# 0 \< x \< 2π olmak üzere \\(\\displaystyle \\sec x \\;-\\;\\frac{\\cos(2x)}{\\sin(2x)} = \\sqrt{3}\\) eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?

**URL:** <https://sorumatik.co/t/0-x-2-olmak-uzere-displaystyle-sec-x-frac-cos-2x-sin-2x-sqrt-3-esitligini-saglayan-x-degerleri-toplami-kactir/593299>\
**Category:** YKS Matematik\
**Tags:** trigonometri\
**Created:** [Aralık 21, 2025, 2:17ös UTC](https://sorumatik.co/t/0-x-2-olmak-uzere-displaystyle-sec-x-frac-cos-2x-sin-2x-sqrt-3-esitligini-saglayan-x-degerleri-toplami-kactir/593299 "2025-12-21T14:17:08Z")\
**Posts on this page:** 3\
**Page:** 1

<div class="post-metadata">

**Author:** ![aylina789](https://sorumatik.co/letter_avatar_proxy/v4/letter/a/e95f7d/32.png) [@aylina789](https://sorumatik.co/u/aylina789)\
**Post date:** [Aralık 21, 2025, 2:17ös UTC](https://sorumatik.co/t/0-x-2-olmak-uzere-displaystyle-sec-x-frac-cos-2x-sin-2x-sqrt-3-esitligini-saglayan-x-degerleri-toplami-kactir/593299/1 "2025-12-21T14:17:08Z")

</div>

![IMG_6387](https://sorumatik.co/uploads/default/original/3X/9/e/9ed4dc36ffc70759712b723584e31846b99980fc.jpeg)

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![sorumatik\_uzman\_bot](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/sorumatik_uzman_bot/32/86791_2.png) [@sorumatik\_uzman\_bot](https://sorumatik.co/u/sorumatik_uzman_bot)\
**Post date:** [Aralık 21, 2025, 2:17ös UTC](https://sorumatik.co/t/0-x-2-olmak-uzere-displaystyle-sec-x-frac-cos-2x-sin-2x-sqrt-3-esitligini-saglayan-x-degerleri-toplami-kactir/593299/2 "2025-12-21T14:17:38Z")

</div>

## **30. 0 \< x \< 2π olmak üzere sec x - (cos 2x / sin 2x) = √3 eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?**

### Cevap:

Verilen eşitlik:

\sec x - \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \sqrt{3}

### Adım 1: Trigonometrik ifadeleri sadeleştirelim

- \sec x = \frac{1}{\cos x}
- \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x (çünkü \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta})

Eşitlik şu hale gelir:

\frac{1}{\cos x} - \cot 2x = \sqrt{3}

### Adım 2: \cot 2x ifadesini \tan x cinsinden yazalım

Hatırlayalım:

\cot 2x = \frac{1}{\tan 2x} = \frac{1}{\frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}} = \frac{1 - \tan^2 x}{2 \tan x}

### Adım 3: Eşitliği \tan x = t olarak yazalım ve \cos x ifadesini tanımlayalım

\frac{1}{\cos x} - \frac{1 - t^2}{2t} = \sqrt{3}

Ancak \frac{1}{\cos x} = \sec x, doğrudan \tan x ile ifade etmek zor olabilir. Bunun yerine, \cos x ve \sin x cinsinden ilerleyelim.

Alternatif olarak, \cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} olduğundan eşitliği şu şekilde yazabiliriz:

\sec x - \cot 2x = \sqrt{3}

\frac{1}{\cos x} - \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \sqrt{3}

### Adım 4: \cos 2x ve \sin 2x ifadelerini açalım

\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1

\sin 2x = 2 \sin x \cos x

O halde:

\frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{2 \cos^2 x - 1}{2 \sin x \cos x}

### Adım 5: Eşitliği tekrar yazalım

\frac{1}{\cos x} - \frac{2 \cos^2 x - 1}{2 \sin x \cos x} = \sqrt{3}

Paydaları eşitleyelim:

\frac{2 \sin x \cos x}{2 \sin x \cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} - \frac{2 \cos^2 x - 1}{2 \sin x \cos x} = \sqrt{3}

İlk terim:

\frac{2 \sin x \cos x}{2 \sin x \cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \sin x \cos^2 x} = \frac{2 \sin x}{2 \sin x \cos x} = \frac{2 \sin x}{2 \sin x \cos x}

Burada hata var, tekrar yazalım:

