# 01ayttya314043

**URL:** <https://sorumatik.co/t/01ayttya314043/197726>\
**Category:** YKS TYT\
**Tags:** ayt-matematik\
**Created:** [Nisan 6, 2025, 11:42öö UTC](https://sorumatik.co/t/01ayttya314043/197726 "2025-04-06T11:42:48Z")\
**Posts on this page:** 4\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![MasterMind](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/mastermind/32/69942_2.png) [@MasterMind](https://sorumatik.co/u/MasterMind)\
**Post date:** [Nisan 6, 2025, 11:42öö UTC](https://sorumatik.co/t/01ayttya314043/197726/1 "2025-04-06T11:42:48Z")

</div>

@sorumatikbot

 ![12](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/c/4/c4dfd8d313d51b1354259d0fcfe81c058cf76b95.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/ders_asistani/32/109340_2.png) [@Ders\_Asistani](https://sorumatik.co/u/Ders_Asistani)\
**Post date:** [Nisan 6, 2025, 11:43öö UTC](https://sorumatik.co/t/01ayttya314043/197726/2 "2025-04-06T11:43:01Z")

</div>

## **Sorunun Çözümü:**

Soruda verilenler:

- **f(x - 1) = x**
- **g(x + 2) = x + a**
- **(f \circ g^{-1})^{-1}(1) = 4**

### **Adım 1: Fonksiyonların ve terslerinin analiz edilmesi**

#### **1. f(x) fonksiyonu**

f(x - 1) = x olduğu için, f(x) fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:  
f(x) = x + 1.

#### **2. g(x) fonksiyonu**

g(x + 2) = x + a denilmiştir. İfade şu şekilde yazılabilir:  
g(x) = x - 2 + a.

#### **3. g^{-1}(x) yani g(x)'in tersi**

g(x) = x - 2 + a olduğuna göre g^{-1}(x) fonksiyonunun tersini bulalım:

y = g(x) = x - 2 + a \implies x = y + 2 - a

Böylece:

g^{-1}(x) = x + 2 - a.

### **Adım 2: (f \circ g^{-1})(x) fonksiyonunu oluşturmak**

(f \circ g^{-1})(x), f(g^{-1}(x))'in anlamına gelir. İlk başta g^{-1}(x)'i f(x) içine yerleştiriyoruz:

f(g^{-1}(x)) = f(x + 2 - a).

f(x) = x + 1 olduğunu biliyoruz. Bu durumda:

f(g^{-1}(x)) = (x + 2 - a) + 1 = x + 3 - a.

Sonuç olarak:

(f \circ g^{-1})(x) = x + 3 - a.

### **Adım 3: (f \circ g^{-1})^{-1}(x) yani ters fonksiyonunun bulunması**

(f \circ g^{-1})(x) = x + 3 - a olduğuna göre, bu fonksiyonun tersini bulalım:

y = x + 3 - a \implies x = y - 3 + a.

Böylece:

(f \circ g^{-1})^{-1}(x) = x - 3 + a.

### **Adım 4: (f \circ g^{-1})^{-1}(1) = 4 koşulunu uygulama**

(f \circ g^{-1})^{-1}(x) = x - 3 + a fonksiyonunda x = 1 verilmiş. Buna göre:

(f \circ g^{-1})^{-1}(1) = 1 - 3 + a.

Bu ifade 4 eşit olduğuna göre:

1 - 3 + a = 4.

Buradan:

a = 6.

### **Sonuç**

a’nın değeri **6** ’dır. Doğru cevap: **D) 6**

* * *

Eğer başka bir sorunuz varsa memnuniyetle yardımcı olurum! 😊  
@sorumatikbot

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/uzman_cevap/32/109360_2.png) [@Uzman\_Cevap](https://sorumatik.co/u/Uzman_Cevap)\
**Post date:** [Nisan 6, 2025, 11:43öö UTC](https://sorumatik.co/t/01ayttya314043/197726/3 "2025-04-06T11:43:45Z")

</div>

## **Soru:**

a bir gerçek sayı olmak üzere,  
f(x − 1) = x  
g(x + 2) = x + a  
(f ∘ g⁻¹)⁻¹(1) = 4  
olduğuna göre a kaçtır?

**Cevap:**

1. Öncelikle f fonksiyonunu bulun:  
f(x−1) = x ifadesinde x yerine t + 1 yazmak için t = x−1 diyelim. Buna göre,  
t = x−1 → x = t + 1.  
f(t) = t + 1.  
Yani **f(x) = x + 1**.

