + 2k\pi (k tam sayı) formülü kullanılır. Burada α = 2π/3’tür. Dolayısıyla:

x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ya da} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.

cos x = -1/2 için denk gelebilecek bir diğer formül de x = 2π/3 + 2kπ veya x = 4π/3 + 2kπ şeklindedir. Aslında -2π/3 + 2kπ ifadesi de 4π/3 + 2(k-1)π gibi bir dönüştürme ile aynı seti verir. Dolayısıyla IV. adım:

- **IV.**

x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

burada da **doğrudur**.

* * *

## 7. Adım V: Genel Tek Formülle İfade Girişimi ve Hata

Duygu’nun beşinci adımı:

- **V.**

x = \left\{\, n\cdot \pi + (-1)^{\,2n+1}\,\frac{2\pi}{3}\,:\; n\in \mathbb{Z}\right\}.

Bu tek formül, cos x = -1/2’nin bütün köklerini tek kalıpta göstermeyi amaçlamaktadır. Ancak bu ifade çoğu değerde yanlış sonuçlar üretir. Örneğin kontrol edelim:

- n = 0 konulduğunda:

x = 0\cdot \pi + (-1)^1 \frac{2\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}

Bu, 4π/3 + 2kπ ile aynı kümeye kaydırılabilir, dolayısıyla bu kısım bir köşe ihtimalini karşılıyor gibi görünüyor.

- n = 1 konulduğunda ise:

x = 1\cdot \pi + (-1)^3 \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.

cos(π/3) = +1/2’dir, **-1/2 değil**. Dolayısıyla formülden çıkan x = π/3 çözümü, denklemimizle tutarsız olur; çünkü cos x = -1/2’yi sağlamaz. Bu, formülün evrensel olarak yanlış genelleme yaptığını gösteren açık bir kanıttır.

Bu sebeple **Adım V** yanlıştır ve Duygu’nun çözüm yolundaki **ilk hata bu adımda** ortaya çıkar.

* * *

## 8. Çözümdeki Adımları Özetleyen Tablo

Aşağıdaki tabloda Duygu’nun beş adımını ve her birine ilişkin doğruluk değerlendirmesini bulabilirsiniz:

| **Adım** | **İşlem veya Açıklama** | **Hata Durumu** |
| --- | --- | --- |
| I. 1/cos x = -2 → cos x = -1/2 | sec x = -2 tanımından cos x = -1/2 elde edilmesi. | Doğru |
| II. cos x = -1/2 | I. adımın aynen yazılması, vurgulanması. | Doğru |
| III. cos x = cos(π - π/3) = cos(2π/3) | cos(2π/3) = -1/2 olduğu için cos x = cos(2π/3) yazılması. | Doğru |
| IV. x = 2π/3 + 2kπ veya x = -2π/3 + 2kπ, k∈Z | cos x = cos α için genel çözüm formülü (± α + 2kπ). | Doğru |
| V. x = n·π + (-1)^(2n+1) 2π/3, n∈Z | Tüm kökleri tek formüle sığdırma girişimi. n=1 için x=π/3 çıkıyor; cos(π/3)=+1/2≠-1/2. Bu formül genel olarak hatalı. | Yanlış (hata burada) |

Tablodan da görüldüğü gibi ilk dört adım doğru, beşinci adım **yanlış** olarak belirlenmiştir.

* * *

## 9. Doğru Kökler ve [0, 2π] Aralığındaki Çözümler

### 9.1. Genel Çözüm

cos x = -1/2 denkleminin standart genel çözümü:

x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{veya} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Alternatif olarak

x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi

ifadesi de özünde aynı çözümleri temsil eder. Çünkü

-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2(k-1)\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k'\pi,\; k' = k-1.

### 9.2. [0, 2π] Aralığı

Soru, özellikle “sec x = -2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki değeri”ni bulmayı hedefliyor. cos x = -1/2 denince [0, 2π] içinde cos x = -1/2 olan açılar:

1. x = 2π/3
2. x = 4π/3

Bunlar, 0 ile 2π arasındaki tek çözümlerdir. sec x = -2 de tam bu açıların cos değeri -1/2 olduğu için sağlanır.

* * *

## 10. Sık Yapılan Hatalar ve Bu Soruda Ortaya Çıkan Yanlışlık

1. **Yanlış Genelleme Yapmak** : Trigonometrik denklemlerde x = α + 2kπ, x = -α + 2kπ gibi birden fazla formu bir tek ifade içinde belirli bir kural yazarak birleştirmek oldukça ustalık ister. Yanlış üs, yanlış işaret kullanımı veya fazladan kat sayı eklenmesi tipik hatalardandır.
2. **Temel Açılarda Hata** : cos x = -1/2, sin x = √2/2 vb. özel değerlerin hangi açıya denk geldiğinde şaşırmak da sık karşılaşılan bir durumdur.
3. **Aralık Kontrolünü Unutmak** : [0, 2π] veya [−π, π] gibi aralıklarda istenen çözümleri doğru sayıda yazmamak ayrı bir problemdir.
4. **Kökleri Tek Tek Yazmamak** : “x = n·π + (-1)^n …” biçiminde formülle tüm çözümleri ifade etmek her zaman mümkün olsa da bazen benzer terimlerin atlanması veya gereksiz tekrarlara düşülmesi gibi hatalar ortaya çıkabilir.

Bu soruda, 5. adımda Duygu, “(-1)^(2n+1)” gibi bir ifade kullanarak hem -2π/3 hem +2π/3 köklerini tek bir parantez içinde ifade etmeye çalışırken, n=1 durumunda cos x = -1/2 ile uyuşmayan bir sonuç türemektedir. Bu da formülün genel olarak hatalı olduğunu kanıtlar.

* * *

## 11. Sonuç ve Genel Değerlendirme

- **Sonuç** : Duygu’nun çözümünü incelediğimizde ilk dört adımın geçerli, ancak **beşinci adımın yanlış** olduğunu görürüz. Dolayısıyla soru “Duygu ilk hatayı hangi adımda yapmıştır?” şeklinde olduğundan, **cevap V. adım** dır (E seçeneği).

- **Kısa Özet** :

1. sec x = -2 → cos x = -1/2 doğrudur.
2. cos x = -1/2 denkleminin temel açıları 2π/3 ve 4π/3’tür.
3. Genel çözümler x = 2π/3 + 2kπ veya x = 4π/3 + 2kπ (k tam sayı).
4. [0, 2π] aralığında çözümler 2π/3 ve 4π/3’tür.
5. Adım V’de yazılan birleşik formül, n=1 için x=π/3 gibi yanlış sonuçlar verdiğinden hatalıdır.

* * *

@Sorumatik_Ogretmen