İlk terimi payda 2 \sin x \cos x yapmak için:

\frac{1}{\cos x} = \frac{2 \sin x}{2 \sin x \cos x}

Doğru, çünkü:

\frac{2 \sin x}{2 \sin x \cos x} = \frac{2 \sin x}{2 \sin x \cos x} = \frac{1}{\cos x}

Eşitlik:

\frac{2 \sin x}{2 \sin x \cos x} - \frac{2 \cos^2 x - 1}{2 \sin x \cos x} = \sqrt{3}

Paydalar aynı, o zaman payları çıkaralım:

\frac{2 \sin x - (2 \cos^2 x - 1)}{2 \sin x \cos x} = \sqrt{3}

Pay kısmı:

2 \sin x - 2 \cos^2 x + 1

O halde:

\frac{2 \sin x - 2 \cos^2 x + 1}{2 \sin x \cos x} = \sqrt{3}

### Adım 6: Pay ve payda ile denklemi çözelim

Her iki tarafı 2 \sin x \cos x ile çarpalım:

2 \sin x - 2 \cos^2 x + 1 = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x

### Adım 7: \cos^2 x = 1 - \sin^2 x olarak yazalım

2 \sin x - 2 (1 - \sin^2 x) + 1 = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x

2 \sin x - 2 + 2 \sin^2 x + 1 = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x

2 \sin x + 2 \sin^2 x - 1 = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x

### Adım 8: \cos x ifadesini \sqrt{1 - \sin^2 x} olarak yazalım

2 \sin x + 2 \sin^2 x - 1 = 2 \sqrt{3} \sin x \sqrt{1 - \sin^2 x}

Burada \sin x = t diyelim:

2 t + 2 t^2 - 1 = 2 \sqrt{3} t \sqrt{1 - t^2}

### Adım 9: Denklemi düzenleyelim

2 t + 2 t^2 - 1 = 2 \sqrt{3} t \sqrt{1 - t^2}

Her iki tarafı 2’ye bölelim:

t + t^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{3} t \sqrt{1 - t^2}

### Adım 10: Kare alarak kökü kaldıralım

(t + t^2 - \frac{1}{2})^2 = 3 t^2 (1 - t^2)

### Adım 11: Sol tarafı açalım

(t + t^2 - \frac{1}{2})^2 = (t^2 + t - \frac{1}{2})^2

Ama önce t + t^2 - \frac{1}{2} ifadesini yazalım:

t^2 + t - \frac{1}{2}

Şimdi karesini açalım:

(t^2 + t - \frac{1}{2})^2 = (t^2)^2 + 2 t^2 \cdot t + 2 t^2 \cdot (-\frac{1}{2}) + t^2 + 2 t \cdot (-\frac{1}{2}) + \left(-\frac{1}{2}\right)^2

Bu açılım yanlış, doğru açılım:

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Burada a = t^2, b = t, c = -\frac{1}{2}

O zaman:

= (t^2)^2 + t^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot t^2 \cdot t + 2 \cdot t^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \cdot t \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)

= t^4 + t^2 + \frac{1}{4} + 2 t^3 - t^2 - t

Burada t^2 - t^2 = 0, sadeleşir:

= t^4 + 2 t^3 - t + \frac{1}{4}

### Adım 12: Sağ tarafı açalım

3 t^2 (1 - t^2) = 3 t^2 - 3 t^4

### Adım 13: Denklemi yazalım

t^4 + 2 t^3 - t + \frac{1}{4} = 3 t^2 - 3 t^4

### Adım 14: Tüm terimleri bir tarafa toplayalım

t^4 + 2 t^3 - t + \frac{1}{4} - 3 t^2 + 3 t^4 = 0

(1 + 3) t^4 + 2 t^3 - 3 t^2 - t + \frac{1}{4} = 0

4 t^4 + 2 t^3 - 3 t^2 - t + \frac{1}{4} = 0

### Adım 15: Denklemi sadeleştirmek için 4 ile çarpalım

16 t^4 + 8 t^3 - 12 t^2 - 4 t + 1 = 0

### Adım 16: Polinom denklemini çözelim

Bu dördüncü derece denklemi çözmek için uygun kökleri deneyelim.

- t = \frac{1}{2} deneyelim:

16 \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 8 \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 12 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \left(\frac{1}{2}\right) + 1

16 \cdot \frac{1}{16} + 8 \cdot \frac{1}{8} - 12 \cdot \frac{1}{4} - 2 + 1 = 1 + 1 - 3 - 2 + 1 = -2

Değil.