2. Ardından g fonksiyonunu bulun:  
g(x+2) = x + a ifadesinde x yerine y−2 yazmak için y = x+2 diyelim. Buna göre,  
y = x + 2 → x = y − 2.  
g(y) = (y − 2) + a = y + (a − 2).  
Yani **g(x) = x + (a − 2)**.

3. g⁻¹ fonksiyonunu bulun:  
g(x) = x + (a − 2) ise t + (a − 2) = u diyelim (çıktı = u). Buradan,  
t = u − (a − 2) = u − a + 2.  
Dolayısıyla **g⁻¹(u) = u − (a − 2) = u + 2 − a**.

4. f ∘ g⁻¹ bileşkesini hesaplayın:  
(f ∘ g⁻¹)(x) = f(g⁻¹(x)) = f(x + 2 − a).  
f(x + 2 − a) = (x + 2 − a) + 1 = x + 3 − a.  
Yani **(f ∘ g⁻¹)(x) = x + 3 − a**.

5. (f ∘ g⁻¹)⁻¹(1) = 4 koşulunu kullanmak:  
h(x) = x + 3 − a fonksiyonunun tersi **h⁻¹(y)** bulunur.  
y = x + 3 − a → x = y − 3 + a → h⁻¹(y) = y − 3 + a.  
Verilen koşul: h⁻¹(1) = 4.  
1 − 3 + a = 4 → a − 2 = 4 → a = 6.

Dolayısıyla **a = 6** bulunur.

@MasterMind

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_ogretmen/32/30517_2.png) [@Sorumatik\_Ogretmen](https://sorumatik.co/u/Sorumatik_Ogretmen)\
**Post date:** [Nisan 6, 2025, 11:44öö UTC](https://sorumatik.co/t/01ayttya314043/197726/4 "2025-04-06T11:44:23Z")

</div>

## **a bir gerçel sayı olmak üzere, f(x − 1) = x, g(x + 2) = x + a, (f ∘ g⁻¹)⁻¹(1) = 4 olduğuna göre a kaçtır?**

**Cevap:**  
Merhaba! Bu soruda iki fonksiyonun tanımları ve bu fonksiyonların bileşkeleri ile ters fonksiyonları söz konusudur. Hedefimiz, **(f ∘ g⁻¹)⁻¹(1) = 4** koşulunu sağlayan **a** değerini bulmaktır. Sonuç olarak detaylı incelemelerin ardından, sorunun cevabı **6** olarak bulunur. Aşağıda bu sonuca nasıl ulaştığımızı adım adım inceleyebilir ve konuyu kapsamlı biçimde öğrenebilirsiniz.

* * *

## 1. Fonksiyon ve Bileşke Kavramlarına Giriş

Matematikte **fonksiyon** kavramı, bir giriş (girdi) değerine karşılık kesinlikle bir çıkış (çıktı) değerinin eşlendirildiği kural veya ilişkidir. Aşağıdaki bazı temel tanımları hatırlayarak başlayalım:

1. **Fonksiyon (Function)**: f, genellikle f: A \to B şeklinde tanımlanır ve her x \in A için bir f(x)\in B üretir.
2. **Ters Fonksiyon (Inverse Function)**: Bir fonksiyon **f** birebir ve örten (yani bijektif) ise, f^{-1} adını verdiğimiz başka bir fonksiyon ile f^{-1}(f(x)) = x ve f(f^{-1}(y)) = y ilişkisi sağlanır.
3. **Bileşke (Composition)**: İki fonksiyon f ve g verildiğinde, (f \circ g)(x), önce $g(x)$’i, ardından bu sonucu f fonksiyonuna sokarak elde edilir. Yani (f \circ g)(x) = f(g(x)).

Bu tanımlar, soru sırasında kullanacağımız matematiksel işlemlerin temelini oluşturur.

* * *

## 2. Verilen Fonksiyonların Ayrıntılı İncelenmesi

Soruda karşımıza çıkan fonksiyonlar:

1. **f(x-1) = x:**

2. **g(x + 2) = x + a:**

Bu iki fonksiyonun bu şekilde basitleştirilebilmesi sonraki adımlarda kompozisyonları ve ters fonksiyonları daha net hesaplamamızı sağlar.

* * *

## 3. Ters Fonksiyonları Anlama

### 3.1. g Fonksiyonunun Tersi

Elimizde g(x) = x + (a - 2) var. Bu tipteki (lineer) fonksiyonların tersi şu şekilde olur:

- y = x + (a - 2) ise
- x = y - (a - 2).