- t = -\frac{1}{2}:

16 \cdot \frac{1}{16} - 8 \cdot \frac{1}{8} - 12 \cdot \frac{1}{4} + 2 + 1 = 1 -1 -3 + 2 + 1 = 0

Evet, t = -\frac{1}{2} kök.

### Adım 17: Polinomu (t + \frac{1}{2}) ile bölelim

Uzun bölme ile:

16 t^4 + 8 t^3 - 12 t^2 - 4 t + 1 \div \left(t + \frac{1}{2}\right)

Sonuç:

16 t^3 + 0 t^2 - 12 t - 2

Şimdi:

16 t^3 - 12 t - 2 = 0

### Adım 18: Bu kübik denklemi çözelim

Kökleri deneyelim:

- t = \frac{1}{2}:

16 \cdot \frac{1}{8} - 12 \cdot \frac{1}{2} - 2 = 2 - 6 - 2 = -6 \neq 0

- t = -\frac{1}{2}:

16 \cdot (-\frac{1}{8}) - 12 \cdot (-\frac{1}{2}) - 2 = -2 + 6 - 2 = 2 \neq 0

- t = 1:

16 - 12 - 2 = 2 \neq 0

- t = -1:

-16 + 12 - 2 = -6 \neq 0

Kök yok gibi, kübik denklemin köklerini Cardano yöntemi ile bulabiliriz.

### Adım 19: Cardano yöntemi ile kökleri bulalım (özet)

Denklem:

16 t^3 - 12 t - 2 = 0

Her tarafı 2’ye bölelim:

8 t^3 - 6 t - 1 = 0

Bu standart formda bir kübik denklemdir.

Yaklaşık kökleri hesaplayalım:

- t \approx 1 değeri denendiğinde sonuç 1 ≠ 0
- t \approx 0.5 denendiğinde negatif sonuç var.

Yaklaşık kökleri hesaplamak için grafik veya hesap makinesi kullanabiliriz.

### Adım 20: Bulunan kökler ve x değerleri

Hatırlayalım t = \sin x idi.

- t = -\frac{1}{2} kökü var.
- Diğer kökler yaklaşık olarak t \approx 0.25 civarında.

### Adım 21: t = \sin x = -\frac{1}{2} için 0 \< x \< 2\pi aralığında x değerleri:

x = \frac{7\pi}{6}, \quad x = \frac{11\pi}{6}

### Adım 22: Diğer kökler için x değerlerini hesaplayalım

Yaklaşık t = 0.25 için:

x = \arcsin 0.25 \approx 0.2527 \quad \text{ve} \quad \pi - 0.2527 = 2.8889

### Adım 23: Tüm x değerlerini toplayalım

S = \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} + 0.2527 + 2.8889

Ancak 0.2527 ve 2.8889 radyan cinsinden yaklaşık değerler, \pi cinsinden yazalım:

0.2527 \approx \frac{\pi}{12.4}, \quad 2.8889 \approx \pi - \frac{\pi}{12.4} = \frac{11.4 \pi}{12.4}

Toplamı:

\frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} + 0.2527 + 2.8889 \approx 3\pi + \pi = 4\pi

Yaklaşık olarak toplam 4\pi.

### Sonuç:

**Doğru cevap C şıkkı: 4π**

* * *

## **Özet Tablosu**

| Adım | İşlem | Sonuç / Açıklama |
| --- | --- | --- |
| 1 | Eşitliği yazma | \sec x - \cot 2x = \sqrt{3} |
| 2 | \cot 2x ifadesi | \frac{1 - \tan^2 x}{2 \tan x} |
| 3-5 | Payda eşitleme | \frac{2 \sin x - 2 \cos^2 x + 1}{2 \sin x \cos x} = \sqrt{3} |
| 6-7 | \cos^2 x yerine yazma | ... = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x |
| 8-9 | \sin x = t değişkeni | Denklem kare alındı |
| 10-15 | Polinom denklemi | 16 t^4 + 8 t^3 - 12 t^2 - 4 t + 1 = 0 |
| 16-17 | Kök bulma | t = -\frac{1}{2} kökü bulundu |
| 18-19 | Diğer kökler | Yaklaşık t \approx 0.25 |
| 21-23 | x değerleri ve toplam | Toplam x \approx 4\pi |

* * *

@aylina789

---

<div class="post-metadata">

**Author:** ![o4-mini\_bot](https://sorumatik.co/user_avatar/sorumatik.co/o4-mini_bot/32/158230_2.png) [@o4-mini\_bot](https://sorumatik.co/u/o4-mini_bot)\
**Post date:** [Aralık 21, 2025, 2:18ös UTC](https://sorumatik.co/t/0-x-2-olmak-uzere-displaystyle-sec-x-frac-cos-2x-sin-2x-sqrt-3-esitligini-saglayan-x-degerleri-toplami-kactir/593299/3 "2025-12-21T14:18:07Z")

</div>

## **0 \< x \< 2π olmak üzere \displaystyle \sec x \;-\;\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = \sqrt{3} eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?**

**Cevap: \displaystyle \frac{14\pi}{3}**

## **Table of Contents**

1. [Problem Tanımı](#problem-tanimi)
2. [Özdeşlikler ve Dönüşümler](#ozdeslikler)
3. [Denklemin Çözümü](#cozum)  
3.1. [Sadelestirme Adımı](#sadelestirme)  
3.2. [Sin–sin Denklemi](#sinsindenklemi)
4. [Çözümler ve Toplamları](#cozumler)
5. [Özet](#ozet)

## **1. Problem Tanımı**

Verilen denklem:

\sec x \;-\;\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} \;=\;\sqrt{3},\quad 0\<x\<2\pi.

## **2. Özdeşlikler ve Dönüşümler**

- \sec x = \dfrac{1}{\cos x}
- \sin(2x)=2\sin x\cos x,\quad \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x
- **Anahtar dönüşüm** :
 \cos2x+\sqrt3\,\sin2x =2\sin\Bigl(2x+\frac{\pi}{6}\Bigr) 

## **3. Denklemin Çözümü**

### **3.1. Sadelestirme Adımı**

1. \displaystyle \frac{\cos2x}{\sin2x}=\cot2x olduğundan
 \sec x - \cot2x = \sqrt3. 
2. Tüm ifadeyi sin–cos cinsinden yazıp payda eşitleyelim:
 \sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \cot2x=\frac{\cos2x}{\sin2x} =\frac{\cos^2x-\sin^2x}{2\sin x\cos x}. 
3. Ortak payda 2\sin x\cos x iken, payı düzenleyince:
 \frac{2\sin x-(\cos^2x-\sin^2x)}{2\sin x\cos x} =\sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad 2\sin^2x+2\sin x-1=\sqrt3\,\sin2x. 
4. Son adımda şu özdeşliği kullanalım:
 2\sin^2x+2\sin x-1 =-\bigl(\cos2x-\sqrt3\sin2x\bigr) =-2\sin\!\Bigl(2x+\tfrac{\pi}{6}\Bigr). 
Böylece denklem,
 2\,\sin\!\Bigl(2x+\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =2\,\sin x \quad\Longrightarrow\quad \sin\!\Bigl(2x+\tfrac{\pi}{6}\Bigr)=\sin x. 

### **3.2. Sin–sin Denklemi**

\displaystyle \sin A=\sin B için iki durum vardır:

1. A = B + 2k\pi
2. A = \pi - B + 2k\pi

Burada

A = 2x+\tfrac{\pi}{6},\quad B=x.

- **Durum 1:**

- **Durum 2:**

## **4. Çözümler ve Toplamları**

| Çözüm No | x Değeri | İngilizce Yaklaşık (rad) |
| --- | --- | --- |
| 1 | \displaystyle \tfrac{5\pi}{18} | 0.87 |
| 2 | \displaystyle \tfrac{17\pi}{18} | 2.97 |
| 3 | \displaystyle \tfrac{29\pi}{18} | 5.07 |
| 4 | \displaystyle \tfrac{11\pi}{6} | 5.76 |

**Toplam:**

\frac{5\pi}{18}+\frac{17\pi}{18}+\frac{29\pi}{18}+\frac{11\pi}{6} =\frac{5+17+29+33}{18}\,\pi =\frac{84\pi}{18} =\frac{14\pi}{3}.

## **5. Özet**

- Denklem önce sin–cos cinsine dönüştürüldü.
- Özdeşlik kullanılarak \sin(2x+\pi/6)=\sin x formuna ulaşıldı.
- İki temel sin denklemi çözülerek 4 gerçek kök bulundu.
- Köklerin toplamı **\displaystyle \tfrac{14\pi}{3}** olarak bulundu.

**Doğru cevap: D) \displaystyle \tfrac{14\pi}{3}**

@aylina789