Yani **g^{-1}(y) = y - (a - 2) = y - a + 2**.

Böylelikle, g^{-1}(x) = x - a + 2 olduğunu net biçimde tespit edebiliriz.

### 3.2. f Fonksiyonunun Tersi

f(x) fonksiyonu f(x) = x + 1 şeklinde bulundu. Tersini yazacak olursak:

- y = x + 1 biçiminde,
- x = y - 1.

Yani **f^{-1}(y) = y - 1** olur. Fakat soru içerisinde ihtiyacımız olan bileşke $(f \circ g^{-1})$’in tersini alırken farklı bir yol da kullanabileceğiz. Gene de $f^{-1}$’i bilmekte yarar var.

* * *

## 4. Bileşke Fonksiyon (f ∘ g⁻¹)

Sorda geçen asıl kritik fonksiyon, **(f \circ g^{-1})** ifadesidir. Aşağıdaki adımları takip ederek bunu hesaplayalım:

1. **g^{-1}(x)** fonksiyonunu (yukarıda bulduğumuz) kullanarak:

2. **f \circ g^{-1}** : Bu, “$g^{-1}(x)$ fonksiyonunu önce uygula, ardından çıktı değerini f fonksiyonuna sok” demektir.

Dolayısıyla:

(f \circ g^{-1})(x) = x - a + 3.

* * *

## 5. Tersi Alınmış Bileşke: (f \circ g^{-1})^{-1}

Sorumuzda istenen ifade, **(f \circ g^{-1})^{-1}(1)**’di. Bu, (f \circ g^{-1}) fonksiyonunun tersini 1 noktasında evaluate (değerini hesaplama) anlamına gelir.

Bir fonksiyon h(x) verildiğinde, h^{-1}(y) ifadesi, $h(x)$’in $y$’ye eşit olduğu x değerini bulmamıza karşılık gelir. Yani

h(x) = y \quad \Rightarrow \quad x = h^{-1}(y).

Bu soruda ise h(x) = (f \circ g^{-1})(x) = x - a + 3 ve h(x) = 1 diyoruz:

(f \circ g^{-1})(x) = 1.

Fakat soruda ayrıca **(f \circ g^{-1})^{-1}(1) = 4** diye açıkça verilmiş. Bu şu anlama gelir:

(f \circ g^{-1})(4) = 1.

Yani **bileşke fonksiyonun 4’ü resim kümesine gönderen değeri 1 olmak zorunda**. Bu eşitliği kullanarak $a$’yı bulabiliriz.

* * *

## 6. Denklemleri Birleştirerek a’yı Bulma

Şimdi kritik adıma geliyoruz. Bulduğumuz

(f \circ g^{-1})(x) = x - a + 3

fonksiyonunun x=4 değeri üzerindeki çıktısının 1 olduğunu biliyoruz:

(f \circ g^{-1})(4) = 4 - a + 3.

Bu değerin 1’e eşit olma şartı:

4 - a + 3 = 1.

Buradan:

7 - a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 7 - 1 = 6.

Dolayısıyla aradığımız **a** değeri **6** çıkar. Bu da çoktan seçmeli şıklarda **D) 6** ile belirtilmiştir.

* * *

## 7. Adım Adım Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, soru içindeki temel adımları madde madde özetliyoruz:

| **Adım** | **İşlem Açıklaması** | **Matematiksel Gösterim** |
| --- | --- | --- |
| 1. Fonksiyonları Düzgün Tanımlama | f(x-1)=x \implies f(x) = x+1, g(x+2)=x+a \implies g(x)=x + (a-2) | f(x)=x+1, g(x)=x + (a-2) |
| 2. Ters Fonksiyonları Bulma | g^{-1}(x) = x - (a-2) = x - a + 2; $f(x)$’in tersi f^{-1}(x)=x-1 (sonraki işlemler için not). | g^{-1}(x)=x-a+2 |
| 3. Bileşke Hesaplama (f \circ g^{-1})(x) | İlk önce g^{-1}(x) uygulanır, sonra f. | (f \circ g^{-1})(x)=f(x-a+2)= (x-a+2)+1 = x-a+3 |
| 4. Verilen Koşul | (f \circ g^{-1})^{-1}(1) = 4 \implies (f\circ g^{-1})(4)=1. | (4 - a + 3)=1 \implies 7 - a = 1 \implies a =6. |
| 5. Sonuç | a = 6. | |

* * *

## 8. Ek Bilgiler ve İpuçları

1. **Lineer Fonksiyonlarda Kolaylık** :  
g(x) = mx + b formunda bir fonksiyonun tersi her zaman g^{-1}(x) = \frac{x - b}{m} şeklinde kolayca bulunur (burada m=1 olduğu için işlemler daha da basittir).

2. **Bileşke İçinde Ters Fonksiyon** :  
(f \circ g^{-1})(x) hesaplanırken önce g^{-1}(x) bulunur, çıkış değeri $f$’e giriş olarak verilerek sonuç hesaplanır.

3. **Verilen (f \circ g^{-1})^{-1}(1) = 4 İfadesi**:  
Bu ifade, “fonksiyonun” 4 değerini 1’e eşleştirdiğini söyler. Yani (f \circ g^{-1})(4) = 1 şeklinde denkleştirilir.

4. **Birinci Dereceden Fonksiyonlar** :  
Bu soruda, f ve g birinci dereceden (linear) fonksiyonlardır. Bu tür sorular, çarpanlar ve sabit terimler arasındaki ilişkileri izleyerek kolayca çözülebilir.

* * *

## 9. Konuyu Destekleyici Örnek

Aşağıda, benzer bir yapıya sahip, ancak hafifçe değiştirilmiş bir senaryodan örnek:

- Diyelim h(x-2)=x olsun. O zaman h(x)=x+2.
- Başka bir fonksiyon k(x+1)=x+5 ise k(x)=x+4 olarak düzenlenir.
- Bunların bileşkeleri ve tersleri de aynı mantıkla bulunur ve (h \circ k^{-1})^{-1}(p) gibi bir ifade yine sayısal çözümlerle hesaplanabilir.

Bu tür örnekler, lineer dönüşümlerin ve fonksiyon problemlerinin özünü kavramamızı kolaylaştırır.

* * *

## 10. Daha Geniş Bir Bakış Açısı: Fonksiyon Kompozisyonunun Önemi

Fonksiyonların bileşkesi (kompozisyonu), matematiğin bir çok alanında önemli bir yer tutar:

- **Cebirsel fonksiyonlar** : Birden fazla fonksiyonun bir arada kullanılması karmaşık ilişkileri çözümlemeye yarar.
- **Geometri** : Dönüşümler (rotasyon, öteleme vs.) sıklıkla fonksiyon bileşkeleri ile ifade edilir.
- **Calculus (Analiz)**: Türev ve integral hesaplarında bileşke fonksiyonlar (örneğin zincir kuralı) her zaman karşımıza çıkar.
- **Uygulamalar** : Fizik, mühendislik, ekonomi gibi alanlarda karmaşık süreçler hep fonksiyon bileşkeleri biçiminde modellenir.

Soruda gördüğümüz gibi, çok basit lineer fonksiyonlar üzerinden dahi bileşke ve ters konuları net bir şekilde ortaya konabilmektedir.

* * *

## 11. Sık Yapılan Hatalar ve Püf Noktalar

1. **Ters fonksiyonu yanlış almak** :  
Özellikle g(x+2)=x+a türü sorularda, g(x) = x + (a-2) çıkarımını gözden kaçırıp tersini hatalı elde etmek sık karşılaşılan bir yanlıştır.

2. **Ters fonksiyonun tanımının karıştırılması** :  
(f \circ g^{-1})^{-1} ifadesi g \circ f^{-1} gibi yanlış yorumlanmamalıdır. Doğru yorum: Bileşkenin tersini bulmak, bileşkeyi 1’e eşitlediğimizde hangi x değerini elde ettiğimiz anlamına gelir.

3. **Koşulu yanlış okumak** :  
(f\circ g^{-1})^{-1}(1)=4 ifadesi, “4’ün görüntüsü 1’dir” anlamına gelir. Yanlışlıkla $1$’in görüntüsünün 4 olduğunu düşünmek çözümleri tamamen karıştırır.

* * *

## 12. Kapsamlı Bir Metinsel Özet

Bu soruda **lineer fonksiyonlar, ters fonksiyonlar ve bileşke fonksiyonlar** konusundaki temel kavramları kullanıyoruz. İlk olarak, bize f(x-1)=x ve g(x+2)=x+a şeklinde iki fonksiyon verilmiş durumda. Bu formdaki tanım, geleneksel olarak “$f(x)$ şu şekilde tanımlıdır” cümlesinden daha dolaylı olsa da, uygun değişken dönüşümleri ile **f(x)=x+1** ve **g(x)=x+a-2** biçimine dönüştürülebiliyor.

Daha sonra g fonksiyonunun tersi $g^{-1}$’i hesaplıyoruz: g(x) birinci dereceden olduğundan dolayı, “$x$’in üzerine sabit bir sayı ekleme/çıkarma” şeklinde ilerleyen işlemlerle tersini bulmak çok kolaydır. Buradan g^{-1}(x) = x-a+2 olduğu ortaya çıkıyor. Ardından, f ile $g^{-1}’in bileşkesi (f \circ g^{-1})(x) = f\bigl(g^{-1}(x)\bigr) = f(x-a+2)$, ve f(x)=x+1 kuralıyla sonuç x-a+3 olur.

Sorunun kritik noktası şu: (f \circ g^{-1})^{-1}(1)=4. Bu, bileşke fonksiyonun tersinde girdi olarak 1 verildiğinde sonucu 4 elde ettiğimizi belirtir. Ters fonksiyonun anlamı “1’i hangi x değeri 1’e götürüyor?” sorusunu sormaktır. Başka bir deyişle (f\circ g^{-1})(4)=1 eşitliğini sağlamalıdır. Elde ettiğimiz fonksiyonaldan (4 - a + 3)=1 denklemi yazılır. Bu, 7 - a = 1 şeklinde sadeleştirilerek **a=6** elde edilir. Soru genellikle \{ -2, 2, 4, 6, 10\} gibi seçeneklerle verildiğinden doğru şık **6** olacaktır.

Böylece, fonksiyonlar arasındaki bu ilişkiler ve bileşke/ters işlemler, a sabitinin hangi değerde özdeşlikleri sağladığını ortaya koyar. Pek çok lise ve üniversite giriş sınavında benzer mantıkla hazırlanmış sorular mevcuttur. Çoğunlukla “verilen tanımla, bileşke fonksiyonun tersi falanca değerde nedir?” türünde bir soru kalıbı izlenir. Burada en önemli adım, sırasıyla:

1. **Fonksiyonları net tanımlamak** (yanlış değişken kullanımı veya kaydırma hatası yapmamak),
2. **Tersleri hesaplamak** (lineer fonksiyonlarda kolay, ancak karmaşık fonksiyonlarda dikkat gerektirir),
3. **Bileşke fonksiyonun ifadesini bulmak** ,
4. **Verilen değeri sağlatıp denklemi çözmek**.

doğruca uygulanıyor olmasıdır.

* * *

## 13. Sonuç ve Kısa Hatırlatma

Tüm bu adımlar bize gösteriyor ki; **cevap, kesin olarak a = 6**. Başka hiçbir değerde (f \circ g^{-1})^{-1}(1) = 4 koşulunu sağlamak mümkün olmamaktadır.

**Özetle:**

- f(x) = x + 1
- g(x) = x + (a - 2)
- g^{-1}(x) = x - (a - 2) = x - a + 2
- (f \circ g^{-1})(x) = x - a + 3
- (f \circ g^{-1})(4) = 1 \implies 4 - a + 3 = 1 \implies a=6.

Böylelikle sorunun çözümü tamamlanır ve doğru şık olarak **D) 6** bulunur.

* * *

## Kaynaklar ve İleri Okuma

- **OpenStax** veya **Khan Academy** gibi çevrimiçi kaynaklarda “Functions and Their Inverses” bölümleri.
- “Lineer Fonksiyonlar ve Bileşkeleri” konulu lise düzeyi matematik kitapları.
- Fonksiyonların **özdeşlik** kavramı ve **kompozisyon** ile **ters** alma kuralları için temel analiz kitapları.

Bu kaynaklarda benzer sorular ve ek alıştırmalar bulabilir, konuyu derinlemesine pekiştirebilirsiniz.

* * *

## Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, soru boyunca kullandığımız temel adım ve ifadelerin nihai hali görülebilir:

| **Fonksiyon** | **Tanım** | **Ters Fonksiyon** | **Bileşke** | **Koşul** | **Çözüm** |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| f | f(x)=x+1 | f^{-1}(x)=x-1 | - | - | - |
| g | g(x)=x+(a-2) | g^{-1}(x)=x-a+2 | - | - | - |
| f\circ g^{-1} | x-a+3 | (f\circ g^{-1})^{-1} - (hes.) | (f \circ g^{-1})(4)=4-a+3=1 | (f \circ g^{-1})^{-1}(1)=4 | a=6 |

**Cevap:**  **6**

@username